函数的概念浅谈

高翔

中图分类号：TP3文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）12-0037-01

问题一：初中已学过函数，你能举几个函数的例子吗？

学生活动：举例

学情分析：学生在初中已学过函数的描述性定义，会把函数看成变量间的依赖关系，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，了解其图像和性质，且函数现象大量存在于学生周围。

学生举例情况预测：应能举出用解析式表示的函数，困难之处在于对图像、表格等函数的理解。

课堂实况：恰与预测相同，学生举出了如一次函数、二次函数的例子，也有同学能够举出实际生活中的实例，但学生不能举出图像和表格的函数例子。

教师举例：

①某城市从零点到晚二十四点一天的气温变化曲线图；（几何画板演示）②某学生考试成绩表。

学生顺利举出有解析式的函数后，对教师所给实例不能做出准确的判断，甚至有一些同学根本无从下手，不知如何判断。

原因是：学生已经忘记初中所学的函数定义，更谈不上对定义的应用。

对策：教师幻灯片给出初中所学函数定义，并引导学生作简要分析。重点班学生能利用定义迅速判断出教师所给的例子①、②是函数，而对口班学生则在知道、分析了定义后仍不能应用，需教师再细致引导、教授如何用定义判断，之后的判断比较顺利。

教学感想：在课堂中教师为主导、学生是主体是新教改教学的一个基本理念。那么在具体到这一堂课中应怎样贯彻呢？我认为应根据不同学校不同学生的情况具体问题具体分析。针对学生初中数学基础较差，函数部分仍为难点这一具体情况，教师在这里的“主导”地位体现在帮助学生回忆初中函数的定义，意识到“判断是否是函数”这一问题的解决工具是我们所学过的“函数的定义”，这就为学生铺设了一个台阶，让如何判断“是否是函数（图像与表格形式的函数）”这一让学生上不着天、下不着地的问题变得有理可依、有据可查。让问题恰好处在学生的“最近发展区”内。而实际课堂学生的回答的情况也表明确实如此。教师引导完后，具体例子的判断，话语权交给学生，贯彻“学生是主体”这一理念，让学生试着运用定义去解决问题。此时，学生状态很好，感觉对函数的判断很有成就感，学生积极踊跃地参与回答问题。此时，教师引领学生进一步深入思考，将学生的思维引入更高的一个层次，提出问题二。

问题二：我们已经学习了“集合”，你能用集合的语言刻画初中的函数定义吗？

也可进行分解成：

（1）x、y有范围吗？（2）定义中还有一个关键词是什么？

“对应”，我们在定义中给它一个符号f。

教学感想：对于一些抽象、难度较大的问题，教师要充分发挥“主导”作用，可将问题内容分解，难度降低，适当提示，给学生铺设台阶，给予助力。如果放任思考，对于一些基础不是特别好的同学可能会不知如何入手去想，从而游离思绪于课堂之外，失去了参与课堂的积极性。

课堂进行到这里，学生的思维已经从正面例子的感性认知体验上升到理性的定义总结，思维与理解都有了一定的深化与发展。在课堂实况中，教师明显看到很多学生面露欣喜，感觉很有收获，也有所成就。此时，教师进一步提问，掀起学生思维的波澜。

问题三：对示例②稍做改动，如下表所示，成绩还是考试次数的函数吗？

问题四：由于电脑故障，在未进行第四次考试的情况下，出现了如下表格，成绩还是考试次数的函数吗？

问题五：该生第四次考试缺考，如下表，成绩还是考试次数的函数吗？

问题三与问题四实质上是通过例子在对概念的内涵与外延进行理解、辨析；而问题五则是一个反例。这三个问题讨论辨析的环节是学生最为热烈、兴奋的环节，学生经过前面的训练已经有了运用定义解决问题的意识，学生均能自觉运用定义去判断，但有些同学在定义的关键点的理解上还不够深入，思维的严谨性有所欠缺，所以在问题的认识上有很多矛盾和冲突，学生之间的争论此起彼伏，而真理是越辨越明的，通过学生之间意见的交换、争论、辨析，学生的思维始终处在高度亢奋的状态，而函数定义中关键词的理解也在学生的辩论中跃然而出，不言而自明了。

问题三学生的困惑点在于两个88，争论的焦点是两个88符合“唯一”确定的y值吗？而解决这一问题的关键是理解定义中函数是建立在两个集合之间的对应。“考试次数”构成集合A，“成绩”构成集合B，运用集合中元素具有互异性，两个88在集合中只能出现一次，即符合唯一性。因此成绩是考试次数的函数。这里实质上考察函数定义中集合B中元素必须满足唯一性。即集合A中可以多个元素对应集合B中一个元素。

问题四实质上考察函数定义中集合B中元素可以不满足任意性，即B中元素可以多出来，问题五实质上考察函数定义中集合A中的元素必须满足任意性，即A中元素不可以多出来。在问题五中学生争论的焦点还在于缺考成绩如何处理的问题，若定义缺考为零分，则是函数；若定义缺考为没有成绩，则不是函数。

以上四个表格的例子可以用Venn图表示为：

这样表示的好处一是使学生非常清楚的理解函数的定义，同时也为后面学习映射埋下了伏笔。好处二是从图中也很容易发现y组成的集合不一定是集合B，即值域是集合B的子集。

课堂进行到这里，学生异常兴奋，感觉已非常明白，函数的概念具体、生动了许多。这时，教师引导学生再回到定义中去，让学生的思维从感性认识再上升到理性的思考与分析，提出进一步的思考问题。

问题六：在这个定义中，你认为哪些是关键词？

学生通过思考这个问题，找出函数的三要素为定义域、对应关系、值域。师生共同就上面的每一个例子，找出定义域即为集合A，值域为C=fx|x∈A，且CB。

在这个问题中难点是对应关系f到底是什么？以及对函数符号y=fx的正确理解。

整堂课学生的参与度之高，学生思维之活跃是前所未有的。与旧教材先讲映射，函数概念抽象难懂相比，新教材以大量实例引入，以初中概念为依托，由学生自己循序渐进地得出函数的新概念，使得概念难度降低，学生易于接受，再由特殊到一般，映射概念的出现水到渠成。

如果说旧教材像逻辑严谨、谆谆教导的严师，那新教材就像一位循循善诱、娓娓道来的朋友，她使我们的数学像堕入凡间的仙子，离我们越来越近了！

（作者单位：石家庄第十一中学）