基于L ogi s t i c曲线的水库水温预测方法研究

孙巧丽

(菏泽市东鱼河流域工程管理处，山东 菏泽 274000)

基于L ogi s t i c曲线的水库水温预测方法研究

孙巧丽

(菏泽市东鱼河流域工程管理处，山东 菏泽 274000)

利用相关数学理论知识,针对存在较为广泛的分层水库垂直水温分布问题,提出了一种新的计算方法——L o g i s t i c曲线法。结合丰满水电站水库水温的原型观测结果,采用m a THe m a t i Ca软件率定优化模型参数,并在此基础上,利用收集到的其他水电站水库的水温实测资料验证该模型的适用性,结果发现:该模型完美适配丰满水电站水库水温预测问题,并对于不同类型、不同时期的水库水温垂直分布情况有着良好的拟合效果。

L o g i s t i c曲线;MA TH E MA T I Ca;水库水温;垂向水温分布;水温预测;丰满水库;丹江口水库

1 研究背景

一座水电站建成之后，破坏了河流原有的水力学特性。此外，调节性能较高的水库水温会形成垂直分布的态势。故而，建立合理的数学模型对水库水温的分布情况进行预测，探讨其中隐含的数学规律，对于水电站的设计以及施工时的大坝温度控制有着重要的意义［1］。

鉴于此，国内外学者对水电站水库水温垂直分布问题的研究从未间断。我国自20世纪50年代就开始对水电站水库水温的垂直分布问题进行研究，到了20世纪70年代中后期，提出了一些水电站水库水温估算的方法，但多是基于实测结果的简单拟合，没有对数学模型进行很好的优化。最具代表性的3种估算方法为:1985年东北勘测设计院提出的“东北勘测设计院计算公式”［2］，该公式基于国内大量的实际观测资料，准确性较高，但仅仅适用于中小型水库月平均水温的估计;朱伯芳、岳耀真［3，4］以年为周期，利用余弦函数近似表示水库水温的垂直分布情况，但该方法不能反映温跃层的特点;李怀恩［5］采用幂函数模型对于水电站水库水温的垂直分布问题进行研究，可以很好地反映出温跃层的特点，但是适用性较窄，不能准确判断水电站水库水温的垂直分布的整体态势。

上述3种方法皆为优秀的计算方法，但都有自身难以客服的弊端。因为，L o g i s t i c曲线的特征与典型3层式水库水温垂直分布的规律相近，故而本文采用L o g i s t i c曲线模拟水电站水库水温的垂直分布问题，分析其参数变化规律，利用丰满水电站水库水温的实测资料验证L o g i s t i c曲线模型的正确性，并结合其他水库水温的实测资料，进一步探讨不同类型、不同时期的水库水温垂直分布情况。

2 数学模型的建立

2.1 基本方程

水电站水库水温的垂直分布受到多种因素的影响，譬如太阳的光照、水电站水库自身的泥沙含量，但综合来看，水电站水库水温垂直分布的类型大致分为3种［6］:混合型、稳定分层型和过渡型。混合型一般指水位较低、调节能力较长的小型水库，该种水库由于水深较浅，导致了水底和水面可以很好地进行热量交换，进而造成了水温分布较为均匀;稳定分层型指水深较深的水库，该种水库的调节能力较强，水底和水面无法很好地进行热量交换，导致不同水深的水温有着明显的不同。稳定分层型一般有3层:上层为温变层［7］，温变层的水温受气候的影响较为显著，一年中不同的季节其水温情况也不同;中层为温跃层，温跃层的水温随着水深的增加而发生剧烈的变化，每米的温差可达1.5℃以上［8］;下层为滞温层，滞温层的水温变化幅度较小且基本保持均匀，并不随季节的变化而变动，处于常年低温状态;过渡型指介于混合型和稳定分层型之间的水库类型，既可以呈现出很好的水底热量和水面热量交流的态势，也可以表现出很强的温跃层。

2.2 公式推演

L o g i s t i c曲线的方程为

式中:k，a，b—L o g i s t i c曲线的3个无量纲参数，其中a为L o g i s t i c曲线的积分常数。

L o g i s t i c曲线具有如下性质:

根据L o g i s t i c曲线的数学性质和水库水温的垂直分布规律，本文提出水库水温垂直分布公式:

式中:y—水深，m;T(y)—水深为 y处的水温，℃;Td—库底部的水温，℃。

3 参数的确定

丰满水电站水库是一个典型的分层型水库。本文采用的资料为丰满水电站水库垂直水温分布情况的人工实测资料。选取平行于丰满水电站大坝前170m的断面为检测门。断面长度为400m，共布置4条测温直线:t e s t 1到t e s t 4。垂线间距为100m。共得到16组数据。

