颗粒材料破碎能耗分形理论研究

王益栋，徐永福，奚 悦

(上海交通大学 船舶海洋与建筑工程学院，上海 200240)

颗粒材料破碎能耗分形理论研究

王益栋，徐永福，奚 悦

(上海交通大学 船舶海洋与建筑工程学院，上海 200240)

大理岩颗粒材料破碎具有分形特征，为了研究颗粒压缩破碎的分形特征，结合大量的单颗粒破碎试验，得出了颗粒破碎粒径分布图，将颗粒破碎的形态特征分为3类，指出破碎形态与颗粒形状的关系。同时根据试验结果，确立了颗粒破碎时的变形与粒径的关系，并以此为依据，首次建立了颗粒破碎能耗与分形维数的关系。基于压缩破碎的试验结果得出分形维数，试验选取的颗粒破碎的分形维数D为2.48。所有的结论都建立在试验的基础上，所用假设经过试验结果的验证，与试验结果十分吻合。

颗粒破碎；分形模型；分形维数；破碎能耗；颗粒形状

1 研究现状

近年来随着大型工业与民用建筑建设的兴起与大型土石坝的兴建，堆石料被广泛应用于水利、港口、交通等岩土工程的建设中。堆石料具有许多优良的工程特性，如压实性能好、透水性强、填筑密度大、抗剪强度高、沉陷变形小和承载力高等[1]。岩石颗粒本身含有微裂缝，颗粒在荷载作用下产生弹性变形，随着荷载增大，颗粒内部的微裂缝开始扩展，产生塑性变形，最后扩展的裂缝贯穿整个颗粒发生颗粒破碎[2]。尤其在高压缩强度下，很容易产生颗粒破碎现象，引起结构改变，影响力学性质[1]。因此，开展颗粒破碎变化规律的试验研究对相关工程实践有指导意义。

McDowell等[2]提出土颗粒的破坏压力符合Weibull统计学分布，在剑桥模型中引入破碎耗能，采用颗粒破碎描述土体硬化；刘崇权等[3]研究了钙质砂在三轴试验条件下的破碎现象，提出颗粒破碎是一个外界对砂样做功转化为砂的内能的过程。迟世春等[4]提出考虑颗粒破碎耗能修正Rowe本构模型的颗粒破碎弹塑性本构模型。颗粒破碎本质上是颗粒变形能向表面能转换的过程。上述对于颗粒破碎无论是本质描述还是本构方程的研究都涉及颗粒破碎能耗，但都没有涉及分形理论。

Mandelbrot[5]于20世纪70年代提出了分形理论。分形研究的对象是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体，其维数的变化是连续的。人们可以对具有某些分形特性的对象建立近似的分形模型，然后应用分形作为工具，对这些对象进行分析和研究。国内外很多学者的研究已经证实了颗粒破碎具有分形特征[6-7]。徐永福等[8]、赵明华等[9]、刘松玉等[10]、田堪良等[11]、颜敬[12]分别从理论和试验的角度，运用分形理论对常见的工程材料进行了研究，结果表明材料的分形维数D介于2～3之间。Mandelbrot[5]建立了二维空间颗粒分布的分形模型；Tyler 等[13]建立了三维空间粒径分布的分形模型，假设不同粒径的土壤颗粒具有相同的密度，以颗粒质量代替颗粒体积，推导出以质量表示分形维数的公式。本文首次将单颗粒破碎试验与分形理论相结合，以上述分形模型为基础，研究颗粒破碎的形态特征和分形特性。

本文通过颗粒压缩破碎试验，描述了颗粒形态对破坏方式的影响，测得了选取的材料破碎的分形维数。通过试验得出了颗粒破碎时的变形量与颗粒粒径的关系，并依此建立了分形维数与颗粒破碎能耗的联系，从而通过分形理论描述颗粒破碎能耗。

