人体膝关节运动学和动力学模型研究

【作 者】秦现生，牛军龙，王战玺，王文杰，洪杰

1 西北工业大学机电学院，西安市，710072

2 陕西省数字化特种制造装备工程技术研究中心，西安市，710072

人体膝关节运动学和动力学模型研究

【作 者】秦现生1,2，牛军龙1,2，王战玺1,2，王文杰1,2，洪杰1,2

1 西北工业大学机电学院，西安市，710072

2 陕西省数字化特种制造装备工程技术研究中心，西安市，710072

以人体膝关节为研究对像，建立人体膝关节模型已经成为了一种有效的研究方式。确定了人体膝关节模型的类型，并分别对每一种类型的模型进行了简单介绍。在解剖学的基础上，重点针对人体膝关节运动学和动力学模型的类型，相应地在国内外研究现状里做了详细描述和综合分析。通过深入研究发现其优点和局限性，对存在的问题进行了总结，并提出了解决方法以及未来的发展趋势。

人体膝关节；模型；解剖学；运动学和动力学模型

0 引言

随着机器人应用进一步向广度和深度发展，传统的机器人关节因受限于自身的机械结构、材料及动力学特性，越来越难以满足机器人的高抗冲击振动及耐磨性等要求。与传统的机械关节相比，人体膝关节因拥有半月板以及股胫骨滚滑动相结合的变曲率屈伸旋转运动，并且是最完备的滑膜关节，以至于表现出了优异的抗冲击振动和很小的摩擦等性能。由此，人们逐渐开始探索人体膝关节的解剖结构和独特的运动模式，并利用仿生学的原理，展开对仿生膝关节的结构设计和分析[1-2]。人体膝关节也是负重关节，在日常的正常活动及高强度的剧烈运动中主要承受自身体重的压力和来自地面的冲击力，很容易造成人体膝关节部位的损伤而产生病变。伴随着计算机技术和数学工具的应用和发展，为了更好地理解人体膝关节的解剖结构特点及各组成元件的行为和功能特性，揭示人体膝关节的运动学及静力学和动力学等特性，人体膝关节模型的研究逐渐成为了一种有效的方式。这在预防和治疗人体膝关节的运动损伤以及对人工假肢膝关节和仿生机器人腿部膝关节的结构设计等方面具有重要的指导意义和应用价值。

1 人体膝关节模型的分类

人体膝关节模型可以分为物理模型和数学模型两种类型[3]。物理模型模拟了真实人体膝关节的某些方面，通常用于实验研究来确定其力学响应。最常见的物理模型是由Strasser[4]所提出的交叉四连杆模型，该模型将人体膝关节结构中的前、后交叉韧带和股、胫骨分别模拟为两个交叉杆和另外两个连杆，以此来描述矢状面内股胫关节的运动。数学模型则满足一些物理定律如平衡等，并建立起由系统变量间组成的数学关系式。数学模型又可以分为现象模型和解剖模型两种类型[5]。现象模型通常用于描述人体膝关节的整体响应，并没有考虑它的真实子结构。现象模型进一步可以分为简单铰模型和粘弹铰模型两种类型[6]。简单铰模型是将股胫关节模拟为简单的铰链关节，一般用于较大的人体模型中，通过步态活动来预测人体膝关节的响应；粘弹铰模型是把股胫关节等效为粘弹性的铰链关节，如 Lindbeck[7]建立的人体下肢双摆结构模型，通过踢的方式给下肢一个冲击来研究和分析人体膝关节的响应。解剖模型则考虑了人体膝关节的真实解剖结构，并精确地描述了各子结构组成部分的几何形状和材料特性，可用来预测人体膝关节的运动学和动力学特性以及它的各子结构组成元件的行为和功能。解剖模型进一步可以分为运动学模型和动力学模型两种类型[8]。运动学模型描述和建立了人体膝关节运动参数之间的关系，但没有涉及载荷条件；而动力学模型则同时考虑了载荷条件。动力学模型又进一步可以分为准静力模型和动力模型两种类型[9]。准静力模型是人体膝关节受到适当的约束并处在某一个特定的位置时，建立平衡方程并对其进行求解来确定相关的力和运动参数。在其它不同屈曲角度下的一些位置上，重复这个过程来实现人体膝关节的运动范围。动力模型是人体膝关节受到一定的约束，在动力载荷条件下运动，范围随着时间的推进连续变化，是一个动态的过程，并根据建立的微分方程以及通过对其进行求解来获得相关的力和运动参数。

