由一道课本习题说起

茅雅琳

[摘 要] 教材是教学的依据，作为教师，要把握好教材的编写意图和教学内容的教育价值，更要注重对教材进行深度加工和二度开发，充分发挥各种课程资源对促进学生发展的作用. 课堂上，教师要帮助学生成为“知识的建构者”，要引导学生与教材展开“对话”.

[关键词] 研读教材；运用教材；激发潜能

缘起

教授完人教版《数学》（八上）“12.2三角形全等”一节后，笔者布置书本有关习题进行巩固练习，有个学生突然喊道：“怎么又是这个图形！”

这是教材第43页习题中的第2题：如图1，AB=AC，AD=AE，求证∠B=∠C.

确实，在全等三角形这个章节中，共有14道与它类似的题目，它们分别为“12.1全等三角形”中的练习第1题，习题12.1中的第6题，“12.2三角形全等的判定”中的例2、例3和例5，练习中的第2题，习题12.2中的第2，3，6，8，10，12题，习题12.3中的第2题和复习题12中的第4题，这些题目的图形都可以看成是由这个图形变化而来的.为什么会有这么多相似的图形呢？

题目研究

（以教材中出现的三道例题为例）

1. 题目再现

（教材P38例2）如图2，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B 的点C，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB. 连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离. 为什么？

（教材P40例3）如图3，点D在AB上，点E 在AC 上，AB=AC，∠B=∠C. 求证：AD=AE.

（教材P42例5）已知：如图4，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD. 求证：BC=AD.

2. 笔者思考

三道例题放在相应位置的目的有以下三个.

（1）感悟借助新知指导生活实际

新课标十分重视数学与生活的联系，指出：“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的. ”“教材所选择的素材应尽量来源于自然、社会中的现象和问题……以使学生感受到数学的价值和趣味. ”本节内容同样与生活实际密切相关，教材通过利用全等来解决生活中测量池塘宽度的问题，让学生感受到全等三角形在生活中的实际应用. 其实，测量池塘宽度的问题在本章的习题中还会出现，在后续的相似三角形、解三角形中，学生会接触到用不同的方法进行测量，将会体会到同一个问题可以有不同的解决方法.

（2）示范运用全等解决数学问题

中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，而全等的内容是学生学习相似三角形的重要基础. 为了降低学生利用全等三角形的知识进行推理论证的难度，教材设置了多道例题做出示范，其中例2已知两边及夹角对应相等，证第三边相等，是SAS的简单运用，例3已知两角及夹边对应相等，证另一边相等，是ASA的简单运用，而例5是已知直角边与斜边对应相等，证第三边相等，是HL的简单运用. 以上例题的设置，均是帮助学生运用全等解决数学问题.

（3）初识借助图形挖掘隐含信息

在数学解题过程中，常需要挖掘题中的隐含条件，以帮助解题. 而人教版教材首次出现隐含条件就在此处，三道例题分别提供了对顶角相等、公共角相等及公共边相等这样的隐含条件，借助这三道例题，让学生学会挖掘图形中的隐含信息，为解决问题收集足够的条件.

课堂实录

学生提出这个问题，说明在不断的练习中，他们也已经感觉到了这些题目之间的内在联系. 为了充分发挥本题的教学价值，笔者对本题的教学进行了精心设计，以下为课堂实录.

引例 如图5，OD=OE，∠D=∠E，求证：△BDO≌△CEO.

学生很快利用ASA证得两个三角形全等.

师：如果我们把题目改成“已知OD=OE，______，求证：△BDO≌△CEO”，请小组合作，看看添上哪些条件可使结论仍成立.

（交流5分钟）

生1：添上∠B=∠C，利用AAS证明.

生2：添上OB=OC，利用SAS证明.

生3：添上BD=CE……不行.

生4：一共就3种添条件的方法.

师：怎样寻找可以添加的条件？又是怎样判断对错的？说说你的思路.

