防空导弹武器系统可信度建模

赵曰强, 麦 强, 许庆彦

(1.哈尔滨工业大学管理学院, 黑龙江 哈尔滨 150001; 2.中国航天科工防御技术研究院,北京 100854; 3. 清华大学材料学院, 北京 100084)



防空导弹武器系统可信度建模

赵曰强1,2, 麦 强1, 许庆彦3

(1.哈尔滨工业大学管理学院, 黑龙江 哈尔滨 150001; 2.中国航天科工防御技术研究院,北京 100854; 3. 清华大学材料学院, 北京 100084)

防空导弹武器系统效能通常采用ADC(availability,dependability,capability)模型来评定。随着装备的发展和对抗复杂性的提升,系统可信度的建模和分析计算越发关键。通过分析装备本身的功能组成结构,分析系统所有可能的状态及状态转移概率,来建立可信度的求解模型。并用算例进一步验证了模型,证明了模型的适用性。

防空导弹; 系统效能; ADC模型; 可信度模型

0 引 言

由于防空导弹武器系统组成复杂,在系统效能分析和模型建立时要对导弹系统、探测制导系统、发射系统、指控系统、支援保障系统的工作状态进行综合分析与描述,单指标模型有很大的局限。为了准确地评定防空导弹武器的系统效能,需要把影响作战效能的各种因素进行全面、系统的分析,将各单项效能进行综合,构成一个能概括武器系统效能各个分量的综合解析表达式,从而对导弹武器系统进行全面分析。而ADC(availability,dependability,capability)模型是用系统可用性向量A、可信度矩阵D、固有能力矩阵C的乘积表示系统效能,即

E=ADC=(ai)1×n·(dij)n×n·(cjk)n×m=(ei)1×m

(1)

式中,A=(ai)1×n表示系统在开始执行任务时处于不同状态的概率,其任一元素ai表示系统在开始执行任务时处于状态i的概率;D=(dij)n×n描述系统在执行任务过程中完成规定功能的概率,其中元素dij表示在执行任务过程中系统由i状态转入j状态的概率;C=(cjk)n×m表示系统在可用、可信条件下达到任务目标的概率,其中元素cjk表示系统在有效状态j中的第k个能力描述指标。

上述三要素在效能中呈现链状逻辑,即可用性、可信度和固有能力中任一项为零时,系统效能为零。

可信度(dependability)也就是武器系统在开始执行任务时刻处于某一状态,而执行任务过程中的某时刻转移为另一种状态的概率。可信度矩阵是系统使用过程中,处于可工作状态的度量,是系统在使用过程中完成规定任务或具备规定性能的量度。可用性描述的是战备状态,而可信度描述的是战斗状态。

在进行防空导弹武器系统效能评估时,对固有能力的研究比较多,但可信度经常忽略或被过度简化。因可信度与武器系统的可靠性、维修性及人员等因素有关,包含诸多定量的、定性的和模糊的因素,目前尚无简便、有效、定量的计算和评估方法。这个问题逐步引起装备承制和使用部门的重视,本文就是开展这方面研究。

1 系统可信度的量度

若假设系统有n个状态,在执行任务过程中的t时刻,每一种状态都可能转变为这n种状态中的任意一种状态,则可信度可以用n×n的状态转移矩阵来表示,称为可信度矩阵D(t)=(dij(t))n×n。即

(2)

式中,dij(t)为系统从Si状态开始执行任务后,在执行过程中的t时刻处于Sj状态(有效状态)的概率。

矩阵D(t)中每个元素都有dij(t)∈[0,1],每行元素和为1,即

(3)

矩阵D(t)中的元素dij(t)按照元素右下角的编号越大则故障越多越严重的规则排序,系统在执行任务过程中的状态转移可能有以下3种情况。

(1)i>j时,系统状态变坏。出现这种情况的原因有两种:一是系统自身变坏;二是没修好或没修。

(2)i=j时,系统状态无变化。出现这种情况的原因有两种:一是系统性能自身无变化;二是没修好或没修。

(3)i

将在执行任务过程中故障可修复的系统称为可修复系统,故障不能修复的系统称为不可修复系统。

如果武器系统在执行任务的过程中不能修理,则系统在开始执行任务时出现的故障始终存在,所以可信度矩阵中与这些单元或部件对应的元素都为零。按照元素右下角的编号越大故障越多越严重的规则,因而可信度矩阵为一个上三角矩阵,即为