由于物理模型仅模拟了真实人体膝关节的某些方面，且只有少数的物理模型用来分析人体膝关节；而现象模型没有考虑到人体膝关节的真实结构，所以说从某种意义上讲，它并不能算是真正的人体膝关节模型。因此，本文对这两种类型的模型不进行详细描述，而是在解剖学的基础上，重点研究和分析人体膝关节运动学和动力学模型。

2 人体膝关节运动学和动力学模型研究现状

2.1 运动学模型

Weber兄弟[10]首先注意到了人体膝关节屈曲运动是发生在股骨和胫骨间滚动和滑动相结合的运动，通过进一步观察他们发现该运动并不是发生在单一的平面，而是伴随着胫骨的轴向旋转运动。人体膝关节是一个复杂的三维运动，可以将其描述为六自由度的运动含有三个旋转运动和三个平移运动[11]。三个旋转运动分别为屈伸运动、内翻外翻运动和内旋外旋运动；三个平移运动分别为内外平移运动，前后平移运动和压缩分离运动。

人体膝关节运动学模型可以分为跟踪瞬心路径模型，分析模型和瞬时螺旋轴模型[3]。Freudenstein和Woo[12]认为人体膝关节从0o～90o屈曲的平面旋转运动瞬心路径有两个：一个在股骨上，近似为对数螺旋线；另一个在胫骨上，近似为平行于胫骨平台的一条直线。所描述人体膝关节两个瞬心轨迹的平面运动能再现一个运动瞬心轨迹沿着另一个固定瞬心轨迹的表面滚动。Crowninshield等[13]提出了一个人体膝关节三维运动的分析模型，该模型假定股骨和胫骨都为刚体，且胫骨固定，通过模拟正常人体膝关节从0o～90o范围内股骨相对胫骨产生的屈曲运动，绕股骨内侧髁和外侧髁的前后轴分别产生的内翻和外翻旋转运动，绕股骨内侧髁的上下轴产生的内外旋转运动以及沿着胫骨关节面中心的前后方向产生的前后抽屉运动来研究和分析人体膝关节的稳定性，还有前、后交叉韧带，内、外侧副韧带和囊韧带的特性等。由于人体膝关节运动是一个复杂的三维运动，Hartfel等[14]将二维平面运动瞬心轨迹的概念扩展到一个三维螺旋轴的层面上。当一个刚体相对于另一个刚体运动时，瞬时螺旋轴的位置连续改变会产生两个表面，这两个表面间的相互滚动和滑动完全展现了两个刚体间的相对运动特征。然而，在分析人体膝关节三维运动中使用的这些螺旋轴表面仅仅是近似得到的。

国内学者沈乃勋等[15]根据所设计的简易实验装置，将选取的股骨和胫骨标本分别固定在上面，把股骨和胫骨都当作刚性构件，且胫骨固定不动，股骨相对胫骨运动，并每转动5o拍摄一张X光片，共拍摄17张，也就是说相当于人体膝关节完成了从0o～85o的屈曲运动，再利用解析法并通过电子计算机获得了人体膝关节运动时股骨相对于胫骨的瞬心轨迹。然而，人体膝关节运动时产生的瞬心轨迹却是在人体膝关节股骨相对胫骨做平面运动且被动状态下形成的。

