解决立体几何的三种方法

朱小扣●

安徽省无为县牛埠中学(238351)



解决立体几何的三种方法

朱小扣●

安徽省无为县牛埠中学(238351)

立体几何是高考的重要考点之一，笔者现对其解答方法做如下探讨：

一、颠倒法

解 根据题设条件，可以将图1颠倒成图2.首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.

按题意有A(-2，0)，B(2，0)，C(2，4a)，D(-2，4a)

直线OF的方程为：

2ax+(2k-1)y=0

①

直线GE的方程为：

-a(2k-1)x+y-2a=0

②

从①，②消去参数k，得点P(x,y)坐标满足方程2a2x2+y2-2ay=0后面过程略.

笔者参加过2003年安徽高考，发现原图是图1，而后的各种参考资料都直接把图2放在题目的后面，这就会让学生认为这题很简单，其实，学生要用图1做的话难度会加大，又如例二.

例2 (2013年安徽卷理科19题)

如图3，圆锥顶点为P.底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°.AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，

(Ⅰ)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；

(Ⅱ)求cos∠COD.

解析 可以将图3颠倒成图4，这个问题就很简单.我考试后也找学生了解过，做不出来主要是倒的圆锥在平时考试中没见过.通过颠倒法就可以让学生在短时间内将题目进行化归从而找到解答的方法.

评析 从2003到2013年，真是十年相似两茫茫.笔者估计以后的高考也会出类似的考题.虽然颠倒法简单，但是想到的却不多，真是大道无门啊！颠来倒去是本身，只有充分理解事物的本质，才能运用好颠倒法.

二、补形法

例3 (2013年全国新课标Ⅱ卷理科7题)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为( )

解

将其补出正方形框架(虚线)，则它在zOx平面的投影为

，故答案A.又如下例：

例4 (2012年安徽“江南十校”理科19题)如图6，在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABG,平面ADF,平面CDE都与平面ABCD垂直，且ΔABG,ΔADF,ΔCDE都是正三角形.

(Ⅰ)求证：AC//EF

(Ⅱ)求多面体ABCDEFG的体积

只要将原图补成长方体ABCD-A1B1C1D1如图7就可以秒杀这一题

解 依题意可将原图补成长方体ABCD-A1B1C1D1,可得，E,F,G是所在棱的中点.

(1)证：连接A1C1,∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，E，F分别是C1D1,A1D1的中点,

∴EF//A1C1.

又∵A1C1//AC,∴EF//AC.

V多面体ABCDEFG=V长方体ABCD-A1B1C1D1

-V三棱柱BB1G-CC1E-V三棱锥D-D1EF-V三棱锥A-A1C1F

此题给的标准答案虽然不是用补形法做的，但是命题者应该是从长方体的角度构建的，补形之后这题一目了然.

评析 通过补形法可以弥补学生空间想象能力的不足，让学生充分理解局部和整体的联系，必须见微知著，做到窥一斑而知全豹,这样才能更好理解题目，才能更好的运用补形法.

三、旋转法

例5 点P为正方形ABCD内一点,若PA=1,PB=2,PC=3,求正方形ABCD的边长.

解析 只要将ΔBPC绕着B点逆时针旋转900到ΔBP′A就可以做出来了，这是在平面的应用，在空间中举例如下

例6 一个三棱锥棱长分别为1，1，1，1，1，a.求a的范围.

通过旋转这一题就完美的解决了，又如例7.

例7 (2010年辽宁卷理科12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是( )

用这种方法还可以解决如下题：

评析 通过旋转可以达到动态与静态的结合，平面与立体的结合.所谓的一静一动谓之道，在旋转的过程中我们才能更好发觉题目的内涵，才能更好的认识事物的本质与规律.

遇到立体几何问题时，原则上可以用上面三种方法解决.三种方法的运用能很好的锻炼学生的思维.与此同样重要的是，要能灵活运用，不能刻板，知识多是交织的，所以有时要用多种方法结合才能解决，正所谓：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”.要想学好数学我们还是要做一名乐之者.

G632

B

1008-0333(2016)28-0006-02