浅谈概率论与数理统计案例教学法

杨丽+王洪芹

摘要：概率论与数理统计不仅是数学专业的必修课，也是经管类和工科类专业的基础课，其覆盖面广.应用性强，是一门理论与实践密切结合的课程。以案例驱动教学法作为概率论与数理统计课程教学方法改革的一种手段，有针对性的选取了条件概率、全概率公式、数学期望、中心极限定理等 4个重要的知识点，并使用贴近实际生活的案例作为教学的切入点，详细分析解决实际问题的过程，向学生介绍该课程的相关知识在现实中的广泛应用，引导学生从实际情境中发现问题。课堂教学实践证明，基于案例驱动的教学方法能够开阔学生的视野，对于课程建设、教学效果、教师及学生能力的提高都有重要意义。

关键词：案例驱动；全概率；数学期望；中心极限定理

概率论与数理统计是国内外经济管理类各专业学生教学大纲中必不可少的公共基础课，是向学生传授随机现象及其规律，培养学生使用随机思想分析问题能力的重要途径之一。很多其他后续课程，如统计学、证券投资学、信息论、密码学等都需要以概率统计知识为前提。经济管理专业学生毕业后大多从事经济贸易、金融投资、银行、证券、保险等工作，在工作 中会遇到许多随机现象，如证券价值的变动、购买保险的人数、商品的库存和收益等，这些工作的完成也需要依赖概率统计知识。因此，如何让学生轻松、愉快的学好这门课程成为了摆在每个概率论与数理统计老师面前的问题。

不少学生在刚开始学习概率统计，尤其是初遇古典概型时，很有兴趣，也能够联系实际主动思考，但随着后续知识中公式、定理的逐渐增多，他们认为越来越枯燥，以致越学越没有兴趣，这一点应值得重视和思考。概率统计的思想方法来源于生活，教学中应处处有案例，从贴近生活或与学生专业相关的问题入手，用身边常见的现象和例子说明问题，从问题到理论，再从理论到应用，而不是生硬的从概念到理论，这样不仅可以激发学生的学习热情，减少距离感，强化实践意识，提高学生分析问题和解决问题的能力，还可以拓展学生的视野，从而提高学习的兴趣与效率。

下面选取概率统计中有代表性的 4个知识点，提出贴近现实、清晰易懂的案例，引导学生积极思考，自主求解，变被动学习为主动学习。

1 条件概率与三门问题

这个问题来自于美国的一个电视节目，参与者会看见 3扇关闭了的门，其 中 1扇 的后面有 1辆汽 车，选中后面有车的那扇门就可赢得该汽车，另外 2扇门后面则各藏有 1只山羊。当参与者选定了 1扇 门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下 2扇门的其中 1扇，露出其中 1只山羊。随后主持人问 参与者要不要改选另 1扇仍然关上的门。需要思考的是：改选另 1扇门会不会增大参赛者赢得汽车的机会。

这个有趣的问题提出后，一定会引发学生热烈的讨论。这一问题的答案是应该换，但是许多学生都想不通，他们认为换不换一样，赢得汽车的概率都是 1/3。实际上，问题的关键在于主持人，不应该忽略这样一个线索，即主持人一定会开启 1扇没有汽车的门。使用条件概率的思考方法就可以解决这个问题。

