从实例看排列组合基本原理在概率问题中的推广应用

贾慧彤

摘要：概率的计算常归结为排列组合问题，互斥事件发生的概率和相对独立事件同时发生的概率是我们学习的一个难点，通过与排列组合基本原理进行类比，可以使概率问题通过具体的“树图”将问题变得直观形象，对这两个问题我已有了有更深刻的理解。

关键词：概率；排列组合基本原理；推广；应用

互斥事件发生的概率和相互独立事件同时发生的概率是“排列、组合和概率”这一章中的两个重要概念，教材用两个简单的实例给出了相应的计算公式：若A、B为互斥事件，则 P（A+B）=P（A）+P（B），若A、B为相互独立事件，则P（A·B）=P（A）·P（B）。这种处理方法将抽象的问题具体化，使问题的解决简单明了，比较符合我们的认知水平。如果能结合排列组合的基本原理来解释这两个概念，那么我们对这两个概念及相应的计算公式会有更深刻的理解。

一、排列组合基本原理在概率问题中的推广

1.概率的加法原理。完成一个试验，含有2个“类事件”，这两个类事件中所含的基本事件中没有一个基本事件是相同的，第1类事件A发生的概率为P（A），若第2类事件发生的概率为P（B），则 P（A+B）=P（A）+P（B）。由此可以推广至n类事件，即互斥事件发生的概率的实质是分类。

2.概率的乘法原理。完成一个试验，需要2个“步事件”，且一个步事件的发生与否不会影响另一个步事件发生的概率，若第 1 步事件A发生的概率为P（A），第2步事件发生的概率为P（B），则P（A·B）=P（A）·P（B）。由此可以推广至n步事件，即相互独立事件同时发生的概率的实质是分步。

二、实际应用举例

将互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率问题转化为分类和分步问题，可以使概率问题借助排列、组合中较常用的“树图”得到直观的解决。

例题 1：如果猎人射击距离为100米处的动物，假如第一次未命中，则进行第二次射击，但由于枪声惊动动物，动物逃跑，从而使第二次射击时动物离猎人的距离变为150米，假如第二次仍未命中，则进行第三次射击，而第三次射击时动物离猎人的距离为200米。假如击中的概率与距离成反比。求猎人最多射击三次命中动物的概率。

分析：根据分类和分步原则，画出“树图”

例题2：开关闭合后，便有红灯和绿灯闪动，设第一次出现红灯的概率是1/2，出现绿灯的概率也是1/2，从第二次起，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是1/3，接着出现绿灯的概率是 2/3；同样，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是 3/5，出现绿灯的概率是 2/5。问：（1）第二次出现红灯的概率是多少？（2）三次发光，红灯出现一次，绿灯出现两次的概率是多少？（3）红、绿灯交替发光的概率是多少？

分析：画出树图

例题3：甲、乙两位同学做摸球游戏，游戏规则规定：两人轮流从一个放有2个红球，3个黄球，1个白球且有颜色不同的6个小球的暗箱中取球，每次每人只取一球，每取出一个后立即放回，另一人接着取，取出后也立即放回，谁先取到红球，谁为胜者，现甲先取。

（1）求甲摸球次数不超过三次就获胜的概率；

（2）求甲获胜的概率；

分析：画出树图

小结：互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率问题是我们学习中遇到的一个难点，通过与排列组合基本原理进行类比，可以使概率问题通过具体的“树图”将问题变得直观形象。“树图”最大优点是能够将某些随机现象的结果无重复又无遗漏地表示出来，从而让我们更好地把握和理解有关问题，提高抽象思维的能力。