虽然人体膝关节运动学模型对理解人体膝关节的运动有着重要作用，但由于它没有体现出人体膝关节处的受力情况以及外载荷的影响等，使得人体膝关节运动学模型的发展和应用受到了限制。

2.2 动力学模型

2.2.1 准静力模型

考虑到人体膝关节各结构处的受力，如韧带张力和关节接触力等，Hefzy和Grood[3]提到了一个人体膝关节三维准静力模型。该模型在内、外侧两个接触力以及前、后交叉韧带张力和内、外侧副韧带张力的共同作用下保持人体膝关节处于平衡状态。根据固定的胫骨坐标系最终一共可以列出6个平衡方程，但其中含有16个未知量，这样在求解方程组的过程中就出现了未知量的个数大于平衡方程的个数，使问题产生不确定性。为了减少这种不确定性，又进一步开展了很多的模型，一类是对人体膝关节的解剖结构进行适当合理的简化，以便减少未知量的个数得到静定系统下人体膝关节的准静力模型；另一类是考虑人体膝关节解剖结构的几何约束以及每一个韧带的多重子结构等建立非常复杂的人体膝关节准静力模型。

Wismans等[16]提出的模型考虑了关节表面的几何形状，韧带以及囊结构的几何和材料特性，并且建立了一个全面的人体膝关节三维准静力模型。该模型中假定股骨、胫骨为刚体，且胫骨固定，韧带和囊结构被模拟为7个非线性弹簧，通过选取不同的屈曲角度来模拟股骨相对胫骨的屈伸运动，共建立了16个非线性方程其中含有16个未知量，利用Newton-Raphson迭代方法求得该模型的数值解。

人体膝关节准静力模型尽管考虑了人体膝关节处的韧带张力和接触力等，但它忽略了动力载荷的作用，人体膝关节总是在被动的情况下处于某一个特定的屈曲角度位置上达到一种平衡状态，使得人体膝关节的运动不是一个连续变化的过程。

2.2.2 动力模型

（1）二维动力模型

Moeinzadeh等[17]首个考虑了人体膝关节的解剖结构，并以此为依据提出和建立了一个二维矢状面内的人体膝关节动力模型。该模型把股骨和胫骨当作刚体且假设股骨固定不动，内、外侧副韧带和前、后交叉韧带组成的4条主要韧带分别被模拟为非线性弹性弹簧，胫骨质心在受到动态载荷的作用时引起胫骨相对于股骨的运动，以此来预测人体膝关节的接触力和各韧带张力的大小变化，胫骨质心、接触点和屈曲角度的位置变化情况以及动态载荷的幅值和持续时间对人体膝关节的影响等。运用X光片和二维声波数字化技术来确定股、胫骨接触表面的轮廓，分别用多项式来表示两光滑接触表面的曲线方程。根据几何约束条件和接触共线条件，可以列出3个非线性代数方程组；再通过胫骨的运动条件建立运动方程，得到3个二阶的非线性微分方程组。先利用Newmark常平均加速度方法把非线性微分方程组转化为非线性代数方程组，然后与前面的方程组一起组成含有6个未知数的6个非线性代数方程组，并在此基础上进一步展开得到含有22个未知数组成的22个方程组，最后利用Newton-Raphson迭代方法对该方程组进行数值求解。

Abdel-Rahman 和Hefzy[18]也提出了一个二维矢状面内的人体膝关节动力模型，它是对Moeinzadeh等[17]所建模型的进一步改进。该改进的二维动力模型是将人体膝关节处的3条韧带中的前、后交叉韧带各拆分为2个前、后纤维束，内侧副韧带拆分为前、后纤维束等4个，再加上外侧副韧带和关节囊后部共10个，把它们分别用10个非线性弹簧来表示，虽然模型看似变得较为复杂，但是并不影响求解；另外股骨接触表面的轮廓后部被看作是圆弧的形式，比较接近人体膝关节的几何解剖结构；胫骨质心施加了一个向后垂直于胫骨长轴的动态载荷来预测人体膝关节的响应。相比之下，改进后模型中人体膝关节的屈曲运动范围从原来模型中的0o～54.79o扩大到0o～90o，又进一步地向真实的人体膝关节靠近。