(4)

需要明确,状态转移概率矩阵P中的元素(pij)n×n是描述系统在任意时刻由Si状态经过一次转移到状态Sj的概率,是一个与时间无关的量,是用故障率λ和维修率μ来表达的。可信度矩阵D中的元素(dij)n×n是描述系统在开始执行任务时刻处于Si状态,在执行任务过程中的t时刻,转移到Sj状态的概率,其是一个与时间t有关的量,是用故障率λ、维修率μ、可靠度R(t)和维修度M(t)来表示,若不考虑工程中的维修，可用可靠度R(t)来表示,可靠度的计算是基础。

2 防空导弹武器系统可信度模型

2.1 对防空导弹武器系统的建模条件

在应用Markov过程的状态转移矩阵来建立系统可信度矩阵计算模型之前,为了简化问题,本文对防空导弹武器系统特作如下描述和约定:

(1) 某防空导弹武器系统假设有n种状态,并约定系统状态依照其各状态功能逐渐降低来排序。武器系统各单元全可用、系统正常工作、功能最强的状态记为S1，武器系统故障、不能工作记为Sn，则武器系统处于状态Si(1

(2) 防空导弹武器系统的各单元的故障出现和修理时间均服从指数分布,即故障率λ和修复率μ是常数。

(3) 出现故障的单元经修复后,其再发生故障的分布与原系统状态相同。

(4) 系统的各组成只有正常和故障两种状态。

(5) 在极短的时间Δt内,系统中只能有一个单元出现故障或被修复。

2.2 系统的功能组成结构。

考察目前世界的防空导弹武器系统,按逻辑组成可分为如图1所示的3种结构。图1中,C为指挥控制车;R为制导雷达车;S为搜索指挥车;Fi(i=1,2,…,n)为导弹发射车,n≥3(I),n≥2(II); Ii(i=1,2,…,m)为跟踪照射车,m≥3;FUi(i=1,2,…,n)为制导发射车,n≥3; Mi(i=1,2,…,k)为导弹,k为单车(架)载弹量。

以C-75D(SA-2)防空导弹武器系统为例,逻辑组成符合结构I,由1辆C车、1辆R车、6辆F车和6枚导弹(1枚导弹/车)组成,分析其逻辑结构、计算状态数和可用性向量。将串联系统合并处理,也就是将其中的串联系统合并成一个单元来考虑。这样原系统14个单元就合并为7个单元,大大减少了状态数,简化了计算,又不影响计算结果。形成的系统逻辑结构图,如图2所示。

图1 防空导弹武器系统结构框图Fig.1 Structure block diagram of air defense missile weapon system

图2 C-75D(SA-2)防空导弹武器系统结构框图(合并后)Fig.2 Structure block diagram of C-75D(SA-2) air defense missile weapon system (after merging)

再如爱国者防空导弹武器系统也符合结构I,但其每辆发射车装4枚导弹,4枚导弹并联后和发射车串联,就又变得更复杂，如图3所示。

2.3 确定系统的状态

如果某几个不同的状态对应的系统执行任务的能力相同,则应将这几个状态合并为一个状态。

可信度也就是武器系统在开始执行任务时刻处于某一状态,而执行任务过程中的某时刻转移为另一种状态的概率。可信度矩阵是系统使用过程中,处于可工作状态的度量,是系统在使用过程中完成规定任务或具备规定性能的量度。

如果系统在工作过程中的任一时刻,出现n个两两互斥事件中一个且仅出现一个,则称这些事件为状态。

图3 爱国者防空导弹武器系统结构框图Fig.3 Structure block diagram of Patriot air defense missile weapon system

