基于排队论的舰空导弹杀伤概率估算*

王 韬 朱华邦

(92941部队 葫芦岛 125001)



基于排队论的舰空导弹杀伤概率估算*

王 韬 朱华邦

(92941部队 葫芦岛 125001)

在装备试验中,武器系统的作战效率极为重要，对其杀伤概率的研究也摆在了突出位置。文中应用排队论对舰空导弹系统群的杀伤概率进行了评定，简述了排队论的原理，介绍了系统群受干扰时杀伤概率的估算，并绘制了杀伤概率和突防概率曲线，最后根据曲线得出三点结论。

排队论； 舰空导弹； 杀伤概率； 设计循环时间； 干扰

Class Number TJ761

1 引言

在舰空导弹武器系统中，由于突防飞行器进入防空区域的时刻及舰空导弹设计循环时间均随不同时期与条件而变化，因此，在某一防空区域中，若有K个导弹舰艇构成一个系统群。每个导弹舰艇的射击循环时间Tc和突防飞行器进入防空区域的时刻都是随机的。所以为了确定系统群的作战效率，可以应用排队论(或称随机服务系统理论)进行估算。在排队论中，顾客可以看作是突防飞行器，服务机构可以看作舰空导弹群，只不过以攻击方式进行“服务”而已。为此，在讨论系统群的作战效率之前，对排队论作简单介绍[1～3]。

2 排队论简介

排队论的任何一个服务系统(如舰空导弹系统群)都可以抽象成三个部分来描述，即：顾客到达过程、服务机构服务过程和服务结束离开过程(见图1)[4]。

1) 顾客到达过程

顾客到达过程又称输入过程，指顾客的到达规律。顾客可以是人，也可以是物，要根据讨论的问题而定，在本文中指定空中目标(飞行器)。

到达过程一般是随机过程。描述该过程的数量是随机变量。例如，在时间t内到达的顾客数为N(t)， 顾客相继到达的时间间隔t=ti-ti-1等都是随机变量，可以用概率、概率分布函数或分布密度来描述。

图1 服务系统的组成

顾客相继到达时间间隔通常服从负指数分布，其概率分布函数A(t)为[5～6]

A(t)=1-e-λt

(1)

式中：λ为单位时间内到达的顾客平均数。

在时间t内，到达K个顾客的概率PK服从泊松分布。

(2)

2) 排队论规则

排队规则指为到达的顾客服务的次序。一般有下列几种情况：

(1)损失制

当顾客到达时，若所有服务机构均已被占用，则该顾客自动消失，离开服务系统。

(2)等待制

当顾客到达时，若所有服务机构均已被占用，则该顾客等待服务。常用服务方式有以下几种:

A 先到先服务；

B 后到先服务；

C 优先权服务；

D 随机服务。

(3)混合制(损失制与等待制的混合)

这种情况主要发生在排队的长度、等待时间和逗留时间有限制时。如用舰空导弹射击敌机，敌机飞越导弹射击区为t0，若敌机飞过该区域，在时间t0内未被击落，就算丢失了。

3) 服务机构

服务机构可以是一个，也可以是多个；既可以串行，也可以并行；每次可以对一个顾客进行服务，也可以成批进行服务。

服务机构可以用服务时间及其分布进行描述。同到达时间间隔一样，服务时间通常也服从负指数分布。其概率分布函数B(t)为[7]

B(t)=1-e-μt

(3)

式中：μ为单位时间内服务的顾客平均数。

4) 排队模型的符号表示方法

通常用四个符号表示不同的排队模型，符号之间用斜线分开，如A/B/C/K。其中，A表示到达时间间隔的分布；B表示服务时间的分布；C表示服务机构的数量；K表示等待空间的大小，K=0表示损失制，K=∞表示等待制，K为有限正整数表示混合制。例如M/M/1/0表示该服务系统输入为泊松分布的简单流，服务时间为负指数分布，服务机构为1个，排队规则为损失制。

3 舰空导弹系统群受干扰时杀伤概率的估算

1) 影响舰空导弹系统作战能力的因素

舰空导弹系统的作战能力，通常可用射击循环时间来表示。

若用n枚导弹射击一个目标，那么射击循环时间应该等于射击准备时间和射击目标所需时间之和，即

Tc=TA+TP

(4)

式中：Tc为射击循环时间；TA为射击第一个目标所需时间；TP为射击准备时间。

射击循环时间若以对第一个目标发射导弹的时间到对第二个发射导弹的时间计算，则射击目标所需时间为

TA=t1+t2+t3

(5)