考虑到股骨固定不动的人体膝关节二维动力模型限制了人体膝关节的运动，国内学者王西十等[19]进一步又提出了一个股骨可动的自由运动人体膝关节二维动力模型。将模型得到的数值结果与Moeinzadeh等[17]建立的股骨固定不动时人体膝关节二维动力模型的数值结果进行比较，可知在动态载荷作用下，当股骨处于可动时所产生的韧带张力和接触力都要远小于股骨处于固定不动时的状态。

以上二维动力模型仅在矢状面内描述了胫骨和股骨间的运动，而没有考虑髌股关节。Tumer和Engin[20]建立了一个股骨—胫骨—髌骨三体的人体膝关节二维动力模型，它含有股胫关节和髌股关节，主要韧带有前、后交叉韧带，内、外侧副韧带和髌韧带，且在股骨固定时，分析胫骨、髌骨关于股骨的运动。人们可以通过模拟一个或组合的股四头肌、绳肌和腓肠肌动作，以及施加外部力作用于小腿上来获得人体膝关节的动力响应。作为一个应用，该三体模型在脉冲作用下模拟股四头肌群产生了一个剧烈的下肢活动比如踢，以此来确定人体膝关节运动时的股胫接触力和髌股接触力以及各韧带张力等。数值结果表明在人体膝关节伸展的过程中，髌股接触力比股胫接触力高，甚至是在小的人体膝关节屈曲条件下髌骨都能经受非常大的瞬时髌股接触力，以及前交叉韧带要比其它韧带承受的载荷较大。

上述建立的这些二维动力模型，不管是只含有股胫关节，还是包含有股胫关节和髌股关节，所描述股骨和胫骨以及髌骨和股骨之间的表面接触都是刚性接触，这与真实的人体膝关节运动过程中股、胫骨关节软骨以及髌、股关节软骨间接触会发生变形的描述不太相符。因此，Machado等[21]建立了一个弹性接触的人体膝关节二维动力模型，该模型含有股胫关节，其中视股骨和胫骨为刚体，且股骨固定，以及4条主要韧带被模拟为非线性弹簧元件等；同时考虑了股骨和胫骨的软骨部分，把它们模拟为具有线弹性和各向同性等特性的可变形材料，这样股骨和胫骨间的表面接触从刚性接触变成了弹性接触；通过模拟正常步态下的一个外力作用于胫骨质心，且方向沿胫骨长轴指向近端的动态载荷来研究人体膝关节的动力响应。先是运用了三次样条、Akima样条和保形样条三种不同的插值技术与所描述的接触检测方法以及根据Hertz接触定律建立的弹性接触力模型来研究股骨和胫骨的关节软骨接触面轮廓的几何形状对人体膝关节动力行为的影响。而后在保形样条插值和所描述的接触检测方法下，基于Hertz接触力模型以及Lankarani和Nikravesh接触力模型来研究人体膝关节接触动力响应。为了研究动态载荷的不同幅值对人体膝关节接触动力的影响，基于保形样条插值技术，接触检测方法和Hertz接触力模型下进行了数值计算模拟。研究结果表明：外部作用力的幅值对胫骨质心的位置和屈曲角度没有显著的影响，韧带应变和韧带张力，接触力以及变形都会有影响，且随着幅值的增大而增加；人体膝关节从屈曲角度54.79o～0o伸展运动，可以看出内、外侧副韧带的韧带应变和韧带张力比前、后交叉韧带的较低。最后研究了人体膝关节被模拟为自由接触关节和间隙旋转关节，对比两种不同模型下人体膝关节的动力行为。自由接触人体膝关节模型仅描述有韧带约束；间隙旋转人体膝关节模型则考虑了股骨和胫骨之间的间隙和接触的存在，并假定股骨作为轴颈，胫骨作为轴承。研究结果表明：前者模型中的屈曲角度要比后者模型中的大，胫骨接触点坐标不同，导致韧带的动态响应有一些差异，主要是由于两种人体膝关节模型的变形不同。