防空导弹武器系统属于复杂系统(含串并联的复合系统),一个火力单元有多个目标通道,一个目标通道有多个导弹通道,状态非常多。

下面本文整理几种防空导弹武器系统的状态数来观察,如表1所示。

表1 几种防空导弹武器系统的状态数

仍以C-75D(SA-2)防空导弹武器系统为例,来说明防空导弹武器系统的状态及状态转移。如表2所示。由表2可以看出,C-75D(SA-2)防空导弹武器共有7种状态,状态1～6,系统处于可用状态,状态7为故障状态。

表2 C-75D(SA-2)防空导弹武器系统的状态表

2.4 建立状态转移概率矩阵

系统从Si状态开始执行任务后,在执行过程中处于Sj状态(有效状态)的概率为pij,称为pij转移概率,pij的状态转移如图4所示。状态转移概率pij只取决于状态Si和状态Sj,而与所有以前的状态无关,这是Markov随机过程。若假设系统有n个状态,每一种状态都可能转变为这n种状态中的任意一种状态,则共有n2个状态转移概率pij(i,j=1,2,…,n)。n2个状态转移概率,按同一起始转移状态排成一行,同一结束状态排成一列,则按状态顺序可以排成一个n阶方阵,称为状态转移概率矩阵P=(pij)n×n,即

(5)

式中,pij为系统从Si状态经过一次转移到Sj状态的概率。

图4 C-75D(SA-2)防空导弹武器系统状态转移示意图Fig.4 Schematic diagram of state transition of C-75D(SA-2) air defense missile weapon system

特别地,如果系统不可修复,则状态转移概率矩阵P是一个上三角矩阵,即

(6)

对状态转移概率矩阵P进行检验。利用矩阵P的两条重要性质,来检验所建立的矩阵P的正确性。

矩阵中的元素即状态转移概率pij只与故障率λ和修复率μ有关。

由图4可见防空导弹武器系统的状态转移非常复杂,如美国的爱国者防空导弹武器系统,每个火力单元有8辆发射车,每辆发射车装4发导弹;而每个火力单元的配套数量内,如发射车由于阵地配置、防守方位、目标的不同,不能认为没有差异,因此状态会更复杂。

2.5 建立系统状态方程

现在考虑两种状态Si和Sj,当系统在t时刻处于状态Si的概率为pi(t)时,根据状态转移概率pij,可知经过Δt时间后,系统转移到状态Sj的概率为pijΔt,记系统在t时刻处于各种状态的概率为

(7)

则在t+Δt时刻系统处于状态Sj的概率为

Pj(t)=pi(t)pijΔt

(8)

由于t时刻系统可能处于n种的任一状态,经过Δt时间后每一种状态都可能转移到状态Sj,因此,在t+Δt时刻系统处于各状态的概率为

(9)

将方程组式(9)的第1,第2,…,第n个等式两边分别减去p1(t)Δt,p2(t)Δt,…,pn(t)Δt后,得

(10)

令Δt→0,即得到系统的状态方程,其是一个一阶线性常系数微分方程,用矩阵表示为

(11)

式中,U=[P′-I],P′为状态转移概率矩阵P的转置矩阵,I是与P′同阶的单位矩阵;p(t)为列向量。

(12)

2.6 通过状态方程求解可信度矩阵

在初始时刻系统可能处于n种状态中的任一种,所以状态方程式有n个初始条件:

(13)

求出状态方程的通解后,代入n个初始条件得到n个特解,如式(13)表示。

(14)

式中,d1(t)表示系统在初始状态为p01于t时刻转移到各状态的概率;d2(t)表示系统在初始状态为p02于t时刻转移到各状态的概率;以此类推,dn(t)表示系统在初始状态为p0n于t时刻转移到各状态的概率。

将这n个特解写成矩阵形式,即得到系统的可信度矩阵

(15)