式中：t1为导弹飞到遭遇点的时间；t2为对同一目标连射时，连续发射导弹之间的时间间隔；t3为射击效果检查时间。

对于给定的导弹系统来说，时间t1同目标离导弹舰艇的距离及目标的运动参数有关；当只对目标发射1枚导弹或齐射时t2=0。

为了对第二个目标进行射击，跟踪制导雷达必须发现和截获第二个目标；转入自动跟踪状态之后，尚需一定时间方能使导弹和发射设备指向目标，还需一定时间检查射击通道的准备程度。故火力转移时间，即射击准备时间TP，可由下式确定

TP=t4+t5+t6

(6)

式中：t4为跟踪制导雷达发现和截获目标的时间；t5为跟踪制导雷达从截获状态转入自动跟踪状态的时间；t6为导弹和发射装置进入发射状态，以及检查射击通道装备程度的时间。

因此，射击循环时间也可写成下列形式

Tc=t1+t2+t3+t4+t5+t6

(7)

由此可见，射击循环时间决定于：导弹飞向遭遇点的距离，目标高度及其运动参数，火力转移条件及操作员的技术水平，而且它们都是随机变量，通常用平均值表示。为了保证导弹能有效地射击目标，必须满足下式

Tc≤Δt

(8)

式中：Δt为目标进入导弹发射区的时间间隔。

2) 舰空导弹武器系统群杀伤概率的计算

在反空袭斗争中，舰空导弹的杀伤概率和敌飞行器的突防概率是非常重要的战术参数。如果把进入导弹射击区域的突防飞行器看作到达服务系统的顾客，把舰空导弹舰艇看作服务机构，建立起排队系统的模型，就可以应用排队论估算舰空导弹的杀伤概率和突防飞行器的突防概率。

假定进入导弹射击区域飞行器的相继到达时间间隔为负指数分布，在时间t内有K个飞行器进入导弹射击区域的概率为泊松分布，舰空导弹系统由S个导弹舰艇组成，每个导弹舰艇的服务时间为射击循环时间TC，服务时间为负指数分布，那么该服务系统可以看作输入为泊松分布，服务时间为负指数分布的。有S个服务机构的损失制系统，即M/M/S/0系统。损失制指飞行器进入导弹射击区域时，如S个导弹舰艇都在其它目标而被占用，则飞行器穿过攻击区，不出现受攻击而引起损失的情况，即突防成功。

在这种情况下，导弹的杀伤概率为[8]

(9)

飞行器的突防概率

(10)

式中：μ为服务机构的服务率，μ=1/Tc，即导弹射击循环时间的倒数；λ为进入导弹射击区的飞机到达率；S为导弹舰艇的数目。

由以上各式看出，导弹杀伤概率PK和飞行器突防概率PA，均与导弹的射击循环时间TC(或μ)、突防飞行器到达率λ以及导弹舰艇的数目S有关，当导弹舰艇的数目S=0时，由于没有导弹舰艇进行拦截，所以导弹的杀伤概率为0，飞行器的突防概率为1。

舰空导弹武器系统的射击效率由对目标的射击次数和每次的射击效率决定。若对武器系统实施干扰，则将使武器系统的射击效率大大降低。

在干扰条件下，制导系统的目标信息将受到很大破坏，从而使导弹系统对目标进行射击的次数和每次射击的效率降低。目标信息丢失的程度，可用被干扰遮盖的空间体积(面积)与作战空域的空间体积(面积)之比度量。

对于舰面搜索或目标指示雷达来说，在干扰条件下，目标信息的破坏程度主要表现在目标信息的丢失或信息精度的降低。从而使跟踪制导雷达的激活概率降低，在出现假目标时，将产生假目标信息，甚至使导弹对假目标进行射击[9]。

在干扰条件下，导弹武器系统的射击效率，还与制导系统各个无线电环节的抗干扰能力有关。因此，当其它条件相同时，干扰对舰空导弹武器系统射击效率的影响，可用杀伤目标数的数学期望相对降低程度δM来表示

(11)

式中：M1为无干扰时，导弹杀伤目标的数学期望；M2为有干扰时，导弹杀伤目标的数学期望。

射击效率下降的原因主要有三点：

(1)制导误差增加

干扰不能破坏制导回路的工作，但能使导弹的制导误差增加，误差的大小不但与干扰的样式、强度有关，而且与制导系统的抗干扰能力有关。

(2)战斗部效率降低

由于干扰作用使无线电引信启动区与动态杀伤区的配合受到破坏，因而使战斗部的效率降低。

(3)武器系统各个无线电环节的功能受到破坏

这是由目标坐标及其运动参数的信息中断，导弹制导回路中断以及无线电引信假触发引起的。若假目标信息传输到制导回路，则可以使目标的杀伤概率下降到零[10]。

根据以上所述，干扰对舰空导弹武器系统射击效率的影响，也可以用受干扰时的杀伤概率和未干扰时杀伤概率的相对值PrK来评定，即

(12)