随着人体膝关节二维动力模型的不断改善和发展，虽然已经提出了许多的模型，但都是仅限于矢状面内的屈伸运动。而真正的人体膝关节是三维的运动，所以，最普遍和真实的人体膝关节动力模型应该是三维的，不过二维动力模型的建立对进一步开展三维动力模型的研究奠定了基础。

（2）三维动力模型

Moeinzadeh等[17]之前建立过一个人体膝关节二维动力模型，后来也在该模型的研究基础上又进一步将其扩展到了三维动力模型上，但因为所建立的方程组极其复杂，最终导致他们并没有求解出其数值结果[22]。

Abdel-Rahman 和Hefzy[23]是首个基于人体膝关节的解剖结构提出并建立了一个人体膝关节三维动力模型且求解出来数值结果的。该模型中股骨和胫骨被模拟为刚体，利用12个非线性弹簧元件分别模拟人体膝关节中不同的韧带结构和后部囊组织，股骨固定，外部指定的脉冲载荷作用于胫骨质心，方向垂直于胫骨机械轴指向后，胫骨相对股骨运动，人体膝关节的运动范围是从0o～90o之间，此时两关节面的接触被考虑为一点或两点接触。根据几何条件和接触条件建立非线性代数方程，运动控制方程由牛顿和欧拉方程分别列出，为二阶常微分方程。其中一个点接触的情况下，有5个代数方程，6个运动控制方程，含有11个未知量；二个接触点的情况有10个代数方程， 6个运动控制方程，含有16个未知量。通过微分代数系统求解器对其进行求解来预测人体膝关节内、外侧股胫骨的滚滑动运动，各韧带结构的韧带张力以及在不同的载荷幅值作用下对内、外侧关节面接触力的影响等。

由于Abdel-Rahman 和Hefzy[23]所建的人体膝关节三维动力模型中没有考虑髌股关节和关节接触面间的变形，Caruntu和 Hefzy[24]建立了一个含有股骨-胫骨-髌骨的人体膝关节三维动力模型，该模型包含股胫关节和髌股关节，其中股骨固定，胫骨和髌骨为运动体，并且考虑关节面间的接触为可变形接触，8个非线性弹性弹簧模拟各韧带结构，在模拟指定的股四头肌力作用下，建立了12个非线性二阶常微分方程并联立非线性代数约束方程通过微分系统求解器来求解其数值结果，用于研究和预测股胫关节和髌股关节的运动，关节接触力及前、后交叉韧带张力等。

目前，国内学者对人体膝关节三维动力模型这部分的研究还未见有报道。不难发现，虽然人体膝关节三维动力模型更接近于真实的人体膝关节，但考虑到三维模型比较复杂且受限于求解技术等原因，导致提出的人体膝关节三维动力模型还很少。

3 结论

（1）大多数二维模型都是动力模型且仅限于矢状面内，而实际上人体膝关节是三维的运动。尽管如此，二维动力模型却可以部分地反映出真实人体膝关节的力学响应，以及各子结构的功能和特性等；并且基于所建立的二维动力模型，在某种程度上有助于进一步开展对三维动力模型的研究。但很多的二维动力模型还存在一些问题，如这些模型中大多数都基本上只含有股胫关节，没有髌股关节；且股骨固定，把股骨和胫骨都看作刚体；胫骨相对股骨运动，也没有考虑股、胫骨关节面间的变形和摩擦，它们之间的接触都为点接触等。

（2）大多数三维模型都是准静力模型，少数则是动力模型。三维准静力模型只能在人体膝关节处于指定的位置上时才可以进行分析和计算相关力和运动参数，不能反映出人体膝关节的运动是一个动态连续变化的过程，而三维动力模型则可以满足。不过，三维动力模型和二维动力模型存在着类似的一些问题，参见结论（1）中所述；并且有时候根据三维动力模型所建立的方程组相当的复杂，导致求解会比较困难，耗费大量的时间。