Ma THe m a t i Ca是一款可以媲美MA T L A B、m a pl e的数学软件，可以与其他高级编程语言进行Ml i nk。Ma THe m a t i Ca的诞生标志着现代科技计算的开始，为世界上最强大的通用计算系统［9］。本文利用m a THe m a t i Ca对L o g i s t i c曲线进行拟合。

根据丰满水电站水库水温的实测资料，对L o g i s t i c曲线参数进行率定(见表1)。其中，R2表示拟合优度，R2越接近于1，表示拟合的效果越好。表1中R2都趋向于1，说明拟合效果极佳。为了更加细致的观测单次拟合的情况，选取2010年2月9日、2010年3月11日、2010年4月20日的丰满水电站水库水温的实测与L o g i s t i c曲线模型计算的情况进行对比(如图1所示)，发现:本文提出的L o g i s t i c曲线水温预测公式可以很好的预测丰满水电站水库水温垂向分布的情况，尤其是针对于典型3层式水库温跃层的特点，预测的精准度很高，水温的实测和预测的最大误差约为1.04℃。

表1 丰满水电站水库水温拟合

图1 水温实测与计算值对比

为了进一步研究L o g i s t i c曲线模型水温预测公式的适用性，本文利用丹江口水库2013年3月 ～2014年2月的水库水温实测资料，并同L o g i s t i c曲线模型的计算结果进行比较。结果如图2所示。通过图2可以看出，本文使用的L o g i s t i c曲线模型的适用性较佳。

4 无水温实测资料的水库

通过前述实例可以看出，L o g i s t i c曲线水温预测公式对于不同区域、不同规模和不同调节能力的水库水温的垂向分布具有很好的适用性，并且预测的精度较高。通过数学知识可以明白［10］，参数的率定直接影响着预测精度。对于有水温实测资料的水库，直接使用m a THe m a t i Ca来求解k、a、b、Td;对于无水温实测资料的水库，需要依照水库的规模、调节能力、气候来用相似的水库水温实测资料进行预测。此外，还可以利用简单的水面水温测量进行估算。根据式(3)，只要有4组数据，便可以利用拟牛顿法求解k、a、b、Td。

图2 丹江口水库12个月中水温实测与计算值对比

4.1 参数求解

式中:X=(x0，x1，…，xn)T。假设X的第k次迭代的近似值为:

则X的第k+1次迭代的近似值为

式中:

F(X)为雅可比矩阵，即

用差商代替偏导，

式中:h是一个比较小的数，且

则式(10)中的第1个式子可以写作

根据上述理论，编纂C++程序So l v e.e x e，只要有4组数据，便可以利用拟牛顿法求解k、a、b、Td。

4.2 实例检验

以丰满水电站水库为例，在2010年6月19日在水面的0、1、3和5m处测得水温(如图3所示)。

图3 实测水温

利用C++程序So l v e.e x e，求解k、a、b、Td。

图4 真实结果和计算结果

由图4可知，真实结果和计算结果最大的误差为1.01℃，预测效果极佳。

5 结论

本文提出的L o g i s t i c曲线估算垂向水温分布的新方法有如下特点:拟合精度较高，适用性较强，具有可行性;对于有实测资料的水库，参数计算方法简单且可靠性高;对于无实测资料的水库，可以通过简单实验获得4组实测水温，进而计算整体水温分布情况。

［1］陆宝宏，王春燕，王瑞巧，等.二滩水库温度原型测试定位误差初探［C］//2007重大水利水电科技前沿院士论坛暨首届中国水利博士论坛.2007.

［2］SL D 214-1983，水利水电工程环境影响评价规范［S］.

［3］朱伯芳.库水温度估算［J］.水利学报，1985(02).

［4］岳耀真，赵在望.水库坝前水温统计分析［J］.水利水电技术，1997(03):2-7.

［5］李怀恩.分层型水库的垂向水温分布公式［J］.水利学报，1993 (02).

［6］张研，苏国韶，燕柳斌.水库水温分布结构识别的高斯过程机器学习方法［J］.水利水电科技进展，2009，29(02):13-15.

［7］CoatsKH，DempseyJR，Henderson JH，etal.TheUseofVerticalEquilibriuminTwo-DimensionalSimulation ofThree-DimensionalReservoirPerformance［J］.SocietyofPetroleumEngineersJournal，1971，11(01) : 63-71.

［8］张大发.水库水温分析及估算［J］.水文，1984(01).

［9］http: //www.wolfram.com/mathematica/

［10］崔党群.L o g i s t i c曲线方程的解析与拟合优度测验［J］.数理统计与管理，2005，24(01):112-115.

T V 697.2+1

A

1008-1305(2016)05-0034-03

10.3969/j.issn.1008-1305.2016.05.014

2016-03-15

孙巧丽(1977年—)，女，工程师。