数学运算 无限奥秘

徐远

提起数学，相信首先浮现在人们脑海中的，并非是那些高深晦涩的定理，而是计算，

早在幼儿园时，我们便有了算术课，那时只觉得“+”、“一”、“×”、“÷”四个符号仿佛具有魔力，可以将一个数字变换成另一个，于是对于计算学习的热情也仿佛注入了魔力，乐此不疲，长大后，才知道数学计算远非四则运算那么简单，解析几何、求导、最值……简简单单的两个字，却是一片广阔的天地，拥有各种出神入化的技巧和秘诀，

如今走进“运算”这片天地十多年，我也越来越感受到它的博大精深，它与我们的生活息息相关，也是我们进行数学考试的基本能力，接触越久，了解越深，对于我而言，曾经还是模模糊糊的数学运算，已经有了全新的诠释与分类。

一、常规计算

什么是“常规”？“常规”就是一种普适性的想法，是所谓的单刀直入、切中主题，它来自于课本上的基础内容与老师授课所讲，相信每一位同学都经过无数题目的洗礼，在这个过程中，我们逐渐形成了一种自然的思维模式，这样剩下的任务就是沿着它顺理成章地算出答案啦，这个过程，就是“常规计算”。

解题过程虽然稍显复杂，但是算法却十分简约，常规算法，就是用一种普遍性的想法干净利落地起手，算出结果，而正是由于它的常规，所以在掌握它的时候，我们才需要对计算进行记忆、理解、熟化，这样才可以做到以不变应万变。

我们开始接触的常规计算就是加、减、乘、除了，“三三得九、二五一十”的乘法口诀早已烂熟于心，小时候还是咬着笔杆冥思苦想的题目现在可以只是“水题”，这其中原因当然有年岁增长、智力成熟，但最重要的是记忆和理解的深入，古人云“熟能生巧”，一个“熟”字，便道出了常规运算的精髓，记得刚学三角函数时，便为各种拗口的恒等变换公式所头疼，做题时还要苦记“奇变偶不变、符号看象限”的口诀，但在学完整个版块，完成专题试卷之后，像sin（α+β）的恒等公式已经信手拈来，遇到题目，常规运算自动浮现，这是来自于我们对公式推导方法层层深入的理解，与解题后对于内容的加深记忆，所以，如果将常规计算比作通向恢宏数学殿堂的大门的话，“熟化”就是那把契合锁孔的钥匙。

二、技巧运算

小时候听到的记忆最深的数学故事，就是高斯计算“1+2+…+100”的故事，尚显稚嫩的小高斯已经想出来首尾相加的技巧，这位数学巨匠的天赋并非年龄所能掩盖，技巧，高大上地说，是一种四两拨千斤的智慧；通俗地说，就是对数学式子进行巧妙分析，构思出一种简单的方法，从而事半功倍，不必说技巧运算可以锻炼到我们的思维，开拓更加灵活的思路，单从功利的角度看，精妙的想法可以缩短运算时间，让我们在紧张的考试中占得先机。

但是，根据“难度守恒定律”，运算的简便，意味着技巧思路难以发现，那么，怎样才能找到运算的技巧呢？在《庖丁解牛》故事中，庖丁的高超之处就是在于他在宰牛时能循着牛的骨架和纹理下刀，从而达到游刃有余的境界，同样，想要在学习中“游刃有余”，也要能学会分析式子结构。

如果说常规算法是自动浮现的话，技巧运算就是“蹦”出来的，代表着一种灵活与精妙，结构分析需要的是一种感觉，就像遇到过圆锥曲线焦点的线段长问题，就想到用极坐标，遇到计算最值时两个分式分母和为定值，就想到用柯西不等式，这种感觉，依靠于一种灵感与思维的跳脱，技巧不是先天具有的，也不是能刻意锻炼出来的，只有思维足够灵动，对于数学足够的热爱，才能掌握技巧运算的真谛。

但是数学无限，技巧也无限，不可能将其穷尽，真正优秀的算法，不是死记技巧，蒙头乱撞，而是选择最合情合理的运算。

运用虚数解组合题看似不可思议，但仔细分析就会发现这种想法不仅不是空穴来风，反而有理有据，令人惊叹，这就是合理的魅力，

解题方法无穷无尽，而在我看来，合理运算的精髓就在于化未知为已知的思想，将陌生的式子与熟悉的知识比较结合，找出共同点，就如同我们最为熟悉的换元法，对目标的合理分析后，再陌生的式子，在抓住了它的本质之后，也可以向已知靠拢，变量的转化带来更加简单、更加熟悉的式子，演绎出合理思想的精彩，而上面的组合数求和，也是从已知的知识（组合数的偶数项的和）出发，找到与陌生目标（组合数的第4k+2项的和）之间的联系，从而获得清晰的思路，从一开始的茫无头绪，变得胸有成竹，化未知为已知，是将运算归于合理的最精妙的一笔。

“天下同归而殊途，一致而百虑，”从一个角度看，所有的运算都是为了得出答案，而学习数学最有挑战、最为趣味的一部分，就是找到合理的那种方式，在已知中开拓，在未知中追寻，这就是数学运算的奥秘，让我们关注运算技巧，熟化常规运算，到达合理运算的境界。