（3）不管是二维或三维的动力模型，很少有模型同时含有股胫关节和髌股关节，且股骨是可自由运动的，以及考虑股、胫骨和髌、股骨关节面的接触是弹性接触，在外载荷作用下使得人体膝关节运动时关节面间的接触为面接触；另外，还需要注意的是模型中都没有涉及到半月板和肌肉组织等组件。

（4）依据人体膝关节解剖结构建立动力模型的过程中，需要考虑接触关节面的几何形状，各韧带插入点的位置以及各子结构的材料特性等，可以通过参考文献中可用的实验数据进行建模，但有些实验数据还是存在争议的，如静态条件获得的数据用于动力模型下，甚至有些实验数据在文献中就没有，以及建模时为了使模型简化，忽略了某些结构组件，还有就是模型中有些数学描述是近似得到的等等。但总得来说，通过对人体膝关节动力模型的研究和分析，其数值预测结果与文献中的实验和临床观察结果相比较基本上是一致的。同时，两者相互促进，协助发展，为建立一个更加完整的人体膝关节动力模型奠定基础。

4 展望

针对目前人体膝关节动力模型存在的一些问题和未来潜在的发展提出以下几点趋势：

（1）二维动力模型中股骨内、外侧髁和胫骨内、外侧髁在矢状面内的几何轮廓形状是不一样的。但伴随着CT和MRI技术以及多项式插值技术的发展，能够精确地用数学表达式描述股、胫骨关节面的轮廓曲线来进行建模。未来需要考虑股、胫骨接触关节面的变形，弹性接触理论模型还要进行深入的研究，并在此基础上建立一个股、胫骨间含有半月板的相对较完整的人体膝关节二维动力模型。

（2）在建立含有半月板的二维动力模型基础之上，进一步开展含有髌股关节和肌肉组织的一个完整的人体膝关节二维动力模型。

（3）扩展一个完整的人体膝关节二维动力模型到三维的层面上，利用人体膝关节的三维几何解剖结构特点和材料特性，建立含有内、外侧半月板，髌股关节和肌肉组织的一个完整的人体膝关节三维动力模型。

本课题组将要开展一个含有虚拟半月板的人体膝关节非接触二维动力模型，该模型是利用磁浮力将股骨和胫骨受限隔开一定的间隙，并在适当的约束条件下，研究当人体膝关节在受到外部载荷冲击时来预测所建模型的动力响应。未来将以此理论研究为依据，设计出具有高抗冲击振动等性能的仿生机器人腿部膝关节结构。

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Research of Kinematics and Kinetics Models of Human Knee Joint

【Writers】QIN Xiansheng1,2, NIU Junlong1,2, WANG Zhanxi1,2, WANG Wenjie1,2, HONG Jie1,2
1 School of Mechanical Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi’an, 710072
2 Shaanxi Province Digital Special Manufacturing Equipment Engineering Research Center, Xi’an, 710072

Human knee joint as a research object, it has become an effective way to establish models of human knee joint. The types of human knee joint models are identified, and each type of model is simply introduced respectively. Focusing on the types of the kinematics and kinetics models of human knee joint on the basis of anatomy, the current research status is detailedly described and comprehensively analyzed at home and abroad correspondingly. Through in-depth study the various kinematics and kinetics models, and their advantages and limitations are discovered. The existing problems are summarized, solution and development trend are also proposed.

human knee joint, models, anatomy, kinematics and kinetics models

R318

A

1671-7104(2017)01-0033-05

10.3969/j.issn.1671-7104.2017.01.010

2016-06-02

国家自然科学基金资助项目（51275413）作者简介：秦现生，教授，E-mail: xsqin@nwpu.edu.cn

牛军龙，E-mail: longlong611@126.com