式中：PKj为舰空导弹武器系统受干扰时的杀伤概率；PK为舰空导弹武器系统未受干扰时的杀伤概率。

假定，在某一地区，舰空导弹布置由K个导弹舰艇构成的一个系统群。该系统群在未受对方干扰时，每个导弹舰艇的平均射击时间TC=15s，目标(干扰载机)以2架/min的到达率进入该系统群的防空区域。当系统群受干扰时，由于系统反应时间增加，平均射击时间变为30s，但目标到达率不变。根据上述假定可知，系统群未受干扰时，μ=1/Tc=4架/min，λ=2架/min；系统群受干扰时，μj=2架/min，λj=λ=2架/min。将上述数据分别代入式(9)就可以求出导弹未受干扰时的杀伤概率PK和受干扰时的杀伤概率PKj，再将PK与PKj代入式(12)就可以求得相对杀伤概率PtK。在干扰和非干扰情况下杀伤概率和突防概率曲线如图2所示。

图2 杀伤概率和突防概率曲线

4 结语

综上所述，由图2可以得出下列结论：

1) 在其它条件相同时，服务机构的服务率μ越大，导弹的杀伤概率PK也越大，也就是说舰空导弹武器系统的反应时间越短，导弹的杀伤概率越大。所以反应时间是舰空导弹系统的重要战术技术参数。尤其是低空、超低空导弹系统的反应时间有时比射程还重要。因为现代低空目标对导弹武器系统的反应时间要求非常苛刻，一般小于10s，否则就贻误战机。因此，缩短武器系统反应时间是改进现代舰空导弹武器系统的重要任务之一。

2) 从干扰的观点出发，干扰增加了导弹的反应时间，也就是增加了导弹的射击循坏时间，从而降低了杀伤概率，根据干扰条件下的导弹射击循环时间，可以得到干扰条件下的杀伤概率。

3) 多个舰空导弹舰艇比单个的杀伤概率大，但窗口增加到一定数值后，杀伤概率的增加微乎其微。所以在配制导弹系统群时，不一定越多越好，太多了效费比低，不经济。故设置舰空导弹舰艇时，应考虑最优化问题。例如：当进入导弹射击区的飞行器到达率λ=2，导弹的射击率μ=4，导弹舰艇的数目S=4时，导弹的杀伤概率PK可达到0.945。

[1] 郑春柏，鲁小强，康永文，等.排队论在地空导弹系统作战评估中的应用研究[J].舰船电子工程，2009(9)：47-49.

[2] 苑立伟，杨建军，张多林.基于排队论的防空导弹群作战效能研究[J].现代防御技术，2005，33(5)：4-8.

[3] 王斯福，吴晓华，张克，等.基于排队论的飞行器协同突防效能分析[J].战术导弹技术，2007(1)：10-15.

[4] 刘次华.随机过程(第2版)[M].武汉：华中科技大学出版社，2005：15-20.

[5] 徐光辉.随机服务系统[M].北京：科学出版社，1980：57-65.

[6] William Mendenhall ，Terry Sincich.统计学(原书第五版)[M].北京:机械工业出版社，2009:121-124.

[7] 谭乐祖，翟军.军事运筹学教程[M].兵器工业出版社,2010：226-229.

[8] Sheldon M.Ross.随机过程[M].北京:中国统计出版社，1997:55-61.

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[10] 赵广彤，俞一呜.基于排队论的防空导弹武器系统作战效能研究[J].现代防御技术,2014,42(1):19-23.

Kill Probability Estimation of Ship-to-air Missile Based on Queuing Theory

WANG Tao ZHU Huabang

(No. 92941 Troops of PLA， Huludao 125001)

The operational efficiency of weapon system in the equipment test is very important, and the study of kill probability should be put into the outstanding position. In this part, the queuing theory is used to assess the kill probability of ship-to-air missile systematic group, and the principle queuing theory is described, the kill probability estimation when the systematic group get disturbed is introduced, and the kill probability curve and penetration probability curve are poted. Finally, three conclusions are drawn according to the curve.

queuing theory, ship-to-air missile, kill probability, design cycle time, disturb

2016年5月10日,

2016年6月27日

王韬，男，助理工程师，研究方向：目标跟踪与制导控制。朱华邦，男，高级工程师，研究方向：目标跟踪与制导控制。

TJ761

10.3969/j.issn.1672-9730.2016.11.008