基于拓扑优化和骨架提取的杆系结构设计方法

周奇才,吴青龙,熊肖磊

(同济大学机械与能源工程学院,上海 201804)



基于拓扑优化和骨架提取的杆系结构设计方法

周奇才,吴青龙,熊肖磊

(同济大学机械与能源工程学院,上海 201804)

以二值图像细化算法为基础,提出了基于有限单元8-邻域网格模型的骨架提取算法.通过SKO(Soft Kill Option)拓扑优化方法获得连续体拓扑优化结果.应用网格模型骨架提取算法,提取拓扑优化模型的网格骨架,找到反映拓扑结构特征的传力关键点,再基于传力关键点连接杆件形成杆系结构.以该方法得到的杆系结构具有优化的拓扑结构和力学特性,因而杆件布置合理,结构应力分布均匀.

杆系结构; 拓扑优化; 骨架提取; SKO算法; 有限单元

ZHOU Qi-cai,WU Qing-long,XIONG Xiao-lei

(School of Mechanical Engineering,Tongji University,Shanghai 201804,China)

杆系结构是对结构拓扑和形状非常敏感的结构体系[1].传统的杆系结构设计多是根据经验、参考相关设计手册和规范标准或借鉴现有产品来进行的程式化设计,而杆系结构的优化设计也多是在人为给定了初步方案之后,借助计算机软件进行力学分析与验证,再根据分析结果进行优化与改进,且多是对杆件进行尺寸优化和形状优化,而对于结构优化中较高层次的拓扑优化[2],传统的杆系结构优化算法则难以实现.因此,按传统思路设计出来的结构虽然符合标准规范的要求,但往往局限于传统结构形式和工程师的经验,设计的结构在应力、应变等方面具有较大的冗余.这是因为在给定了拓扑构型的结构方案上进行优化,可优化的空间很小,难以获得最佳方案.为此,本文提出了一种新的杆系结构设计思路,将杆系结构的优化从设计的后期向初期发展.将杆系结构优化设计与连续体的拓扑优化设计相结合,先将给定的杆系空间填满材料,施加上约束和载荷;然后对该充满材料的区域进行拓扑优化设计,找到具有最佳传力路径的拓扑结构;接着对该拓扑结构进行骨架提取,找到传力关键点;最后连接传力关键点即得到杆系结构.用该方法得到的杆系可视为具有优化拓扑构型的杆系结构,可在此基础上进行进一步的尺寸优化和形状优化.

本文首先简要介绍SKO拓扑优化算法,然后详细说明基于二值图像细化算法的有限单元网格模型骨架提取算法,最后以算例对算法进行说明.

1 连续体拓扑优化

1.1 结构拓扑优化简介

结构拓扑优化包括连续体拓扑优化和离散结构拓扑优化.连续体拓扑优化方法主要有均匀化方法、密度法和渐进结构优化方法等;离散结构拓扑优化方法主要有Michell解析法、基结构法等[3,4].本文所使用的方法是SKO算法,它是基于生物自适应生长规律而提出的一种启发式结构拓扑优化方法,最早是由德国的Karlsruhe 研究中心提出[5-7].SKO法的核心思想是通过迭代计算不断“硬化”高应力区域的材料,同时“软化”低应力区域的材料,从而获得应力均匀的轻质拓扑结构[8,9].本文对传统SKO方法进行了改进,提出了抛物线型权重系数并加入了结构位移约束,提高了算法的性能并增强了算法实用性.

1.2 SKO算法

1.2.1 算法流程

SKO算法的程序流程框图如图1所示.

图1 SKO算法流程图

1.2.2 算法迭代关系式及收敛条件

SKO算法中,单元温度迭代关系式及弹性模量更新算子如式(1)—(6)所示.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中:Emax和Emin是弹性模量的最大和最小值.

(6)

(7)

ΔV(n)<ε

(8)

2 拓扑优化结果骨架提取算法

在使用SKO算法完成连续体拓扑优化,得到优化结构之后,希望能够对该优化拓扑结构进行简化,找到其传力关键点,进而连接传力关键点形成杆系结构.但目前,在结构优化领域未见有对有限单元拓扑优化结果进行简化进而提取其关键传力点的相关文献.本文借鉴了图像处理中图形骨架提取算法的思想[11,12],结合拓扑优化结果特有的有限单元网格特性,提出一种用于结构有限元模型的骨架提取算法.

对完成拓扑优化后的有限元模型,其模型中有优化单元(优化后保留下的单元)和背景单元(优化后删除的单元),如图2所示.有限元模型骨架提取即是提取优化单元的中心骨架线,去除冗余单元,进而找到优化模型的传力路径及传力关键点,为在有限元模型中,每一个单元周围都有8个单元与之相邻接(边界上的单元可假设背景单元与之邻接),此8个单元称为该单元的8-邻域,如图3所示.

图2 拓扑优化有限元模型

图3 单元8-邻域

3.1 骨架提取算法流程

图4 骨架提取算法流程

3.2 8-邻域单元查找模型

要判断当前单元8-邻域的单元是否为骨架点,需要先找出这8-邻域单元及其相对于当前单元的位置,并获取其单元信息.如图4所示,假设当前单元ec的8-邻域单元按图5所示的ec1—ec8的顺序排列,则需要依次判断出ec1—ec8所在的8个有限元网格模型中,约定以下基本定义.

图5 8-邻域单元查找模型

定义1 网格、单元、线的表达形式为:G(E,L,N)表示网格由单元、线、节点组成;E(L,N)表示单元由线、节点组成;L(N)表示线由节点组成:

G(E,L,N),E(L,N),L(N)

(9)

定义2E,L,N表示网格中所有单元、线、节点的集合.