为了将复杂问题合理简化,根据防空导弹武器系统执行任务的特点,由于其属于快速反应系统,每个作战过程时间很短,射击中来不及对失效部件进行修复,也就可以不考虑在执行任务的过程中的修理,即其可信度矩阵的某些元素为零。因为在开始执行任务后(或执行任务时)处于故障状态的单元不可能再开始工作,所以其中这些单元对应的元素都等于零。而且,状态序号越大(时间越靠后)故障越多,这时可信矩阵为一个三角矩阵。如果系统是一个不可修复系统,则其状态转移概率矩阵P是一个上三角矩阵,对应的状态方程系数矩阵是一个下三角矩阵,状态方程和求解过程都可简化,而较容易得到可信度矩阵D，即

D=(dij)n×m,i>j时dij=0

(16)

3 算例

下面研究两个例子,第一个是最简单、最典型的防空导弹武器系统的模型,借此说明计算的步骤和方法应用,第二个继续研究第2节讨论的C-75D(SA-2)防空导弹武器系统例子,通过算例来对模型进行丰富完善。

算例 1 某防空导弹武器系统A只有正常和故障两种状态,系统的故障率为λ,修复率为μ。按可修复和不可修复分别计算工作中t时刻系统的可信度矩阵;若系统的MTBF=40 h,计算不可修复情况下连续工作2 h是系统的可信度矩阵。

下面进行分析,将系统A的正常状态记为S1,故障状态记为S2。

(1) 如果防空导弹武器系统A是一个可修复系统。

首先来分析该系统状态转移矩阵P每一个元素的取值:

系统由状态S1状态转移到状态S1,即维持正常状态不变,也就是未出故障。由于系统的故障率为λ,因此未出故障的概率为1-λ,故有p11=1-λ;

系统由状态S1状态转移到状态S2,即由正常状态转变为故障状态。由于系统的故障率为λ,故有p12=1-λ;

系统由状态S2状态转移到状态S1,即故障状态经修理后转变为正常状态。由于系统的修复率为μ,故有p21=μ;

系统由状态S2状态转移到状态S2,即维持故障状态不变,也就是故障未修复。由于系统的修复率为μ,因此未修复的概率为1-μ,故有p22=1-μ。

于是,该系统的状态转移概率矩阵P为

(17)

利用矩阵P的两条重要性质对状态转移概率矩阵P进行检验，建立的矩阵是正确的。

由状态转移概率矩阵建立状态方程的系数矩阵U为

(18)

状态方程为

(19)

可求得方程的通解为

(20)

该系统有两种状态,因此状态方程有两个初始条件

(21)

将这两个初始条件分别代入通解,得到两个特解为

(22)

于是,工作中t时刻系统的可信度矩阵D(t)为

(23)

式中,t为执行任务的持续时间;λ为故障率;μ为修复率。

(2) 如果防空导弹武器系统A是一个不可修复系统,即修复率为μ=0。

于是,该系统的状态转移概率矩阵P为

(24)

建立状态方程的系数矩阵U为

(25)

状态方程为

(26)

可求得方程的通解为

(27)

有两个初始条件

(28)

将这两个初始条件分别代入通解,得到两个特解为

(29)

于是,工作中t时刻系统的可信度矩阵D(t)为

(30)

式中,t为执行任务的持续时间;λ为故障率。

系统的可靠度为

R(t)=e-λt

(31)

则可信度矩阵D(t)可记为

(32)

(3) 设该防空导弹武器系统MTBF=40 h,是一个不可修复系统,计算连续工作到2 h的可信赖矩阵。由条件可计算得

再由t=2 h,可求出工作到2 h时刻的系统可信度矩阵为

(33)

本例是一个最简单、最典型的也是比较实用的防空导弹武器系统可信度矩阵的计算模型,因为相当数量的系统本身就是由多个部件串联而成的系统,或者可简化为由多个单元串联而成的系统,而这类系统就只有正常或故障两种状态,可直接参照本例进行可信度矩阵的计算。

算例 2 C-75D(SA-2)防空导弹武器系统由1辆C车、1辆R车、6辆F车和6枚导弹M(1枚导弹/车)组成,如图2所示;如果C车MTBF:TC=120 h,R车MTBF:TR=55 h,F车MTBF:TF=350 h,导弹的可靠度RM=0.9;计算战斗状态持续t=0.25 h时,过程中不修复,单次射击任务的可信度矩阵。

