图像恢复问题的混合谱梯度算法*

李 楠，郑子君，吴 恒，牛善洲,†

(赣南师范大学 a.商学院;b.数学与计算机科学学院，江西 赣州 341000)



·计算方法·

图像恢复问题的混合谱梯度算法*

李 楠a，郑子君b，吴 恒b，牛善洲b,†

(赣南师范大学 a.商学院;b.数学与计算机科学学院，江西 赣州 341000)

基于两阶段方法，本文提出了一个图像恢复问题的混合谱梯度(Hybrid Spectral Gradient, HSG)算法，并在一定条件下证明了算法的全局收敛性. 数值实验结果表明,HSG算法大大减少了计算时间同时可以保持图像的边缘以及纹理结构信息.

图像恢复；谱梯度方法；两阶段方法；全局收敛性

1 引言

图像去噪是图像恢复的一个基本问题，是图像分析的基础.目前，去除脉冲噪声的许多方法都是基于非线性滤波器[1].中值滤波器曾经是一种去除噪声的通用方法[2].此外，自适应中值滤波器[3]和自适应中心加权滤波器[4]也相继被提出，这两种方法可以恢复噪声水平较高的图像.由于没有考虑到图像的边缘信息，其在去除噪声的同时往往会破坏图像的边缘以及纹理结构信息.

(1)

(2)

的拟牛顿方法和一类共轭梯度方法.基于两阶段算法，本文提出了一个求解问题(2)的混合谱梯度(Hybrid Spectral Gradient, HSG)算法,并在一定条件下证明了算法的全局收敛性.

2 HSG算法

设当前迭代点为tk，其对应的梯度为gk，则求解无约束优化问题的谱梯度方法的迭代格式为：

(3)

其中tk由下面的式子给出

(4)

或者

(5)

其中，sk-1=uk-uk-1，yk-1=gk-gk-1.

最近，Yu[7]等提出了一个自适应谱梯度算法， 其步长的选取方式为：

(6)

其中,0<β<1充分接近1.

Han 等[8]提出了一个多元谱梯度算法, 其迭代格式为：

(7)

(8)

考虑到多元谱梯度算法和自适应梯度算法的数值表现， 我们将其结合起来提出了一个混合的多元谱梯度算法，其计算步骤如下:

步1：给定u0∈Rn，γ∈*0,1)，α0=1/‖g0‖∞，δ>0，0<σ1<σ2<1,0<ε<1,非负整数M≥0,k=0.

步2:如果‖gk‖=0, 则停止.

步6:令σ∈[σ1σ,σ2σ],转步5.

步7:设置,转k=k+1步2.

3 收敛性分析

定理1 设f∶Rn→R是连续可微的,集合Ω={u|f(u)

令c1=min(ε,δ),c2=max(1/ε,δ).则上述条件满足文献[9]中的所有假设，因此上述定理得证.

由文献[6]中的性质3和性质4，可知函数Fα是Lipschitz连续且对应的Hessian矩阵正定.因此，我们可以直接得到如下的收敛性定理：

定理2 设φα(t)是偶的,凸的,严格单调增加,连续可微以及Lipschitz连续的,{uk}为HSG算法产生的点列.则存在{uk}的子列收敛到Fα的全局最优解u*.

4 数值实验

本文，我们将HSG方法与文献[9]中的Polak-Ribière 共轭梯度(PRCG)方法进行比较.PRCG方法的搜索方向dk为:

图1 噪声水平70 %的图像(第一行)，HSG方法恢复后图像(第二行)

图1为70%噪声水平的图像，以及HSG方法恢复的图像.第一行为噪声图像，第二行为HSG方法去噪的图像.图像中的噪声大大减少同时较好地保持了图像的边缘信息. 进一步,为了定量比较HSG和PRCG方法,表1给出了用这两种方法恢复幅受不同噪声水平污染图像的数值结果，“Niter”表示算法的迭代次数(10次测试的平均结果).从表中可以看出HSG方法比PRCG方法节省大约60%-80%的CPU计算时间.

表1 HSG方法和PRCG方法对比

5 结论

本文提出了一个图像恢复问题的混合谱梯度方法，在一定条件下建立了算法的全局收敛性.数值实验表明本文提出的方法比共轭梯度方法具有更高的峰值信噪比以及更少的计算时间.

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A Hybrid Spectral Gradient Method for Image Restoration

LI Nana, ZHENG Zijunb, WU Hengb, NIU Shanzhoub

(a.SchoolofBusiness;b.SchoolofMathematicsandComputerSciences,GannanNormalUniversity,Ganzhou341000,China)

In this paper, based on a two-phase scheme, a hybrid spectral gradient (HSG) method is proposed for image restoration. Moreover, under considerable assumptions, its global convergence can be established. Experimental results show that HSG method can effectively reduce the CPU time and preserve the edge details.

image restoration; spectral gradient method; two-phase method; global convergence

2017-07-01

10.13698/j.cnki.cn36-1346/c.2016.06.002

江西省青年科学基金项目(2016BAB212055)；江西省教育厅科学技术研究项目(GJJ150994)；国家自然科学基金项目(11661007)

李楠，女，赣南师范大学商学院教师；郑子君，赣南师范大学数学与计算机科学学院2015级研究生；昊恒，男，赣南师范大学数学与计算机科学学院2014级研究生.

http://www.cnki.net/kcms/detail/36.1037.C.20161209.1500.006.html

O224

A

1004-8332(2016)06-0008-04

† 通讯作者：牛善洲，赣南师范大学数学计算机科学学院教师，研究方向：最优化理论方法及其应用.