高中数学函数单调性解题方法研究

张跃新●

山东省单县一中(274300)

高中数学函数单调性解题方法研究

张跃新●

山东省单县一中(274300)

函数作为高中阶段数学教学不容忽视的重点内容，一直是高中数学学习的难点及高考数学备考的重点，备受关注.只有对数学函数单调性常见解题方法做好系统梳理才能增强对函数单调性的理解把握，才能正确解答函数单调性的系列问题.

一、函数单调性教学的两大思考：教材分析与思路解读

(一)函数单调性教学思考之一：教材分析

要想解答函数单调性问题，必须回归课本，做好教材分析.高中教材在组织函数单调性学习时，以一次和二次函数作为教学开端，将两者之间自变量x变化导致的函数值y变化规律作为函数单调性问题解决的突破口，实现对二次函数单调性的学习，为函数单调性问题的解答奠定基础.

(二)函数单调性教学思考之二：教研思路

函数单调性的学习应以一次函数、二次函数及反比例函数的扎实把握为前提，这是高中阶段函数单调性考察的主要函数类型.在函数单调性的学习上要建构其“自变量增大，函数值增大”的函数变化趋势概念认识，在此基础上学习基本的代数形式，掌握基本的代数证明格式，在函数单调性的学习上还是以定义为主，在函数单调性学习与解答的过程中回归定义，实现意识模仿到独立证明的过渡.

二、高中数学函数单调性的正确解题方法

(一)利用函数单调性的定义解题

在利用函数单调性的定义解题时需要熟练掌握定义法证明单调性的步骤，针对带有无理式的函数在运用定义法进行解答时需要注意无理式的有理化处理.

证明 设x1,x2∈R，其中x1

(二)利用图象变化趋势进行解答

函数图象直接表明函数的单调性趋势，因此借助函数图象也是解决函数单调性问题的方式之一.函数图象也可以与函数的奇偶性结合起来，奇函数在原点对称区间单调性相同，偶函数则相反.

(三)借助复合函数同增异减进行解答

在函数学习中，复合函数是函数y=f(t)与函数t=g(x)组合而成的函数形式.t=g(x)作为内层函数，而y=f(t)则作为外层函数，最终表现形式为y=f(g(x)).对于复合函数来说，如果内外层函数单调性相反，则其为递减函数，如果内外层函数单调性相同，则为递增函数.

例3 请判断复合函数f(x)=3x2+1的单调性.

解 先判断其外层函数f(t)=3t单调性，然后判断出内层函数t=x2+1单调性，利用复合函数单调性特征进行函数单调性的判断.

内层函数t=x2+1是关于y轴对称的偶函数，在区间(-∞,0)是递减函数，而在区间(0,+∞)上为递增函数.外层函数在区间(-∞,+∞)上为递增函数，同增异减的原则进行判断，该函数在区间(-∞,0)为单调减函数，而在区间(0,+∞)为单调递增函数.

(四)运用导数法进行函数单调性解答

在函数解答中导数也是比较常用手段，特别是解答函数单调性方面.简单便捷.

例4 设函数f(x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a为实数.若f(x)在区间(1,+∞)为单调递减，g(x)在区间(1,+∞)有最小值，求a的取值范围.

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1008-0333(2016)34-0018-01