(10)

定义3 若构成四节点平面单元ex的线集为{lx1,lx2,lx3,lx4},节点集为{nx1,nx2,nx3,nx4},则ex可表示为:

ex=(lx1,lx2,lx3,lx4),ex=

(nx1,nx2,nx3,nx4)

(11)

定义4 单元中同时含有线li,lj,…或节点ni,nj,…的单元的集合表示为:

Ex(li,lj,…),Ex(ni,nj,…)

(12)

定义5 单元ec的8-邻域:单元ec的上下左右4个单元及对角线上的4个单元组成的集合为单元ec的8-邻域单元:

Eec={ec1,ec2,…,ec8}

(13)

在上述定义的基础上,当前单元ec的8-邻域单元查找方法如下:

(1) 对当前单元ec,首先找到其节点集{nx1,nx2,nx3,nx4};

(2) 通过以下算法定位ec1,ec3,ec5,ec7所在位置的单元:

(14)

式中:Ec={ec},表示当前单元,∩,为集合的交、差运算符.

(3) 通过以下算法定位ec2,ec4,ec6,ec8所在位置的单元:

(15)

通过以上算法即可获得当前单元ec的8-邻域单元Eec={ec1,ec2,…,ec8}.为8-邻域单元的判断做准备.

3.3 骨架单元判断算法

对于当前单元ec,判断其是否为骨架点的方法有两种:

3.3.1 单元保留法

保留法的思想是判断某单元为骨架单元,将其保留.保留法判断模型如图5所示,其中C表示当

前所判断的单元,周围是其8-邻域单元,0表示该单元为背景单元,1表示该单元为骨架单元,X表示该单元可以为背景单元也可以为骨架单元.由物体的形状旋转不变性可知,图中6种判断模型旋转90°,180°,270°的情况也符合骨架点的判断要求,对6种情况进行旋转并整理,一共有19种情况.将3.2节中得到的8-邻域模型与该19中情况一一比对,即可判断该单元是否为骨架单元.

图6 骨架单元判断模型

3.3.2 单元删除法

与单元保留法不同,删除法的思想是判断某单元为非骨架单元,将其抹去成为背景单元.其判断算法如下:

首先,作以下定义:

定义6 若单元ex为骨架单元,则有ex=1;若ex为非骨架单元,则有ex=0.

定义7定义A(ec)为当前单元ec的8-邻域单元中优化单元的数目:

eci

(16)

定义8 定义B(ec)为当前单元ec的8-邻域单元,按从ec1-ec2-……-ec8-ec1的顺序转一周,从背景单元变为优化单元的次数:

(17)

在上述定义的基础上,若当前单元的ec的8-邻域的单元满足条件式(18)或者式(19),则认为ec为非骨架单元:

(18)

(19)

其中,条件2≤A(ec)≤6用于保证删除的单元为边界单元,同时保证骨架的端点不会被删除;条件B(ec)=1保证删除单元不会破坏骨架的连通性;式(18)的后两个条件保证删除的单元处于模型的右侧边界、下侧边界和左上角边界;式(19)的后两个条件保证删除的单元处于模型的左侧边界、上册边界和右下角边界.在上述条件约束下,即可保证从边缘向内部逐步删除非骨架点.

4 算例

以悬臂杆系结构设计为例说明本文所述杆系结构拓扑优化方法.步骤如下:

(1) 给定杆系结构的设计区域、约束及载荷并建立有限元模型,如图6所示.

图7 受力简图及有限元模型

(2) 对该设计区域采用SKO方法进行连续体拓扑优化设计,得到优化模型及其应力云图,如图7所示.

图8 拓扑优化结果及von Mises应力云图

(3) 对优化结构应用基于有限单元的骨架提取算法,提取传力骨架,如图8所示.

(4) 提取骨架中的传力关键点,如图9所示.

(5) 依据图7所示的优化拓扑结构,连接传力

图9 提取传力骨架

关键点,形成杆系结构,如图10所示.

图10 找到传力关键点

图11 杆系结构及其von Mises应力云图

(6)采用满应力法对杆件的截面尺寸进行优化设计,得到拓扑和尺寸优化的杆系结构,结构应力均匀性高,趋向于满应力条件,如图11所示.

图12 初步尺寸优化后von Mises应力云图

5 结论

文章从连续体出发,首先使用SKO拓扑优化方法进行连续体的拓扑优化,得到连续体拓扑优化结果;然后基于图像细化算法提出了有限元网格8-邻域单元查找算法和骨架提取算法对该拓扑优化结果进行骨架提取,找到其传力路径骨架及传力关键点;连接传力关键点形成杆系结构;最后,采用满应力准则法对杆系结构进行优化.所得到的杆系结构具有优化的拓扑构型和杆件截面尺寸,应力分布均匀,符合结构设计中的满应力准则,为杆系结构的拓扑优化设计提供了一种新的思路.

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Designmethodology for bar system based on topology optimization and skeleton extraction

Based on the detailed algorithm of binary images,a skeleton extraction algorithm is applied for the eight-neighborhood finite-element grid model.By using Soft Kill Option (SKO) for topological optimization model,the results from successive bodies are obtained.Due that the grid skeletons are extracted to topological features of force transmission key-points,the bar system is formed via connection bars.Therein,the optimized topologies and mechanical properties are attained with reasonable bar layout and even stress distribution.

bar system; topological optimization; skeleton extraction; SKO algorithm; finite element

国家自然科学基金(51375345)

周奇才(1962-),男,工学博士,教授.E-mail:qczhou@tongji.edu.cn

TH 11

A

1672-5581(2016)01-0032-06