中学生的特点及数形结合思想教学的应用技巧

何霞

摘要：数形结合就是充分利用"形"的直观性和"数"的准确性，充分理解题意，化抽象为直观，培养学生思维的灵活性、广阔性是初中数学中值得探索的方法。

关键词：数形；结合；形成

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2016）11-0237-02

"数形结合"就是把抽象的"数"转化为具体的"形"，通过解决具体的"形"而达到解决抽象的"数"，这种思想正符合初中生的心理特点，乐于被他们接受。因此，作为一项教学改革，需要我们教师在教学中加强这方面的训练指导，也需要我们的中学生加强这方面的练习。中学阶段，数形结合中的"形"是数轴、函数图像、几何图形等组合表达式。"数"是指代数、三角形、平行四边形等直观标注。

1.数形结合数形能培养学生哪些方面的能力

数形结合就是充分利用"形"的直观性和"数"的准确性，培养学生思维的灵活性、广阔性是初中数学中值得探索的方法，那么学好数形结合究竟能提高学生哪些方面的能力呢？

1.1数形结合，培养解题思维的独创性。思维的独立创造性是指敢于超越传统习惯的束缚，摆脱原有知识范围和思维定势的禁锢，善于把头脑中已有的知识信息重新组织，产生具有进步意义的新设想和新发现。利用形的直观性，探寻到具有创新意识的简捷妙法，可避开繁琐运算，简捷解题，提高解题速度，达到培养思维的独创性之目的。

1.2数形结合，培养解题思维的准确性。问题均可根据其题设与结论的特征通过观察、联想构造出相应的几何模型，然后根据图形的性质得到一种简捷的解法。在解题过程中，准确是解题的关键。数形结合，可用利用"形"的直观性提高"数"的准确性。

1.3数形结合，培养解题思维的广阔性。思维的广阔性是指思维活动中避开单一狭隘的思维模式，对所学知识融会贯通，多角度、全方位思考问题、解决问题的程度。思维越广解决处理的方法越多。利用数形结合，用大树知识解决几何问题，或用几何知识解决代数问题，避免以代数解代数，几何解几何的单一模式。数形结合解题就是根据数量的特征与图形结构，使数与形相互转化，开辟解题新途径。

1.4数形结合，培养解题思维的灵活性。思维的灵活性是指思维活动具有较高的灵活程度，能善于沿着不同角度，顺着不同方向，选择不同方法，对同一问题从多方位、多侧面的认识。数形结合思想引导学生多方位思考，审时度势，适时突破常规的思维定势，有利于培养解题思维的灵活性。

2.中学生怎样去形成用数形结合思想解题的能力

在中学阶段数形结合思想具体体现在用代数方法解决几何问题或几何方法解决代数问题。代数方法精确深刻，几何方法形象直观，两者的结合开辟了新的解题思路，能促进学生数学思维的发展。现在中学学生在代数中已经学过代数式、方程、函数，在几何中已经学过点、线、三角形、四边形、圆的知识，这两种学科间联系密切，是互相统一的。因此，我们必须重视数形结合的教学。

2.1加强学生对数形结合概念的理解。代数和几何两种学科间的联系、两种知识面的统一是随着数轴、平面直角坐标系与函数的深入学习，才逐渐沟通与深化的。所以在这一段的教学中为使学生形成数形结合的统一意识，教师就要讲清数轴、平面直角坐标系、函数图像等的性质，应在知识领域理凸显数形结合的思想方法。

2.2坐标系的建立为数形结合开拓了思路。数形结合的载体是数轴，数轴能反映出数与点的对应关系，这是学生学习数学的一大飞跃。运用数形结合的思想方法思考问题，能给抽象的数量关系以形象的几何凸显，也能把几何图形问题转化为数量关系问题去解决。通过数形结合的数学思想方法来学习相反数、绝对值的定义、有理数大小比较的法则、函数等，可以大大降低学生这些知识的难度。数形结合思想的教学应贯穿于整个数学教学的是始终。

2.3注意培养学生用数形结合的数学方法分析问题、解决问题的能力。不论用代数方法研究几何问题，还是用几何图形研究代数式，都贯穿着数形结合方法分析问题和解决问题的思想。因此教师应加强对学生的数形结合意识的渗透和能力的培养。我们可通过数量关系的讨论来研究几何图形的性质，比如解析几何这门学科就是建立在这种思想方法的基础上，另一方面是利用几何图形的直观性，揭示数量关系的许多特征，深刻理解这一观点，有利于提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学素养。如列一元一次方程解应用题的关键在于分析题中的数量关系，可以通过画直线形（或圆形）示意图直观地显示出来。一旦学生掌握了这种数形结合的分析方法，对较为复杂的习题就能独立分析和解决了。