(1) 将串联系统合并处理,这样可靠度RC+R=RC·RR,RF+M=RF·RM。原系统就合并为7个单元,分别有可用和故障两种状态,如果不考虑不同发射车和导弹的差异则该武器系统有7种状态,如表2所示，状态转移如图4所示。那么可信度矩阵为7阶方阵。

(2) 可以直接分析可信度矩阵中每一行元素的意义。

第1行表示系统初始状态为S1,即指控雷达系统、发射车导弹都正常,系统正常,工作到t时刻,系统转移到各状态的概率:

d11为指控雷达系统、发射车导弹都正常,系统状态仍为S1,表示为

d12为其中1个发射车导弹故障,系统状态转移到S2,表示为

d13为其中2个发射车导弹故障,系统状态转移到S3,表示为

d14为其中3个发射车导弹故障,系统状态转移到S4,表示为

d15为其中4个发射车导弹故障,系统状态转移到S5,表示为

d16为其中5个发射车导弹故障,系统状态转移到S6,表示为

d17为所有6个发射车导弹都故障或指控雷达故障,系统状态转移到S7,表示为

d17=RC+R·(1-RF+M)6+(1-RC+R)

第2行表示系统初始状态为S2,即系统中1个发射车导弹故障,指控雷达系统、另外5个发射车导弹都正常,工作到t时刻,系统转移到各状态的概率:

d21=0为其中一个故障的发射车导弹在工作期间不可修复,系统状态不能由S2转移到S1。

d22为指控雷达系统正常,其中1个发射车导弹故障,系统状态仍为S2,表示为

d23为其中2个发射车导弹故障,系统状态转移到S3,表示为

d24为其中3个发射车导弹故障,系统状态转移到S4,表示为

d25为其中4个发射车导弹故障,系统状态转移到S5,表示为

d26为其中5个发射车导弹故障,系统状态转移到S6,表示为

d27为所有6个发射车导弹都故障或指控雷达故障,系统状态转移到S7,表示为

d27=RC+R·(1-RF+M)5+(1-RC+R)

第3行表示系统初始状态为S3,即系统中2个发射车导弹故障,指控雷达系统、另外4个发射车导弹都正常,工作到t时刻,系统转移到各状态的概率:

d31=d32=0为其中有故障的2个发射车导弹在工作期间不可修复,系统状态不能由S3转移到S1或S2。

d33为2个发射车导弹仍然故障,系统状态仍为S3,表示为

d34为其中3个发射车导弹故障,系统状态转移到S4,表示为

d35为其中4个发射车导弹故障,系统状态转移到S5,表示为

d36为其中5个发射车导弹故障,系统状态转移到S6,表示为

d37为所有6个发射车导弹都故障或指控雷达故障,系统状态转移到S7,表示为

d37=RC+R·(1-RF+M)4+(1-RC+R)

第4行表示系统初始状态为S4,即系统中3个发射车导弹故障,指控雷达系统、另外3个发射车导弹都正常,工作到t时刻,系统转移到各状态的概率:

d41=d42=d43=0为其中有故障的3个发射车导弹在工作期间不可修复,系统状态不能由S4转移到S1、S2或S3。

d44为3个发射车导弹仍然故障,系统状态仍为S4,表示为

d45为其中4个发射车导弹故障,系统状态转移到S5,表示为

d46为其中5个发射车导弹故障,系统状态转移到S6,表示为

d47为所有6个发射车导弹都故障或指控雷达故障,系统状态转移到S7,表示为

d47=RC+R·(1-RF+M)3+(1-RC+R)