生4：已知一边及对顶角相等，还需要寻找一个条件，寻找一边或者一角.

生3：找边要注意必须满足SAS，使已知相等的角成为夹角，我刚才找的BD=CE，就不符合条件.

生5：所以，添上一个条件后，要进行验证.

生6：还可以将题目改成“已知______，∠D=∠E，求证：△BDO≌△CEO”. 请同学们试试.

生7：我发现这题有三种添法，只要任意添上一条边就可以了.

生8：因为已知两对角分别相等，只要任意一对边相等，都可以证得三角形全等，添上角就不能证明.

师：刚才的几位同学都善于思考和总结，同学6还提出了有价值的问题. 对于这道题的研究，同学们还有其他的想法吗？

生9：刚才我们用很多方法证得△BDO≌△CEO，在此基础上，我们能否对图形进行变式？我觉得应该可以发现一些新的结论.

同学们按照他的建议，进行尝试.

（10分钟后）

生10：如图6，我们组延长BD，CE交于点A，发现△ABE≌△ACD.

生11：如图7，我们组连接BC，发现△DBC≌△ECB.

生12：如图8，他们两组的图形结合起来，发现这个图形中有三组全等三角形.

生13：这三组三角形中，以一组全等为已知，可以证得剩下的两组均全等.

生14：我刚才连接AO，如图9，发现还可以证得AO是角平分线.

不需要老师提醒，同学们兴致勃勃地开始证明.

师：同学们都善于思考，提出了很多有价值的问题，并进行了积极的探究. 对于以上图形，我们可以发现一个共同特征，也就是它们都是轴对称图形，由对称性可知，同学们的结论都是正确的.

点评 教师以简单问题引入，通过示范性变式训练，激发学生的探究热情，学生通过改变条件、改变图形等，衍生出近10道题目，其实质是将相关问题进行整合，在变式训练的过程中充分发挥本题的教学功能.

教后反思

1. 认真研读教材，挖掘教育价值

教材是教学的依据，作为教师，要把握好教材的编写意图和教学内容的教育价值. 本题类似的图形在一章中出现了14处之多，并非编写者简单的堆砌，而是通过不断地变换条件和结论，进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用分析法分析条件和结论的关系，用综合法书写证明格式，以及掌握证明几何命题的一般过程. 这样的安排为学生学习后续知识，特别是相似三角形的学习打下了扎实的基础.

2. 灵活运用教材，发挥教学功能

教师要注重对教材进行深度加工和二度开发，充分发挥各种课程资源对促进学生发展的作用. 教师要帮助学生成为“知识的建构者”，引导学生与教材展开“对话”. 教学时，教师从最简单的问题入手，通过不断的变式训练，使不同的学生得到不同的训练. 更可贵的是，问题的变式过程全部由学生完成. 爱因斯坦曾说：“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要，因为解决一个问题也许只是一个数学上或实验上的技巧问题. 而提出新的问题、新的可能性，从新的角度看旧问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步. ”在课堂实录中，学生通过解决老师和同伴提出的问题，进一步加深了对全等三角形判定的理解，同时也提高了学生提出问题、分析问题和解决问题的能力.

3. 无限信任学生，激发学习潜能

新课标明确指出：为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识. 试上本课时，变式训练均由教师给出，学生显得被动又忙乱，教学效果欠佳，第二节课，如上述课堂实录所示，学生在火热的思考中逐渐展开系列变式，结果生14还连接线段AO，带动问题向纵深处发展. 其实，每个学生都有无限的潜能，只要我们给他们时间、空间，给他们自主思考的机会，他们就会回报给我们惊喜.

结束语

有时，教师为了体现“用教材教”，往往会对教科书内容进行随意调整，其实这是对“用教材教”的一种曲解. 一套教材代表着一种理念和实践方法，教师应站在编者角度认真钻研教材，努力理解和领会教材编写者的设计理念及教学思想，把握其特点，使教材文本所潜藏的资源得到充分挖掘.