数学中的美学

姚寒青

纯数学是一门科学，同时也是一门艺术。

——法国诗人诺瓦利

“纯数学是一门科学，同时也是一门艺术”。如今的数学，已成为研究自然科学和社会科学的基础学科，它已渗透到经济、历史、建筑、音乐、美术、文学等各个领域中。本文以数学的历史为基础，多角度展现数学美的外在与内涵，提取数学中美的精彩内容和片段，从艺术和思维的角度，来欣赏数学之大真、大善、大美。以求在美的熏陶下，感受数学别样的美丽，并得到思维的启迪与感情的共鸣，同时，期望对数学教育有所帮助。

马克思说过：“社会的进步就是人类对美的追求的结晶。”数学，作为一门不断推动社会进步，时代发展的学科，其中当然存在着美。数学是一种独特的逻辑，是自然科学的语言，在其内容结构方法上，都具有自身的某种美，就是数学美。正是数学美的存在，数学这门古老的学科，才符合事物生存和发展的原则，生存于久远。

数学家、哲学家罗素赞道：“数学，如果正确地看它，则具有——至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷峻而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那样华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术，才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。”[2]

是的，数学是一种精神，它永远选择最简的、最美的，当然也是最好的。数学通过人们对生活的需要而慢慢发展，它和面包一样重要。数学是人类对生活经验和对事物的观察中得来的观念，然后对其进行抽象后产生的。数学是思考、想象甚至可以说是幻想，数学的世界永远充满着神奇。其思想精巧、惊人、迷人、有趣和美丽，是数学真正的精髓。

1 首先数学美在简单

数学简化了思维过程并使之更可靠。

——弗赖伊（T.C.Fry）

华罗庚教授说过：宇宙之大、微粒之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之迷、日用之繁……无不可用数学表述。数学之所以用途如此之广，因为数学的首要特点在于它的简单，简单本身就是一种美。

数学的简单性在生活中屡见不鲜：

食堂餐券只需印上3角、5角两种便可支付任何8角或8角以上的菜款而无须找钱。电子信息技术的日益发展，虽然现在很少还有食堂在采用餐券制，但较好地体现了数学的简单性。类似地，硬币和纸钞上面的面额更为人们所熟悉。

牛顿曾说：“数学家不但更容易接受漂亮的结果，不喜欢丑陋的结论，而且他们也非常推崇优美雅致的证明，而不喜欢笨拙与繁复的推理。”简单即为美，以下将从符号美，公式美及统一美等方面来描述。

1.1 符号美

数学是上帝用来书写宇宙的文字。

——伽俐略

数学是思维的体操，同时又是一种符号“游戏”。历史告诉我们，采用合理的符号，能使数学学科得到迅速发展，相反，若没有一套合理的符号，其进展就会十分缓慢。古代数学的漫长历程、今日数学的飞速发展，17、18世纪欧洲数学的兴起，我国几千年数学发展进程的缓慢，这些在某种程度上归咎于数学符号的运用是否恰当。

莱布尼兹说：“数学符号节省了人们的思维。”数学符号是数学语言的记录与表现，可使人们摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力在主要环节，增加人们的思维能力。数学是一个符号的世界，数学思维必须有一套严格的符号系统。数学符号的产生发明、使用流传，经历着一个十分漫长的过程，并且仍在继续。这个过程始终贯穿着人们对自然、和谐与美的追求。

① 从各国古代不同的记数符号，至阿拉伯数字的创造、改进、流传与通用；从四则运算符号加（+）、减（-）、乘（×）、除（÷）和乘方（ak）、等号（=）、未知数（x， y， z）等符号的产生、演化；从各国各异的“方程”符号至现今方程的数学表达式的统一， 无不表现着人们追求数学和谐、简洁、方便、明晰的审美过程。

② 数学在发展，人们对于数的认识也在不断深化，当原有的符号对新的概念感到无能为力时，人们也随之创新。

如用希腊字母？仔表示圆周率这个无限不循环小数；

③ 数学中还有许多运算符号，这些符号均有其独特含义，使用它们不仅方便而且简洁。

比如用“！”号表示阶乘：n！=n×（n-1）×…×2×1。

数学符号具有高度的概括性和精确性，它是数学特有的美感。数学中同一个概念开始往往用不同的符号表示，人们在使用过程中不断对其进行鉴别以确定优劣（实用性、方便性、简洁性等），这里面也蕴涵着一个审美过程。“一种合适的符号要比一种不良的符号更能反映真理。更合适的符号带着自己的生命出现，并且它又创造出新的生命来。”

数学思维借助于符号系统来展现，也正是符号成为了数学世界通用的语言，把数学建立在稳固的基石上。伽俐略的一段话颇为流传经典；“宇宙是永远放在我们面前的一本大书，哲学就写在这本书上。但是，如果不首先掌握它的语言和符号，就不能理解它。这本书是数学写的，它的符号是三角形、圆和其他图形，不借助它们就一个字也看不懂，没有它们就只会在黑暗迷宫中踟躇。”

1.2 公式美

这个世界可以由音乐的音符组成，也可以由数学的公式组成。

——爱因斯坦

如果说数学符号是人类创造的，那么公式就是大自然乃至宇宙本身所蕴涵的真理，是人类的智慧发现了它们，然后用符号表述出来。自然界的现象与事物千姿百态，经过人类的观察、思维、分析与实践，抽象得到了很多表面现象后内在的东西，公式则就是内在实质（众多数学定理、命题）的外在表现。

