运用概率帮你做估计和计算收费

韩宝华

现实生活中，很多时候无法用普查来统计数据.这时，我们常常请概率这个好朋友来帮我们做估计，帮助我们进行决策.

例1 在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同.小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色……如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%.对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率应稳定于30%；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的球是红球.其中说法正确的是（ ）.

A.①②③ B.①② C.①③ D.②③

【解析】当实验次数很大时，事件发生的频率稳定于一个值，这时我们用频率作为概率的估计值.

摸出红球的频率稳定于20%，则摸出红球的概率是20%，同样摸出黑球的概率是50%.因为每次要摸出一个球，这个球的颜色一定是红球、黑球或白球中的一个，所以分别摸出红球、白球、黑球的概率和为100%，则摸出白球的概率为100%-20%-50%=30%.所以①②正确.只有当实验次数足够大时，方可用频率来估计概率，在有限次的实验中，不能用频率进行准确的计算，只能说可能有20次摸出的是红球，而不是一定有20次，故③错误.

例2 为估计鱼塘中鱼的数量，先从鱼塘中捕捞30条鱼做上标记，然后放回鱼塘.经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从中多次捕捞，并计算得平均每200条鱼中带有标记的鱼有5条.试估计该鱼塘中鱼的数量.

【解析】设该鱼塘中有鱼x条，由多次捕捞，并计算得平均每200条鱼中带有标记的鱼有5条.可算得带有标记的鱼的频率为[5200]=[140]，并把它作为捕到带有标记鱼的概率的估计值，则由P（捕到带有标记的鱼）=[30x]=[140]，得x=1200（条）.

例3 如果事件A发生的概率是[5100]，那么下列推断，哪几个是正确的？

（1）做100次这种试验，事件A必发生5次；

（2）大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生5次；

（3）做100次这种试验，事件A不可能发生6次.

【解析】因为事件A发生是随机的，所以做100次这种试验，事件A发生的次数不一定是5次，0次到100次都有可能.只有在大量重复地做这种试验的基础上，事件A平均每100次发生5次.所以（1）（3）错误，只有（2）正确.

例4 某航空公司的保险合同上有这样一个条款：飞机一旦失事，将向每名乘客赔偿人民币50万元，但保险公司需向每名乘客收取保险费20元.如果该航空公司航班平均每次约有120名乘客，那么在n次飞行中，平均来说，当飞机失事的概率不超过多少时，才能保证保险公司的收入不小于支出？

【解析】设飞机失事的概率为x，在n次飞行中，平均失事nx次，平均赔偿120×50×nx万元，n次飞行中共收取保险费120×20n元，因为要使得收入不小于支出，所以可列不等式120×500000×nx≤120×20n.