2 分形模型

分形几何是描述一些奇异的、不光滑的集合，例如Cantor集、Koch曲线、Sierpinski垫片和海绵等，他们具有严格自相似性，并且用欧氏几何无法度量和描述。Mandelbrot[5]正式建立了分形理论，主要用于表征自然界的许多复杂与不连续的图形和过程，它不会因为系统的放大或缩小而变化。大量的岩石颗粒破碎实践证明，不仅颗粒本身的粒度分布具有自相似性，而且颗粒微观形貌本身具有自相似性和标度不变性。将分形理论引入颗粒破碎过程的研究中，目的就在于利用分形的观点对颗粒破碎过程这样一个不连续、突变、不可逆、非线性、离散的系统进行分析，找寻其内在规律，建立起联系宏微观超细粉碎理论的桥梁。依据分形理论，可用孔径di的筛子筛分试样，将筛下的物料总数计为M1(di)，筛网上物料总数计为M2(di)，试样总质量计为MT，则三维空间中，大于某一特征尺度di的颗粒数(di>di+1)随着i的增加逐渐减小，其构成的体积为

V2(di)=Cυ[1-(di/λi)3-D] 。

(1)

式中：D表示分形维数；Cυ，λi为与颗粒的形状、大小相关的常数。

颗粒在各粒径下的密度应该都是相同的，所以大于某一粒径di的颗粒的质量可表示为

M2(di)=ρV2(di)=ρCυ[1-(di/λi)3-D] 。

(2)

全部颗粒的质量表示为

MT=ρCυ[1-(0/λi)3-D]=ρCυ。

(3)

假定颗粒试样的最大粒径为dmax，则λi=dmax，代入式(2)可得

(4)

两边取对数，即

(5)

根据式(5)，颗粒筛下累计质量与颗粒尺寸在双对数坐标内是线性关系，且直线的斜率α为3-D，因此，颗粒分布的分形维数有如下关系，即

D=3-α 。

(6)

图1 试验装置Fig.1 Schematic diagram of particle-crushing apparatus

3 颗粒破碎试验

3.1 试验设备与试验材料

图1为单颗粒破碎试

验的仪器的示意图，试验机的量程为50 kN，精度为0.01 kN。

试验材料选用大理岩汉白玉颗粒材料，其主要化学成分是碳酸钙(CaCO3)，含有少量的碳酸镁(MgCO3)、二氧化硅(SiO2)、氧化铝(Al2O3)、氧化铁(Fe2O3)和其他杂质。试验材料颗粒并不是完全规则的球形，很难用“直径”的概念去描述，因此，引入“特征直径”d来描述颗粒的大小，定义特征直径d=(d1d2d3)1/3，其中d1,d2,d3分别是颗粒互相垂直的3个方向的最大长度。试验选取了600颗颗粒，特征直径范围在6.0～32.0 mm。

对单颗粒破碎后的颗粒进行筛分试验，以计算颗粒破碎的分形维数。筛分试验选取的一组筛子孔径分别为0.1,0.5,1.0,2.0,5.0 mm。

3.2 试验目的与试验方法

单颗粒破碎试验的目的是分析颗粒破碎形态，得出颗粒破碎的基本力学特征。筛分试验可根据分形模型计算分形维数。

试验开始前先将记录好特征直径的单颗粒放入试验台面板的中央，试验机启动后，将自动采集加载力和竖向压缩位移的实时数据，试验机下面板固定，上面板以1.0 mm/min的速率向下加载，直到颗粒完全破碎后，停止加载，记录实验数据并将破碎后的颗粒收集好。

3.3 试验结果与分析

3.3.1 颗粒形态对颗粒破碎的影响

分析所有的单颗粒破碎试验结果，颗粒破碎类型按照破碎后的颗粒数目可分为3类(如图2所示)：第1类，受压的颗粒突然破碎，伴随着较强的声响，破碎后形成2～3个颗粒；第2类，颗粒的首次破碎不如第1类颗粒那么强烈，但是会发生多次破碎，破碎后形成几颗小颗粒；第3类的破碎类似碾压式的破碎，颗粒破碎后形成很多颗细小的颗粒。形成上述3类颗粒破碎类型的原因与颗粒形状有关。

