用“阻抗变换”分析2016年高考物理变压器问题

李志雄

变压器是中学物理中的热点和难点问题，各种文献和复习材料也较多，概括其所总结的求解理想变压器问题基本思路有：（1） 通过变压器原、副线圈的磁通相等；（2）变压器的输入功率与输出功率相等；（3）由上述二点推得的原、副线圈的电压关系，电流关系.

但分析变压器问题还有一种教辅中鲜有提及的思路：原副线圈电路中负载电阻的等效关系， 2016年全国卷Ⅰ高考物理第16题正适合采用此思路.

1 理想变压器原副线圈电路中负载电阻的等效关系

在交流电路中，理想变压器除了有改变电压、电流的作用外，从等效思想的角度看，还有变换负载阻抗的作用，以下简称阻抗变换.

如图1，假设理想变压器原副线圈的匝数比n1n2=k， 接在副线圈的电阻为R，不妨把变压器和副线圈的负载看成一个“黑箱”，这个黑箱仅露出二个接线端a和b，测得当加在其两端的交流电有效电压是U1时，流经两端的有效电流是I1，则有：

Rab =U1I1=kU2I2k=k2U2I2=k2R

显然，当U1、I1变化时，上式总成立，故可把这个“黑箱”看作大小为k2R的电阻.

说明1 变压器的初、次级阻抗比等于初、次级匝数比的平方，对于升压变压器，k<1，起缩小阻抗作用，对于降压变压器，k>1，起放大阻抗作用.

说明2 实际应用中，阻抗变换常用于在电子线路实现阻抗匹配.而在有关高中变压器习题的解答中，可利用阻抗变换，把一些含理想变压器的电路问题，等效转换为高中生常见的纯电阻电路来分析.

2 解题应用

例1 （2016年全国卷Ⅰ高考理综第16题）一含有理想变压器的电路如图2所示，图中电阻R1、R2和R3的阻值分别为3Ω 、1Ω 、4Ω，A为理想交流电流表， 为正弦交流电压源，输出电压的有效值恒定.当开关S断开时，电流表的示数为I；当S闭合时，电流表的示数为4I.该变压器原、副线圈匝数比为

A.2 B.3 C.4 D.5

解析 本题涉及的是副线圈电路中阻抗变化对原线圈电路中电流的影响，若由原副线圈电压电流的关系去分析显得隐晦复杂.设变压器原副线圈匝数比为k，利用阻抗变换，去掉变压器，开关闭合前后的等效电路如图3.

开关S断开时有：U=I[R1+k2（R2+R3）]，

代入数值，U=I（3+5k2）

开关S闭合时有：U=4I（R1+k2R2），

代入数值，U=4I（3+k2）

将两式相比消去U、I得：k2=9，故k=3，选B.

例2 已知交变电源电动势有效值为E=4 V，内阻为r=1 Ω，经过变压器给电阻为R=16 Ω的负载供电，可通过调整原副线圈的匝数比使负载R获得的功率变化， 求负载R上能获得的最大功率和获得最大功率时原副线圈的匝数比.

解析 设原副线圈的匝数比为k，利用阻抗变换，去掉变压器，相当于直接接上阻抗为k2R的负载，等效电路如图4.

由于在纯电阻电路中，交流电压和交流电流的有效值与电阻之间关系同直流电路类似，可应用全电路欧姆定律中推论：当内阻与负载大小相等时，负载的功率最大，即r=k2R，求得k=rR=14.

此时等效负载与内阻同为1 Ω，等效电路电流I=E2r=2A，负载功率P=I2k2R=4W.

例3 如图5所示，输出变压器的副线圈绕组有中央抽头，以便接负载阻抗为8 Ω或3.5 Ω的扬声器，为了使两者都能达到阻抗匹配，求副线圈绕组中两部分线圈的匝数之比n2n3.

解析 利用阻抗变换，依题意有：

（n1n3）2·3.5=（n1n2+n3）2·8，

消去n1，展开后有：

7n22+14n2n3-9n23=0，

两边同除以n23得：

7（n2n3）2+14（n2n3）-9=0

利用二次方程求根公式得：

n2n3=47-77≈12