假设事件 A为参与者第一次选中山羊；事件 B为参与者改选另 1扇 门之后得到汽车。根据条件有

也就是说，如果坚持原来 的选择，赢得 汽车的机会是 1/3，而选择另 l扇 门，赢得汽车的机会增加到了 2/3，所以应该改变原来的选择。

可以进一步思考，若主持人事先不知道任何信息，而是随机开启某1扇门，即打开的 1扇门之后有可能是汽车，也有可能是山羊，那么问题的答案是否会改变呢。

2 全概率公式与囚徒的智慧

在现实的各种领域，如经济、医学、生产等方面，常常会涉及到各种概率问题，但这些事件会有各种 类型的条件限制和复杂的样本空间，导致在计算概率时，思路不清晰，甚至重复或遗漏 了某些情况发生 的可能性。全概率公式应运而生，能够化繁为简。以一个古代小故事为例来说明这个问题。1名囚犯 要被执行死刑，按照传统，执行死刑前还有一次机会。在囚犯面前放 2个一样的盘子，每个盘子盛有 14 个球，黑白颜色各一半。令囚犯蒙住眼睛从 2个盘子 中随机选 1个，再从选中的盘子中随机选 1个球，若选中白球则获得赦免，否则继续执行死刑。聪明的囚犯略思索后，要求将 其中 1个盘子里放 2个 白 球，其余的球都放在另 1个盘子中。问该囚犯获得赦免的机会比原来增加多少。令事件A为囚犯选中 白球，事件 B为囚犯选中第一只盘子。按照传统的分球方法，即每个盘子盛有14个球，黑白颜色各一半时，

若按照囚犯提出的要求，即第一只盘子放 2个白球，第二只盘子盛有其余 26只球，则

这样，聪明的囚犯通过争取，将自己获得生还的机会增加了 3/13。进一步，可以向学生提 出思考题，能否通过改变球在盘子中的分配方法，使得囚犯的生还机会变得更大。

3 数学期望与赌金分配

1654年，赌徒德 ·梅累向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙 2赌徒赌 技相同，各出赌注 50法郎，每次赌局中无平局。他们约定，谁先赢 3局则得到全部 100法郎的赌本。当 甲赢了 2局，乙赢 了 1局时，因故要中止赌博。现问这 100法郎如何分才算公平。

事实上，很容易设想出以下 2种分法：

1）考虑到甲、乙 2人赌技相同，平均分配赌金：即甲得 50法郎，乙得 5O法郎。这种分法没有照顾到甲已经比乙多赢 1局这个现实，对甲显然是不公平的。

2）考虑到已经进行的 3局比赛结果，按照赌局输赢次数的比例分配赌金：甲得 200/3法郎，乙得100/3法郎。这种分法没有考虑到如果继续比下去的话会出现什么情形，即没有照顾 2人在现有基础上对比赛结果的一种期待。

那么，这更合理的第 3种分法又该怎样分呢？提醒学生思考如果赌局进行下去，会出现的情况：最多只需再赌 2局即可结束这场赌博。而再赌 2局可能出现的所有结果以有序对表示，如（甲，乙）表示第一场赌局甲赢，第二场赌局乙赢。由于 2人赌技相同，这 4种情况出现的概率应相等，2场赌局结果的分布概率如表 1所示。

如前 3种结果发生，都是甲先赢 3局，即甲赢得全部赌金 100法郎，相应 的概率为 3/4，而 甲得 0法 郎的概率为 1/4，故 甲获得的期望赌金为

而乙应分得 25法郎。因此，既考虑到甲已经比乙多赢一局的事实，又考虑到后续可能出现的结果，按照数学期望的思想分配赌金是比较公平的。

在这个故事中，出现了“期望”这个词，也是“数学期望”这个术语名称的由来。分赌本问题的思想可以进行推广，例如应用到投资问题：甲乙 2人合资办厂，经营一段时间后，甲乙 2人都要单独经营或者由 于某种原因不能继续合作下去，应该怎样分配经营成果；或者因为经验不善而亏损，应该如何分摊债务等相关问题。这些思考对于经管相关专业的学生是有所裨益的。

4 中心极限定理与电话分机设置问题

某单位一门电话总机共有200门分机，每门分机有5%的时间使用外线通话，且是否使用外线是相互独立的。要保证每个用户能以90%的概率正常使用外线通话，问总机至少要设置多少条外线？像这样的问题是企业，公司等部门中很常见的问题，设置太多的外线会造成资源浪费，太少又会造成资源不足，而这样的问题，只要综合应用概率论知识——棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理就可以解决，得出的结果是需设置14条外线。

5 结论

在概率论与数理统计的课堂教学中有针对性的提出问题，营造一个积极思考的环境，有助于帮助学生了解概率统计的方法来源于实际，又在实际工作 中有广泛的应用。能够引导学生一步一步自己寻求 解决问题的方法，激起学生 的探究欲望，而不是被动地记忆、理解教师传授的知识。在解决案例的过程中，学生可以获得亲身思考的机会，便于逐渐形成善于质疑、乐于探究、勤于动脑、努力求知的研究态度。

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