第5行表示系统初始状态为S5,即系统中4个发射车导弹故障,指控雷达系统、另外2个发射车导弹都正常,工作到t时刻,系统转移到各状态的概率:

d51=d52=d53=d54=0为其中有故障的4个发射车导弹在工作期间不可修复,系统状态不能由S5转移到S1、S2、S3或S4。

d55为4个发射车导弹仍然故障,系统状态仍为S5,表示为

d56为其中5个发射车导弹故障,系统状态转移到S6,表示为

d56=2RC+R·RF+M(1-RF+M)

d57为所有6个发射车导弹都故障或指控雷达故障,系统状态转移到S7,表示为

d57=RC+R·(1-RF+M)2+(1-RC+R)

第6行表示系统初始状态为S6,即系统中5个发射车导弹故障,指控雷达系统、另外1个发射车导弹都正常,工作到t时刻,系统转移到各状态的概率:

d61=d62=d63=d64=d65=0为其中有故障的5个发射车导弹在工作期间不可修复,系统状态不能由S6转移到S1、S2、S3、S4或S5。

d66为5个发射车导弹仍然故障,系统状态仍S6,表示为

d66=RC+R·RF+M

d67为所有6个发射车导弹都故障或指控雷达故障,系统状态转移到S7,表示为

d67=RC+R·(1-RF+M)+(1-RC+R)

第7行表示系统初始状态为S7,即系统中所有6个发射车导弹都故障,或指控雷达系统故障,系统不能工作,由于系统不能修复,到t时刻,仍不能工作。即d71=d72=d73=d74=d75=d76=0，那么d77=1。

(3) 由条件计算得

那么

RC(0.25)=e-λC×0.25=0.997 9

RR(0.25)=e-λR×0.25=0.995 5

RF(0.25)=e-λF×0.25=0.999 3

由

R1=RC+R=RC·RR=0.993 4

R2=RF+M=RF·RM=0.899 4

(34)

(4) 经检验,矩阵D(t)中每行元素和为1。

4 结 论

防空导弹武器系统可信度矩阵的计算步骤,通过系统的状态方程,是一个一阶常微分方程,求通解,再由初始条件求特解,得到可信度矩阵,算例1就是采用这种方法计算的。也可以看出,对于系统状态较多时,计算过程复杂,可利用Matlab编程采用龙格库塔法求解微分方程。

算例2采用的是分析法,把可信度矩阵中的元素用可靠度表达出来,比较易于理解。这需要对系统及各单元的可靠度比较清楚。

研究与评定武器系统的作战适应性问题越来越引起高度重视,其受武器系统的可靠性、维修性、测试性、保障性、可用性、安全性、兼容性、互用性等多种因素的综合影响,即综合考虑完成任务的能力高低、生存能力的强弱与武器系统互操作性等,可信性量化计算困难。本文研究通过解析计算利用定量分析方法,使问题明确化,比较直观,便于决策。

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Dependability modeling research of air-defense missile weapon systems

ZHAO Yue-qiang1,2, MAI Qiang1, XU Qing-yan3

(1.SchoolofManagement,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,China; 2.DefenseTechnologyAcademyofChinaAerospaceScience&IndustryCorporation,Beijing100854,China;3.SchoolofMaterialsScienceandEngineering,TsinghuaUniversity,Beijing100084,China)

Effectiveness of the air defense missile weapon system is usually evaluated by the ADC (availability,dependability,capability) model. With the development of equipment and the promotion of confrontation complexity,the modeling and analysis of the system dependability is one of the key issues. By analyzing the functional structure of the equipment, analyzing all possible system states and state transformation probability, the solution model of the dependability is established. The model is further proved by a numerical example, and the applicability of the model is verified.

air defense missile; system effectiveness; ADC model; dependability model

2016-05-04;

2016-09-13;网络优先出版日期:2016-11-22。

TJ 761.1, N 945.17

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.12.15

赵曰强(1970-),男,研究员,博士研究生,主要研究方向为航天系统总体、系统工程管理。

E-mail:zhyqng@hotmail.com

麦 强(1977-),男,副教授,博士,主要研究方向为航天系统工程。

E-mail:maiqianghit2003@126.com

许庆彦(1971-),男,教授,博士,博士研究生导师,主要研究方向为材料建模与仿真。

E-mail:scjxqy@tsinghua.edu.cn

网络优先出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20161122.1347.022.html