柔顺机构拓扑优化设计中的拓扑图提取综述*

付永清，朱健璎，金周晟

(华南理工大学 设计学院，广州 510640)

柔顺机构拓扑优化设计中的拓扑图提取综述*

付永清，朱健璎，金周晟

(华南理工大学 设计学院，广州 510640)

针对柔顺机构拓扑优化设计中的拓扑图提取问题，就其中的中间单元、棋盘格和轮廓提取问题进行了详细综述。在此基础上，指出棋盘格的消除、中间单元的取舍和拓扑图的轮廓提取是柔顺机构拓扑图提取中的重要问题，并分析了该三个问题出现的原因。

柔顺机构；拓扑优化设计；棋盘格；中间单元；轮廓提取

0 引言

随着微机电系统、微加工和微操作以及新材料等领域的迅速发展，柔顺机构的设计已经成为目前国内外机构学领域的研究热点[1]。采用拓扑优化方法研究柔顺机构的设计只需给定设计域和指定输入输出位置，无须从一个已知的刚性机构出发，且所得的机构具有分布式柔性的优越性能，因而引起了极大的重视[1-2]。这种方法通常是以有限元分析为基础，在拓扑优化的初始阶段，首先将设计域离散成一定数量的有限元网格，再利用优化算法确定单元材料的保留与删除，以满足预定的目标和约束条件。在优化结果中，单元密度的理想取值为0 或1，当单元密度取值为0 时，表示该单元被删除，单元密度取值为1 时，该单元被保留，于是，由高密度单元连接构成机构的拓扑图。可见，拓扑优化方法也是具有复杂构型的柔顺机构创新设计的一种有效实用的方法[3]。从现有文献来看，柔顺机构拓扑优化设计中的一些基本问题，如优化模型的建立、材料插值模型的确定以及数值求解技术的选择等方面的研究都有了实质性的进展[1-7]。尤其是以概念简单、计算效率高而著称的相对密度法(SIMP)[7]的提出，更使柔顺机构拓扑优化设计进入了一个崭新的阶段，并在其各种具有复杂的设计域形状和边界条件的线性和非线性、静态和动态、多材料和多场耦合等工程实际问题中的应用展现了前所未有的发展趋势[1,2-7]。然而，从现有的研究成果来看，基于拓扑优化方法所设计出的柔顺机构往往还只是机构半成品，难以胜任于工程应用。因此，为了能得到工程上所期望的清晰的、匀质的、具有光滑轮廓的0-1 机构拓扑，在柔顺机构拓扑优化设计中仍面临着一个极其重要的挑战——拓扑图提取。国内外先后都大力开展了这方面的研究，但是，由于其本身所固有的复杂性，柔顺机构拓扑优化设计中的拓扑图提取课题目前仍未得到最根本的解决[8-9]，主要体现在：①机构拓扑图中存在中间单元。中间单元的出现与人们所期望的清晰的0-1 机构拓扑不符。阈值法[10]、惩罚函数法[7]、过滤技术[11]和单元连结参数化[12]等是目前解决该问题的常见方法。然而，这些方法可能难以彻底去除中间单元，或者具有参数敏感性和计算效率低的缺陷，并且还可能产生锯齿形边界和棋盘格现象。因此，解决柔顺机构拓扑图提取中的中间单元问题的最佳方法仍处于研究阶段。②机构拓扑图中存在棋盘格现象。棋盘格现象与机构材料的匀质连续属性相矛盾。目前，消除棋盘格的方法主要有高阶单元法[13]、几何约束算法[1,6,14-16]和小波方法[17]等，但这些方法存在着一些明显的缺点，如计算量太大、不能彻底消除棋盘格，以及容易导致中间单元问题和锯齿形边界等。因此，解决柔顺机构拓扑图提取中的棋盘格问题的最好方法仍有待研究。③机构拓扑图的边界呈锯齿形。这种粗糙的边界常产生应力集中，使基于拓扑优化方法所设计出的机构容易因应力集中而造成疲劳、断裂破坏。因此，为了改进柔顺机构的性能，必须提取出光滑的拓扑图轮廓。目前，典型的轮廓提取方法是对拓扑优化结果进行后处理[18-19]，即先进行边界拟合，然后再对拟合结果进行形状优化。但是由于设计步骤太多，该方法可能难以获得全局最佳的结果[20-21]，从而也将使克服中间单元和棋盘格问题的方法的价值被弱化。近来，研究者也尝试了将渐进拓扑优化和边界提取相结合的方法[22]。这种方法具有创新设计的特色，是目前最新的方法之一。但是，由于其边界由分段直线构成，且不能实现轮廓的分裂和合并，因此仍有一定的局限性。可见，解决柔顺机构拓扑图提取中的轮廓提取问题的最好方法也仍有待深入研究。不同于以上基于有限元的方法，研究人员从修改宏观几何形状的角度又发展了一种能同时克服上述三个问题的方法，即基于水平集的拓扑优化方法[23]。然而，这种方法也具有初始敏感性、不能生成新孔、计算效率低和难以收敛到不光滑的角点等缺陷，虽然目前已提出一些改进的算法，但这些问题尚未得到很好的解决，而且，该方法现仍仅限于求解线性、静力问题，因此，其鲁棒性和拓展应用还处于研究阶段。