图2 颗粒破碎类型Fig.2 Types of particle-crushing

为描述颗粒破碎形态与颗粒形状的关系，把颗粒粒径按照一定的规则进行处理，表示在图3中。每个颗粒3个方向的直径按照从大到小的规则排列，有d1>d2>d3。x轴表示的是d3/d2，y轴表示的是d3/d1。所有的颗粒分布在以x=1，y=1为圆心的1/4圆内，颗粒位置越靠近圆心，则表明颗粒形状越接近球形；越远离圆心，颗粒越畸形。图3中阴影Ⅰ区，是形状较规则的颗粒，这里的颗粒破坏后大多形成几个颗粒，如图2所示，这是因为较规则的颗粒受压后容易从颗粒中央劈裂成两半，这一类破碎虽是整体的破碎，但不够彻底。阴影Ⅲ区表示的颗粒3个方向的粒径数值差异较大，也就是较畸形的颗粒，这类颗粒形状往往或扁或长，它们在受压时颗粒表面与加载面板的接触面积较大，因而颗粒会形成多个局部的破裂，破碎成较多细小的颗粒。阴影Ⅱ区则作为上述2种破碎形态的过渡区。

图3 颗粒形状分布Fig.3 Distribution of particle shape

颗粒破碎形态与颗粒粒径、形状的关系并不是严格对应的，因为影响颗粒破碎的原因有很多，如颗粒的矿物成分、微观结构、形状大小等。

图4 典型颗粒破碎加载力随压缩变形变化曲线Fig.4 Curve of load vs. displacement of typical particle-crushing

单颗粒破碎试验可以直接得到加载力随压缩变形增加的变化图，图4所示为一典型案例。颗粒开始受压后，加载力随变形急剧地线性增加，达到某一峰值时，加载力骤然下降，此时颗粒破碎，后续依然会有加载力的峰值出现，表明颗粒继续破碎。将加载力第一次到达峰值时的力定义为使颗粒破碎的破坏力。

将破坏力与颗粒特征直径的关系表示如图5所示，特征直径越大的颗粒，破坏力也越大。根据试验测得的加载力与特征直径计算得到的颗粒的破碎应力，可以计算颗粒的生存几率PS，定义某一指定应力σf*下，颗粒的生存几率为

(7)

图5 颗粒破碎试验破坏力与特征直径的关系Fig.5 Relationship between crushing force and representative diameter in particle-crushing test

根据破碎前颗粒的特征直径的大小，将颗粒分为6组，颗粒的生存几率如图6所示，颗粒的粒径越大，其强度越低，越容易破碎。

图6 颗粒的生存几率与应力强度的关系

Fig.6 Curves of survival probability of particle vs. stress strength

3.3.2 颗粒破碎分形维数的确定

根据分形理论模型，选取孔径分别为0.1，0.5，1.0，2.0，5.0 mm的一组筛子对破碎后的颗粒进行筛分，筛分时筛子从上到下按照孔径从大到小排列。某一孔径下所有颗粒的的质量累计记为该孔径筛下累计质量M1(di)。表1表示的是完全破碎后的筛分试验结果，完全破碎后，颗粒粒径全部<5.0 mm。

表1 完全破碎筛分数据

Table 1 Mass screening data by complete particle-crushing

孔径/mm筛下累计质量总质量孔径/mm筛下累计质量总质量0．10．12752．00．57230．50．27875．01．00001．00．3966

图7 破碎颗粒累计质量与粒径的关系分布Fig.7 Cumulative mass vs. particle size of crushed particle

根据式(5)的形式，将完全破碎的颗粒粒径-质量分布图表示如图7。以lg(di/dmax)为横坐标，以lg[M1(di)/MT]为纵坐标，图中各点具有明显的线性关系，经拟合，计算出直线的斜率α=0.52。根据式(6)，试验中颗粒破碎的分形维数D=3-α，也就是D=2.48。这与前人的结论“对于粗粒料而言，若粒度分布符合分形特性，则其粒度的分形维数介于2～3之间”相符。从物理意义上去解释，我们认为平面空间是二维的，而立体空间是三维的，破碎后的颗粒相当于三维的空间中填充实体颗粒并存在许多孔隙，因此实体颗粒在空间中一定是大于二维的平面空间且小于三维的立体空间。

