初中数学教学中的数形结合思想

汤昆

摘 要在解决初中数学问题过程中，运用数形结合的思想，根据问题的具体情形，把图形性质问题转化成数量关系来研究。或者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以“数”助“形”或以“形”助“数”，使问题简单化、具体化，促进“数”与“形”的相互渗透，这种转换不但能提高教学质量，同时也能有效地培养学生思维素质，所以“数形结合”是初中数学的重要思想，也是学好初中数学的关键所在。本文就数形结合的思想谈一点自己的认识。

【关键词】初中数学；数形结合思想

1 数形结合思想的地位和重要性

数与形是数学研究的两类基本对象。“数”是指数与式，“形”是指图形与图像。数形结合的思想可以变抽象思维为形象思维，揭示数学本质的东西。在初中数学教学过程中，我们可以利用平面直角坐标系将代数和几何问题紧密地联系起来，为许多实际问题的解决提供了新的思路和策略，对问题的解决产生事半功倍的效果。

通过培养学生“数形结合”的思想，可以检测出他们掌握数学基础知识的程度、理解知识的深度及对数学知识的综合运用能力。在初中阶段训练学生利用“数形结合”的方法观察、分析问题，有助于学生学习抽象的知识，对锻炼相应的数学思维也有极大的帮助。

2 数形结合的思想在初中数学中的应用主要体现在以下两个方面

2.1 有数思形数形结合，用形来解决数的问题和解决一些运算公式；把代数关系（数量关系）与几何图形的直观形象有机的结合起来，使抽象的问题形象化复杂的问题简单化。如：

（1）利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等。

（2）用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理。

（3）用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题。

（4）用图形比较不等式的大小问题。解这种类型题的关键是根据数（量）结构特征构造出相的几何图形，将概念形象化，复杂计算的问题简单化。

2.2 由形思数数形结合。解决这类问题的关键是运用数的精确性来阐明形的某些属性；将图形信息转化为代数信息，利用数（量）特征将图形问题转化为代数问题来解决。这类问题在初中数学中运用的也比较多，如：

（1）用数（量）表示角的大小和线段的大小，用数（量）的大小比较角的大小 和线段的大小。

（2）用有序实数对描述点在平面直角坐标系内的位置。

（3）用方程、不等式或者函数解决几何量的问题。

（4）用数来描述点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直线与直线的位置关系。

2.3 其实在解有关的数形结合问题并不是单纯的由数思形或者有形思数的问题，一般都是综合运用题。利用数形结合解有关的问题时要注意一下几个问题：

（1）注意数与形转化前后的一致性；

（2）要注意用数的精确性准确的去描述图形的特征；

（3）把数转化成形时要注意图形的全面形。因为有的数学问题对应的问题不唯一就必须根不同的情况作出相应的图形，再进行讨论求解。

3 数形结合的实践教学

在有关“数形结合”知识点的教授过程中，必须掌握等价转换、数形互补的原则。着重培养学生的如下能力：

（1）根据学生的年龄特点在学习的不同的阶段的认识水平和知识特点，采取循序渐进，由易到难逐步深入不断提高学生的认识水平和解题能力

（2）选择典型的例题进行讲解并指导学生进行有真对性的练习。让学生通过解题明白用数形结合解决有关的问题可以避免复杂的运算和推理大大的简化了解题的过程；使学生从感性认识到理性的认识在实践中得到锻炼。使其在解决问题的同时感到自身的成就感，从而激发其学习的兴趣。使学生能够体会到用数形结合解决有关问题的简便性，从而使其养成自觉的用数形结合的思想解决有关的问题习惯。

（3）学会形中觅数，善于观察图形，找出图形中蕴含的代数关系 ，如果在一个几何问题中，条件和结论都容易用代数中的式子表示出来，那么，我们就可以把解决这个问题的过程转化为代数中的演算来完成。

（4）善于数中思形，正确构造图形，通过几何模型反映相应代数信息 有些许多代数问题利用几何方法可以很容易的解决，然而由于代数关系比较抽象，因此，若能结合问题中代数关系赋予几何意义，那么往往就能借助直观形象对问题做出透彻分析，从而探求出解决问题的途径.在数形转化中，必须遵循等价转换原则和数形互补原则，在教学中有意识地进行训练，不惜从点滴做起，坚持实践，学生思维素质便得到提高，从而为今后的学习打下坚实的基础。

（5）任何一种解题的思想方法都不是孤立的，在教学中还应根据具体的问题利用现有的教材注意几种思想方法的综合运用。同时要充分发挥学生在学习中的主观能动性，因势利导会收到很好的教学效果。

总之，数形结合的思想是一种重要的数学思想，有助于把握数学问题的本质，它是数学规律性和灵活性的由机结合。运用数形结合的思想解决数学题的关键是找准数与形的契合，与形巧妙的结合起来，根据不同的问题相互转化，使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化；利用数形结合的思想解决有关的问题不仅可以增强解决问题的灵活性，还可以提高分析问题和解决问题的效率，从而在解题中可以产生事半功倍的效果；同时也利于学生理解和接受。数形结合的思想方法，不象一般的数学知识那样，学生易于理解和接受，通过几节课的讲解学生就可以掌握。

作者单位

江苏省淮安市徐杨中学 江苏省淮安市 223010