综上，拓扑图提取课题中的中间单元、棋盘格和轮廓提取三个核心问题直接决定了柔顺机构拓扑优化设计结果的工程应用性。因此，拓扑图提取技术的研究是柔顺机构拓扑优化设计中的重点课题之一，也是难点课题之一[3，8-9]。现就其中的三个核心问题详细地综述和分析如下：

1 中间单元问题

它是指在基于SIMP方法松弛设计变量时，单元密度取值介于0与1之间的一种现象。目前，在包括柔顺机构在内的拓扑优化领域中，主要有以下几种解决中间单元问题的方法。一是采用形如ρP,(P>1) 的惩罚形式[7]，以减小中间密度单元的刚度影响，然而，这种方法难以彻底去除中间单元。另一种方法是阈值法[10]，但是，由于其阈值选择是启发式的，因而必然影响到算法的执行效果。此外，又发展了在优化模型的目标函数或约束条件中追加显式的惩罚函数的方法[28]，但这种额外的惩罚项也可能给优化软件寻找可行解造成困难。类似的惩罚函数方法还有混合的SINH方法[29]和凹约束方法[30]，不过，这两种方法也依然不能获得满意的0-1拓扑结果。另外，基于图像的过滤技术[11 ]也被尝试来克服中间单元问题， 然而，由于其灵敏度计算复杂，使得计算效率大大降低，且所得的拓扑结果具有网格依赖性。近来，又提出了一种修改最佳准则表达形式的启发式算法，但是这种方法的最佳拓扑结果具有参数敏感性。除了上述方法之外，渐进算法[31]也是一种常用的去除中间单元的方法。它是通过逐渐地去除无效材料来获得最佳解，其优点是不需引入太多的数学理论，但由于这种方法属于整数规划范畴，灵敏度连续性差，且被去除的单元不能再被利用，因而计算效率低，并易于导致算法不收敛[32]。在此基础上，又发展了双向渐进算法[22]，这种方法旨在去除无效材料的同时，也能添加有效材料，以改进收敛效果，但是该方法本质上仍是整数规划，且无法精确评估所添加的材料单元的灵敏度。此外，还有模拟退火和SIMP相结合的方法[33]以及单元连结参数化方法[12]，从它们的优化结果来看，也依然无法实现理想的0-1拓扑。更重要的是，上述这些方法有着容易引起锯齿形边界和棋盘格现象的共同缺点。近年来，又兴起了一种能有效克服中间单元问题的方法，即基于水平集的拓扑优化方法[23]。与基于有限元法的拓扑优化方法不同，这种方法是将图像处理中的水平集方法和拓扑优化设计相结合，通过修改宏观结构的几何形状来实现拓扑的改变，因而其拓扑结果中不存在中间单元。从这点来说，基于水平集的拓扑优化方法似乎是一种比较有希望的方法。但是由于这一方法具有初始敏感性、不能生成新孔、计算效率低和难以收敛到不光滑的角点等缺陷，以致它的鲁棒性被大打折扣。虽然目前已有一些改进的算法提出，如用于提高计算效率的窄带法[34]以及用于治理初始敏感性和不能生成新孔问题的渐进水平集拓扑优化方法[35]等，但总的来说，这些问题仍未完全得到很好的解决。而且，这种方法目前仅用于求解线性、静力问题，因此，其拓展应用也还略嫌不够。此外，作者[24]研究了一种二阶段的柔顺机构拓扑优化设计方法，能够实现真正的0-1机构拓扑，但是该方法需要适度增加迭代次数，同时也会引起锯齿形边界。可见，柔顺机构拓扑图提取中的克服中间单元问题的最有效方法仍处于深入研究阶段。