4 分形维数与破碎能量的关系

大量的单颗粒压缩破碎试验结果表明，颗粒破碎时的变形δf与初始特征直径d存在线性关系,如图8所示。将试验数据结果拟合，是一条过原点，且斜率为0.023 4的直线,即

δf=0.023 4d 。

(8)

式中δf为加载的位移，也是垂直于加载方向的粒子变形。

图8 粒径与破碎变形的关系Fig.8 Relationship between particle size and crushing deformation

加载力在颗粒破碎的过程中对颗粒所做的功可以表示为

(9)

结合式(8)、式 (9)，加载力对粒子所做的功可近似表示为

(10)

由式(8)可知破碎时的加载位移δf∝d，则式(10)可表示为

(11)

Wang等[14]推导了颗粒破碎强度σ与破碎分形维数D的关系为

σ∝dD-3。

(12)

因此，

Ff∝σ·d2∝dD-1,

(13)

Ef∝dD。

(14)

通过式(14)可知，加载力对粒子所做的功与颗粒特征直径的D次方成正比，在对数坐标系中，可以表示成斜率为D的直线，即lgEf=Dlgd+C，这样就建立了分形维数与颗粒破碎能耗的关系。

图9是颗粒破碎能耗与初始特征直径的关系，横坐标是颗粒破碎前的特征直径，纵坐标是颗粒破碎的能量，均使用对数坐标表示。600个数据点分布可在对数坐标系中用直线拟合，图中拟合的直线的斜率k=2.50，与试验值D=2.48比较吻合。从分形维数的角度表达颗粒破碎能耗能够重新量化颗粒破碎能量平衡方程，从而推导颗粒破碎一维压缩变形方程。

图9 颗粒破碎能耗与颗粒直径的关系分布Fig.9 Relationship between particle-crushing energy consumption and particle size

5 结 论

(1) 通过单颗粒破碎试验，分析颗粒生存几率与颗粒粒径的关系，总结归纳了选取的颗粒材料在破碎的时候会产生3种破坏形态，不同的破坏形态是由于颗粒的不规则性和内部结构引起的，重点分析了颗粒破碎形态与颗粒形状的关系。

(2) 通过颗粒破碎的试验，依据分形模型，得出试验颗粒破碎的分形维数D=2.48。

(3) 通过试验得出了颗粒破碎时的变形量与颗粒粒径的关系， 依此， 将分形维数与破碎能耗建立联系使分形理论应用于颗粒破碎的研究显得更有意义。

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(编辑：罗 娟)

Study on Particle Crushing Energy with Fractal Theory

WANG Yi-dong, XU Yong-fu, XI Yue

(School of Naval Architecture, Ocean and Civil Engineering,Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China)

A large number of experimental studies have shown that marble particle crushing has fractal characteristics. The fractal model of particle crushing was described in this paper. Through crushing tests on single particle, the particle size distribution was obtained, and three patterns of particle crushing damage were described, and the relationship between crushing pattern and particle shape was presented. According to the results, the relationship between deformation when particle crushed and particle size was established. This research is the first attempt to determine the relathionship between particle crushing energy and fractal dimension through the use of fractal theory. The fractal dimensionDobtained from the test is 2.48. All conclusions are based on experiments, and all the theory and derivation are verified to be well consistent with experimental results.

particle crushing; fractal model; fractal dimension; crushing energy consumption; particle shape

2015-09-14；

2015-10-12

国家自然科学基金项目(41272318，41472251)

王益栋(1987-)，男，天津人，博士研究生，主要从事颗粒破碎等方面的科研，(电话)18116268088(电子信箱)xiaoyu001@sjtu.edu.cn。

10.11988/ckyyb.20150779

2016,33(12):86-90

TU443

A

1001-5485(2016)12-0086-05