世界上的圆无穷无尽，有大有小，但惟有数学几何上的圆最标准、纯粹、完美，因为它的周长与直径之比精确等于一个无理数π，即有C=π D。这是一个简洁的公式，其所反映的又是一种十分奇妙而和谐的关系，且有学者称它为“宇宙间的第一等好诗。”

正、余弦定理概括了三角形边、角的一般关系。直角三角形中三边关系a2+b2=c2更是古代人们智慧的结晶。

数学公式不是天生的，当有人找到现实事物间的客观联系，并赋予它每个字母每个符号的涵义，它才变得富有生机，它是某些数学知识的精华。也只有具有一定数学素养的人才能从中读出丰富的内涵（数学的“至高无上”）。

2 其次数学美在和谐

所谓“数学的和谐”不仅是宇宙的特点，原子的特点，也是生命的特点，人的特点。

——高尔泰

宇宙是和谐的，许多中外哲人都把宇宙的和谐比拟为音乐的和谐，也比拟为我们听不到的一首诗。和谐的事物向来给人以美的外观与一致的内涵。中国传统文化里有“中庸之美”这一说，和谐就是“中庸”，是美得雅致，美得协调，美得恰到好处，是一种最佳状态。

2.1 和谐美

我指的是本质的美，它来自自然的各个部分的和谐秩序，并且纯智力能够领悟它。

——庞加莱

在数学中，毕达哥拉斯首先提出“美是和谐与比例”，和谐是人们追求数学美的准则。为了追求和谐，史上的数学家们一直努力，以消除一些不和谐的东西——比如悖论。很大程度上，悖论对数学的发展起着举足轻重的作用，它们正是数学理论之间不和谐所引起的，但通过消除这些不和谐的事物，更是促进了数学的进一步发展。

数学的和谐首先表现在它能为自然界的和谐找到极佳的论证。

“蜂房结构”问题[4]，是一个生物进化选择最优、最和谐的例子。 蜂房的构造，乍看上去是一些并排且规则摆放的正六边形的“筒”，再仔细观察便会看到：每个筒底由三块同样大小的菱形搭成（如图1）。有学者测量了蜂房底面三块菱形的角度：钝角？琢=109°28，锐角？茁=70°32，证实了其实蜂房的如此构造，能使建造同样大的容积所用材料最省。

这些事实不得不让人赞叹，造物主真是一个数学家，数学论证了自然界的和谐。

数学还能解释自然的和谐，甚至能让它为人类所用。

最典型的一个例子是：数学家们依据人口增减过程，研究建立了人口增长的数学模型。并求得了人口增长的数学表达式，式中N表示当初人口数，N表示t时间后的人口数，c、k为待定常数（它们依据不同地区、不同国家、不同时期情况而变化）。公式表明人口增长是按几何级数增加的，人口的迅速增长若不加控制，人类生存所必需的一切条件将处于危险中。这一实例说明了数学与人类生存世界的和谐相联系。

上面各种事例可见，对数学和谐美的追求，可启迪人们的思维，指明人们研究的方向与方法。怪不得有人称“数学是一门万用的并具有绝对真理的艺术”。

2.2 对称美

秩序和对称是美的重要因素，而这两者都能在数学里找到。

——亚里士多德

著名德国数学家、物理学家外尔（H. Weyl）说：“美和对称是紧密相连的。”“对称”在生活、艺术、自然界、各门科学中的例子屡见不鲜。从日常生活用品到建筑物，从生物细胞的构造到动植物外貌，从分子晶体的排布到化合物的组成……其中皆蕴含着对称。

“对称”最初源于几何。我们平面几何中的对称有轴对称和中心对称。比如圆（毕达哥拉斯学派认为，圆是平面上最完美的图形）、正方形，它们既是轴对称图形，也是中心对称图形。立体几何中的对称除了上述两种外，还有平面对称。立方体、球等都是点、线、面对称的图形。

除了图形上能看到的直观对称外，有一些公式和概念中也存在着对称的思想。

如牛顿万有引力公式：F=k，这个公式中m，M是空间互相吸引的两个物质的质量，显然在式中处于同等地位，这也是一种对称。

从更广泛的意义上讲，“数论”中的奇数和偶数、质数与合数，“代数”中的正数与负数，“三角”中的正弦与余弦、正切与余切、正割与余割等等，也可看作是对称。

数学多种概念也是成对出现的：函数与反函数，象与原象，增函数与减函数，正比例函数与反比例函数，奇函数与偶函数，开区间与闭区间，收敛与发散，连续与离散，由一般到特殊的演绎法和由特殊到一般的归纳法，它们都体现着对称的思想。

可以这样说：数学中不少概念与运算，都是人们对于“对称”问题的探讨派生出来的，数学中的对称美除了作为数学自身的属性外，也可看成启迪人们思维及研究问题的方向。

3 结束语

人类用同一种语言建造了精神的巴比塔，那就是数学。它是生活，也是艺术。数学真正的核心不是一些让人生畏的公式，而是隐藏在其中的优秀的人类思想。数学科学作为几千年来人类智慧的结晶，其巧妙和谐的体系，严密而无懈可击的说服力，在解决实际问题时表现出来的神奇力量，使许许多多的人为之倾倒。这神奇的力量正是来自数学中的美。

数学美是人们对现实美的反映，经过人们思想情感影响着人们的数学实践、科学实践。对美的追求是数学创造最主要的动力，对美的追求推动着自然科学、人文科学的发展，对美的追求也推动着数学本身和数学教育的发展。

最后，以某位名家的话总结全文：“数学的世界是一个圈，没有所谓的起点与终点，在这个纯美的地方，我们只要走得够远，总能到达某个地方。”

[责任编辑：张涛]