2 棋盘格问题

它是指材料高低密度分布呈周期性交替的现象。目前，在以柔顺机构设计为代表拓扑优化领域中，主要包括以下几种解决棋盘格问题的方法。一种是高阶单元法，其实质是利用八节点或九节点等参元模型化设计问题[13]。这种方法能在一定程度上改进棋盘格现象，但计算量太大，故不是很适用。另一种常用的方法是施加几何约束，如周长法[14]、局部密度斜率约束[15]、密度过滤[6]、灵敏度过滤[1]、基于密度单调性变化的方法[16]，等等。其中，周长约束属于全局约束，因此不能防止局部小尺寸构件的形成，并且其参数取值将影响到算法的稳定性。局部密度斜率约束则是通过限制邻接单元之间的密度变化来抑制棋盘格现象。它属于一种局部约束方法，因而难以实现全局最佳，并且，大量密度斜率约束的引入也使设计过程的计算效率大大降低。另外，密度过滤的基本思路是进行单元密度的重新分布，以保证拓扑结果的光滑连续性。而灵敏度过滤则是利用邻域单元敏度的加强平均取代各相应单元的敏度。过滤算法具有简单易行的特点，因而是目前应用最广泛的一种方法。此外，基于密度函数单调性约束的方法是限定设计域内每点的圆形区域内沿四条直径方向的密度变化，从而防止棋盘格的出现，只是这种方法也需要增加优化求解时间。总的来说，施加几何约束的方法有很好的消除棋盘格的效果，但是容易导致中间单元问题。之后，又相继发展了基于小波的方法[17]、非协调元和杂交元相结合的方法[36]、拓扑分析和应力分析相结合的方法[37]以及基于拓扑描述函数的方法[38]等，这些方法也具有一定的消除棋盘格的效果，但仍然无法避免中间单元的出现。另外，作者研究了基于小波三次样条插值后处理柔顺机构拓扑优化结果的方法[26]。然而，这种方法也会引起中间单元问题，并且，为了改进后处理所得的机构的性能，还需要增加额外的轮廓提取和形状优化过程。同时值得注意的是，前述各种方法也都存在着拓扑图边界呈锯齿形的缺点。此外，基于水平集的拓扑优化方法[23，35]也是解决棋盘格问题的一种有效方法，但是由于上述的缺点，使得这种方法仍有改进的余地。因此，柔顺机构拓扑图提取中的消除棋盘格的高效可行的算法仍有待研究。

