学实数，悟思想

赵军

学实数，悟思想

赵军

一、分类思想

例1若x是16的平方根，则5-x的平方根是____.

【解析】因为x=±4.所以①当x=4时，5-x=1，其平方根是±1；②当x=-4时，5-x=9，其平方根是±3.故5-x的平方根是±1或±3.

【变式练习】若||x-7=5，则x的值为_____.

【思路点拨】绝对值等于5的数有两个，分别是5和-5，所以要分两种情况求解.

【方法归纳】情况不明，分类在前.

二、类比思想

【解析】任何非0实数的0次幂等于1，非0实数的负指数幂的结果只需要“底倒指反”（“底倒指反”是指底数改写成它的倒数，指数改写成它的相反数）.原式=

【变式练习】观察下列等式，回答问题：

【方法归纳】（1）在实数范围内，任何数都可进行开立方运算，任何非负数都可进行开平方运算，类比有理数的相关知识，去理解无理数、实数的相关知识；（2）遇到规律问题要有序观察，采用各个击破的方法找规律.

三、整体思想

例3求各式中x的值.（1）25（x-2）2-36=0；（2）-（x+3）3=27.

【解析】第（1）题中把x-2视为一个整体，先求出（x-2）2的值，再开平方根求出（x-2）的值，

【思路点拨】先注意观察两个根式，其被开方数分别是2x-5和5-2x，它们互为相反数，且被开方数不能为负数，故可列出不等式组，求出x的值，然后得到y的值，最终求出2xy的值.

【方法归纳】解决问题时，要把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，整体思考问题，这样往往能使问题的解答简洁明快.在考虑问题时，我们要有一种宏观思维和大局意识.

四、转化思想

【解析】可将两个数分别平方，减少根号的个数，尽量把无理向有理转化，然后去掉相同

【变式练习】如图1，长方体的长、宽、高分别是3、4、5，求其表面上点A到点B的最短距离.

图1

图2

【思路点拨】这是立体图形表面上的最值问题，解题思路应考虑将其展开，得到平面图形后求两点之间的距离.如图2，展开后在RtΔABC中，求得点A到点B的最短距离为74.

【方法归纳】把复杂问题向简单问题转化是我们解决问题的一种思维方式.一般而言，无理问题要向有理问题转化，立体问题要向平面问题转化.通过转化，达到陌生问题熟悉化、复杂问题简单化的目的.

五、逼近思想

A.段①B.段②C.段③D.段④

【解析】本题以数轴上的点为问题背景，考查了同学们对无理数的估算能力.解答本题的关键在于先估算8在哪两个数的平方之间，再确定在哪两个数之间.对照数轴上的数字，分别计算出它们的平方：2.62=6.76，2.72=7.29，2.82=7.84，2.92=8.41，32=9.∵7.84＜8＜8.41，∴的点落在段③.

A.0＜m＜1B.1＜m＜2

C.2＜m＜3D.3＜m＜4

【方法归纳】对无理数，尤其是根式的比较大小、确定范围，通常要先进行“无理”化“有理”这样一个过程，通过平方，达到“逼近”的目的，从而估算出其范围.

（作者单位：江苏省东台市新街镇中学）

责任编辑：沈红艳见习编辑：李诗

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