圆柱壳结构的功率流特性研究

鲍天渊

摘要：本文以水中有限长加肋圆柱壳为研究对象，利用模态叠加法导出了在点激励作用下壳体的传播功率流表达式，通过数值算例探索了振动功率流在壳体中的传播途径和规律。

关键词：圆柱壳；功率流；Flügge理论

中图分类号：TB532 文献标识码：A

1 引 言

水下弹性圆柱壳结构与流体介质的耦合振动及其噪声预报是一个复杂的综合问题，涉及到弹性结构的振动力学、声学以及结构与流体介质的耦合振动分析等多方面的理论。国内外学者对圆柱壳结构的振动与声辐射进行过大量的研究：Harari等[1] Harari A， Sandman B E. Radiation and vibrational properties of submerged stiffened cylindrical shells[J]. J. Acoust. Soc. Am.， 1990，88（4）：1817-1830.]]研究了具有任意边界条件的水下有限长加肋圆柱壳体的振动与声辐射；汤渭霖等[2] 汤渭霖，何兵蓉. 水中有限长加肋圆柱壳体振动与声辐射近似解析解[J]. 声学学报. 2001，26（1）：1-5.]]得到了有限长加肋圆柱壳的振动与声辐射的近似解析解，并研究了肋骨对声辐射的影响。

自Goyder H G D和White R G[3-5]于1980年创建功率流理论以来，功率流方法作为一种能同时表征振动水平和振动传递的方法，已经广泛应用于声振特性分析中。本文基于Flügge壳体理论，通过数值计算得到了振动功率流在壳体中的传播途径和规律。

2 水下有限长加肋圆柱壳的解析解

如下图所示的浸入在水中长为L的弹性加肋圆柱薄壳，流体介质为理想流体，半径为R，壳体厚度为h，h/R<<1，材料密度ρp，杨氏模量E，损耗因子η，泊松比μ，周围流体介质密度ρ0，声速c0，肋骨高度为hr，厚度为dr，间距为d，第j根肋骨位置为xj，共T根肋骨，假设激励力为随时间简谐变化的集中点力，作用于壳体上，方向沿半径指向外部，薄壳振动可以用中面在x、θ、r方向的位移u、v、w来表示，两端边界条件为简支，即：

壳体振动采用Flügge方程[6]来描述：

（1）

其中[L]为Flügge微分算子（略），在这里，我们同时略去了方程两端力与位移中的时间项e-iωt。其中Fr的表示外部激励力，p表示流体介质对壳体的作用力，g表示肋骨对壳体的作用力，其具体表达式分别由文献[7][8]给出：

其中：

K为积分变量， 。

和 分别为第一类汉克尔函数和第一类汉克尔函数的导数。

T表示肋骨个数，Zrn为肋骨的n阶模态机械阻抗，ρr为肋骨材料的密度，Ar为肋骨截面积，hr为肋骨的高度。

上述振动方程的解取驻波形式，设解的形式为：

根据简支边界条件有：

将形式解代入Flügge方程即可得到壳体的振动位移响应。

3圆柱壳体中的输入与传播振动功率流

3.1圆柱壳体的传播功率流

根据文献[6]中给出的壳体微元应力-应变关系，得到其任意位置的轴向应力与力矩Nx、Nθx、Mx、Mθx，周向应力和力矩Nθ、Nxθ、Mθ、Mxθ，以及径向力Qx、Qθ，作静力等效得到其在任意位置处的有效轴向力Nex、有效周向剪力Tex、有效径向力Sex、有效轴向弯矩Mex分别为：

有效轴向剪力Teθ、有效周向力Neθ、有效径向力Seθ、有效轴向弯矩Meθ分别为：

根据振动功率流的定义，进而得到对于圆柱壳中的任意一点，其轴向传播的功率流为：

周向传播的功率流为：

取圆柱壳体曲面上若干个点，只考虑功率流的大小忽略其传播方向，即可得到功率流在圆柱壳体上的云图，进而更加直观的看出不同位置处功率流大小的分布情况。

4数值计算

4.1模型参数

圆柱壳的基本参数：长度L=1.2m，半径R=0.4m，厚度h=0.003m，圆柱壳材料密度ρp=7800kg/m3，杨氏模量E=2.1×1011N/m2，损耗因子η=0.01，泊松比μ=0.3。水的密度ρ0=1000kg/m3，水中声速c0=1500m/s。假设激励力为点激励，方向沿半径指向外部，作用于壳体中间的内表面处。肋骨个数为9个，轴向均匀分布，肋骨间距d=0.12m，肋骨截面为矩形，其宽度dr=0.012m，高度hr=0.05m，肋骨材料与壳体材料相同。

4.2功率流传播云图

利用式（12）与（13），分别可以求得壳体的轴向和周向功率流传播分量，进而可以得到其功率流云图，选取频率为100Hz，如下图所示：

其中颜色较深的区域表示该处功率流传递强度更大，能量交换速度更快，且由于激励力的两侧采用的符号不同导致对称的位置颜色不同。由上图可见，该频率下，在激励点附近的传播强度相对较大，在远离激励点的位置传播的功率流相对较小，且变化不大，功率流最大值均位于激励点附近的区域，且功率流沿轴向的衰减更慢，由于肋骨的存在，能量难以向两端传递。而相对来讲，沿周向传播的功率流衰减更快，即周向传播的功率流由于结构周向封闭更容易产生叠加相消的现象。

类似的，为了更进一步更加直观的研究不同频率下的功率流传播规律，选取500Hz与1500Hz两个频率点分别得到其各自的功率流云图如下：

由上图可以看出，频率越高，能量传递更加不规则，这是由于随着频率的提高，激发出更多的高频模态，波长更短。此外，激励点附近同样具有较为明显的特征。

5结 论

本文基于Flügge理论，考虑了流固耦合作用得到了水下加肋圆柱壳的传播功率流解析表达式，通过数值计算发现壳体中的功率流最大值位于激励点附近，而随着频率的提高，功率流在壳体中的传递途径更加复杂和不规则。这些结论对于振源识别，圆柱壳体中的能量传递途径和规律，以及进行功率流试验测量时测点的布置都具有一定的指导意义。

参考文献：

[1] Harari A， Sandman B E. Radiation and vibrational properties of submerged stiffened cylindrical shells[J]. J. Acoust. Soc. Am.， 1990，88（4）：1817-1830.

[2] 汤渭霖，何兵蓉. 水中有限长加肋圆柱壳体振动与声辐射近似解析解[J]. 声学学报. 2001，26（1）：1-5.

[3] Goyder H G D， White R G. Vibration power flow from machines into built-up structures， Part I： introduction and approximate analysis of beam and plate-like foundations[J]. Journal of Sound and Vibration，1980，68（1）：59-75.

[4] Goyder H G D， White R G. Vibration power flow from machines into built-up structures， Part II： wave propagation and power flow in beam-stiffened plates[J]. Journal of Sound and Vibration，1980，68（1）：77-96.

[5] Goyder H G D， White R G. Vibration power flow from machines into built-up structures， Part III： power flow through isolation systems[J]. Journal of Sound and Vibration，1980，68（1）：97-117.

[6] Wilhelm Flügge. Stresses in shells[M].Berlin：Springer-Verlag，1960.

[7] Junger M C， Feit D. Sound， structures， and their interaction. second edition[M]. The MIT Press，1986.

[8] Burroughs C B. Acoustic radiation from fluid-loaded infinite circular cylinders with doubly periodic ring supports[J]. J. Acoust. Soc. Am.，1984，75（3）：715-722.