3 轮廓提取问题

在包括柔顺机构在内的拓扑优化领域中，一类典型的拓扑图轮廓提取方法是对拓扑优化结果进行后处理[39-41]，即先对拓扑图进行边界拟合，然后对拟合结果作进一步的形状优化。根据边界拟合的方式不同，这类方法又可细分为密度轮廓方法[39]、样条拟合方法[40]和图像解释方法[41]三种类型。其中，密度轮廓方法是对拓扑优化结果进行密度再分配，以获得有限元节点密度，然后再取节点密度等值线作为拓扑图的轮廓。样条拟合方法则是利用样条曲线描述拓扑图的边界。而图像解释方法是采用图形或计算机视觉技术，如模板匹配等，来描述拓扑结果的边界。然而，基于这类方法所提取的拓扑结果一般存在轮廓的精度和光滑性方面的不足，因而也使得额外的形状优化设计成为必要。但是，这种顺序地进行拓扑优化和形状优化的方法可能因其设计步骤太多而难以保证全局最佳[20-21]，结果又将使解决中间单元和棋盘格问题的方法的价值被弱化。另一类拓扑图轮廓提取方法是将拓扑优化和边界提取相结合[22]。这类方法简化了设计过程，因而是一种具有创新性的方法，不过，由于其边界由分段直线构成，并且不具有拓扑自适应性，即不能够实现轮廓的分裂和合并，因此也还需要进一步改进。此外，基于水平集的拓扑优化方法[23,35]无须显式地提取拓扑图轮廓，但是由于如上所述的缺点，尤其是难以收敛到不光滑的角点的问题的存在，导致不能得到满意的轮廓提取结果。另外，作者研究了将参数活动轮廓和样条拟合相结合提取柔顺机构拓扑图轮廓的方法[9]。数值实验表明，该方法能获得较光滑的机构拓扑轮廓，但由于其属于后处理方法，因此，还需要增加一个额外的形状优化过程来改进所提取的机构的性能。可见，柔顺机构拓扑图提取中的拓扑图轮廓提取的最好方法仍处于深入研究阶段。

4 结论

从以上分析结果可以看出，长久以来，柔顺机构拓扑优化设计中的拓扑图提取技术始终无法获得突破性进展，具体体现在以下两个方面：

(1) 拓扑图提取课题中的三个核心问题是相互关联、密不可分的，但现有的方法大多只局限于其中的某一个问题，并可能给其它待解决的问题带来不利影响，这必将导致拓扑图提取技术的整体效果小于解决三个问题的方法之和的现象。虽然少数方法也能兼顾多个问题，但却存在着不可忽视的弱点。由此不难发现，柔顺机构拓扑图提取技术进展缓慢的一个根本原因在于：迄今为止还没有完整地建立柔顺机构拓扑优化设计中的拓扑图提取理论和方法。

(2) 理论上，拓扑图提取过程可以嵌套在拓扑优化过程中, 也可以在拓扑优化完成后进行。可是，正如前面所述，后一种情形可能因其设计步骤太多而难以保证全局最佳解的获得，而且也不利于加快产品的设计生产周期。虽然现有方法中也有不少是属于前一种情形，但它们又存在着片面性或其它缺点。由此可以知道，柔顺机构拓扑图提取技术进展缓慢的另一个根本原因在于：迄今为止还未能产生绝对意义上的柔顺机构拓扑优化设计中的拓扑图提取理论和方法。可见，必须发展在柔顺机构拓扑优化过程中解决中间单元、棋盘格和轮廓提取问题的最有效方法，只有这样，才能从根本上解决柔顺机构拓扑优化设计结果的工程应用性问题。

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(编辑 李秀敏)

Topology Extraction Synthesis in the Topology Optimization Design of Compliant Mechanisms

FU Yong-qing,ZHU Jian-ying,JIN Zhou-sheng

(School of Design，South China University of Technology, Guangzhou 510640,China)

Aim to the important issue is to extract a practicable topology from the solution after the topology optimization design of a compliant mechanism, checkerboard patterns and intermediate elements and concour extraction are descriped detaily. On this basis, the elimination of checkerboard patterns, acceptance or rejection of intermediate elements and contour extraction of the resultant topology are affirmed to be three main problems during the topology extraction process for compliant mechanisms. The factors of these three questions are also analyzed.

compliant mechanisms; topology optimization design; checkerboard patterns; intermediate elements; contour extraction

1001-2265(2017)05-0001-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.05.001

2016-07-26；

2016-11-13

国家自然科学基金(51275174)

付永清(1968—)，女，江西高安人，华南理工大学副教授，博士，研究方向为机构优化设计和拓扑图提取，(E-mail)yqfu@scut.edu.cn。

TH166;TG659

A