2.4善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程。

2.4.1正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系.观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画出示意图是不够的，还必须反映出图形中的数量关系。

2.4.2切实把握"数"与"形"的对应关系，以图识性以性识图。数形结合的核心是"数"与"形"的对应关系，熟知这些对应关系，深化两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应图形的特征之间的关联，以求相辅相成，相互转化。

2.4.3灵活运用"数"与"形"的转化，提高思维的灵活性和创造性。在中学数学中，数形结合的思想和方法体现得最充分的是解析几何，此外，函数与图像之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法。通过联想找到数与形之间的对于关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化训练的则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段。

总之，在教学中教师应充分利用图形、图像，使学生正确理解和掌握所学的概念和知识，通过运用数形结合的思想方法实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观，深入浅出，巧妙的技巧应用，让学生逐步理解数与形间的相互联系与转化的辩证。

3.实施数形结合思想教学时主要可分四个阶段进行

第一阶段是渗透孕育起期。由于学生刚升入中学，他们对数形结合的认识主要还停留在用线段图解应用题这种简单浅显的层次，因此这一时期的要求不能太高，因以"数轴"、"相反数"、"绝对值"、"有理数是计算"等内容为载体，以数轴为结合点。在数学中提出数与形的问题，使学生感受到"数"与"形"间存在着相互联系、相互转化的辩证关系。并且通过问题的解决，察觉到数轴的作用。

第二阶段是体会领悟期。代数以"不等式"的知识为载体继续向学生介绍数形结合思想，使学生明白如果不借助"数轴"这个工具，就不容易找出不等式组的解集。由此而领悟到，数形结合对解决数学问题不是可有可无的，而是一种非常重要的办法。

例1如图1，已知∠AOB=90°，∠AOC为锐角，ON平分∠AOC， 平分∠COB，求∠MON的度数。

第三阶段是形成尝试期。以平面几何知识为载体。由于知识深化"数"与"形"之间的因果关系不那么明显，因此学生在解决问题时很难将"数"与"形"有效的结合进行思考。

①理解迁移。深刻理解数学知识中蕴含的数形结合思想，找出概念、定理、性质中"数"与"形"的特征。如勾股定理，代数的特征是一个数的平方等于两个数的平方和.几何的特征是这三个数是某直角三角形的三边。解决相关问题时可以引导学生与已有的知识经验"直角三角形——求线段长——解方程"产生关联，找出解题途径。

例2.如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD

分析：求线段的长度需要有直角三角形，但图中没有现成的直角三角形，故需添辅助线。

解： 如图，过P作AD、AB的平行线，原矩形被分成四个小矩形；

由勾股定理得：

PA2 =a2+b2，PC2 =c2+d2；

PB2 =b2 +c2，PD2 =a2+d2；

因此：PA2+PC2=PB2+PD2，

即：32+52=42+PD2，解得，PD2=18。

②提炼方法。作为第二层次的教学，应该引导学生从解决问题的技巧中提炼出蕴含数、形结合思想且又易于操作的办法。进而理解这些办法的实质。比如在一些问题的解决中，都用到从面积的角度去思考探索证明途径。这一技巧其实质就是利用公式（方程的思想）为问题的解决铺平道路。

例3.如图3在等腰ΔABC中，AB=AC=5，BC=6，P是底边上任一点，求P到两腰的距离的和。

解过P作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，过B作BF⊥AC于F，连接AP，SΔABC=SΔAPB+SΔAPC，即

第四阶段是应用发展期。这个阶段主要以方程、函数和知识为载体，以解决问题为主要教学方式，突出数形结合思想在解题中的指导作用（见例12）。指导学生正确、迅速地找出问题中数形转化的等价关系，展现由"数"思"形"，由"形"定"数"的思维过程。

例4（由"数"思"形"）解方程x-y=1____________（1）x+1+y-2=5_____（2）

分析方程（2）可变形为：（x+1）2-（y-2）2=（15）2______（3），显然x+1>0，y-2>0。由于（3）与勾股定理形式类似，因此可构造（图3）RtΔABC，使∠C=90°，并延长CA至D使AD=AB，CA=x+1，就把题中的数量关系转化为图中的几何关系

由于"数形结合"具有形象直观、易于接受的优点，它对于沟通知识间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生的思路，发展学生的智能，提高学生的数学水平有着独到的作用。这种教学方法能够培养学生的创造思维能力和开拓精神，使学生充分张扬个性，充分发挥潜能，真正实现个体的最优化发展。

参考文献：

[1]罗洪信。在初中数学中蕴藏着数形结合思想[M].桂林市教育学院学报，2001

[2]九年义务教育初中《数学教学大纲》[M].北京：人民教育出版社，2000

[3]九年义务教育初中数学课本[M].北京：人民教育出版社，2003