Hlder范数下关于Brown运动增量的泛函局部收敛速度

李余辉

(桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林541004)

李余辉

(桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林541004)

本文研究了Brown运动在Hlder范数与容度下的泛函极限问题.利用大偏差小偏差方法,获得了Brown运动增量局部泛函极限的收敛速度,推广了文[4]中的结果.

Brown运动;收敛速度;Hlder范数;容度

1　引言

考虑经典的Wiener空间(B,H,µ),设Dr,p是Wiener泛函的Sobolev空间,即

其中Lp记为(B,µ)上的实值函数的Lp空间,L是(B,H,µ)上的Ornstein-Uhlenbeck算子.对r≥0,p＞1,(r,p)-容度定义如下

且对任意集合A⊂B有,Cr,p(A)=inf{Cr,p(O);A⊂O⊂B,O是开集}.设Cd为从[0,1]到Rd的连续函数空间,赋予上确界范数‖f‖=|f(t)|.记={f∈Cd;f(0)=0}, Hd={f∈;f(t)=|(t)|2dt＜∞},Hd是一定义如下内积的Hilbert空间,〈r1,r2〉Hd= (1(s),2(s))ds.设µ是上的Wiener测度,(,Hd,µ)是一经典Wiener空间.下面考虑如下两个Banach空间

自从Yoshida[1]首先得到了关于容度Cr,p意义的大偏差结论,近年来关于Brown运动在Hlder范数下的拟必然泛函极限理论开始受到关注.Baldi与Roynette[2]利用大偏差得到了Brown运动在Hlder范数下的收敛速度,并证明了存在k=k(α)≥0,使得

进一步,对任意f∈K与γ=(1-2α)/2有

后来,Chen与Balakrishnan[3]得到Brown运动在Hlder范数与容度Cr,p意义下泛函重对数律的极限定理.本文利用Hlder范数下的大偏差小偏差,得到了Brown运动增量在Hlder范数下,关于容度Cr,p意义下局部泛函极限的收敛速度.主要结果如下.

定理1设ru定义为从R+到R+的单调不减函数,满足0＜ru≤u且u/ru单调不减.记σu=,若=∞,则在Cr,p-q.s.意义下有

其中γ=(1-2α)/2,k＞0如式(1)中所定义.

定理1的证明可由引理5与引理6得到,在此之前叙述已有的相关结果.

2　定理1的证明

引理1(见文献[3]定理2.1)设{Sε}ε＞0是Cα,0上一双射线性算子,使得对任意ε＞0及A⊂Cα,0有=µ(ε-1/2A),则对(r,p)∈[0,∞)×(1,∞),有

引理2(见文献[6]引理2.1)设k∈N,q1,q2∈(1,∞)满足1/p=1/q1+1/q2,则存在常数c=c(k,p,q1,q2)＞0使得对任意-∞＜ai＜bi＜∞,δ∈(0,1),及Fi∈Dk,kq1有下式成立

引理3设k,p,q1,q2如引理2中定义.对任意ε＞0,ti≥0,hi＞0,i=1,2,···,n,及f∈K,设

则存在一常数c=c(k,p,q1,f)＞0,对任意δ∈(0,1],ε∈(0,1],有

证利用引理2,类似文献[6]中引理2.2易证.

证考虑到容度具有性质Cr,p(·)≥µ(·),结合(2)式只需证明

对任意1＞δ＞0,c0＞0,令k=[r]+1,根据引理3,有

再根据(2)式得

最后令δ→0,q2→p,引理4获证.

引理5设ru,σu如命题1所定义,则对s∈[0,1]在Cr,p-q.s.意义下有

由引理4,对任意0＜ε＜1,当n充分大时有

因此根据Borel-Cantelli引理得到在Cr,p-q.s.意义下有

另一方面,对任意η＞0有

其中Q={f∈Cα,0;,故由引理1知当n充分大时有

考虑到当n→∞,σun+1→∞,因此

再次利用Borel-Cantelli引理可得在Cr,p-q.s.意义下有

联合(3),(4),(5)式得

对于u∈[un,un+1),再设φt,u(s)=(ruσu)-1/2(w(ut+rus)-w(ut)),从而有

令θ→1,由式(6)、(7)证得在Cr,p-q.s.意义下有

引理6设ru,σu如引理5中所定义,若=∞,则在Cr,p-q.s.意义下有

[1]Yoshida N.A large deviation principle for(r,p)-capacities on the Wiener space[J].Prob.The.Relat. Fields,1993,94(4):473-488.

[2]Baldi P,Roynette B.Some exact equivalents for the Brownian motion in Hlder norm[J].Prob.The. Relat.Fields,1992,93(4):457-483.

[3]Chen Xiong,Balakrishnan N.Extensions of functional LIL w.r.t.(r,p)-capacities on Wiemer space[J].Stat.Prob.Lett.,2007,77(4):468-473.

[4]Liu Jicheng,Ren Jiagang.A functional modulus of continuity for Brownian motion[J].Bull.Sci. Math.,2007,131(1):60-71.

[5]Wang Wensheng.A generalization of functional law of the iterated logarithm for(r,p)-capacities on the Wiener space[J].Stoch.Proc.Appl.,2001,96(1):1-16.

[6]Liu Yonghong,Li Luoqing.The rate of quasi sure convergence in the functional limit theorem for increments of a Brownian motion[J].J.Math.Analy.Appl.,2009,356:21-29.

[7]Baldi P,Ben A G,Kerkyacharian G.Large deviations and the Strassen theorem in Hlder norm[J]. Stoch.Proc.Appl.,1992,42(1):171-180.

[8]Deuschel M,Stroock D W.Large deviation[M].Baston:Academic Press,1989.

[9]张立新.布朗运动在(r,p)-容度意义下的下极限性质[J].数学学报,1996,39(4):543-555.

[10]危启才.k-维Brown运动的泛函重对数定律[J].数学杂志,2007,27(4):405-410.

2010 MR Subject Classification:60F10;60F15;60F17

THE RATE OF LOCAL FUNCTIONAL CONVERGENCE FOR BROWNIAN MOTION'S INCREMENTS IN HLDER NORM

LI Yu-hui
(School of Mathematics and Computing Science,Guilin University of Electric and Technology, Guilin 541004,China)

In this paper,the local functional limit theorem for increments of a Brownian motion is derived.With large and small deviations,the local functional convergence rate for increments of Brownian motion in Hlder norm with respect to capacity is estimated,and the result in[4]is generalized.

Brownian motion;convergence rate;Hlder norm;capacity

MR(2010)主题分类号:60F10;60F15;60F17O211.4

A

0255-7797(2016)06-1231-07

∗2015-05-22接收日期:2015-12-23

国家自然科学基金资助(71162017);广西自然科学基金资助(2014GXNSFAA118010).

李余辉(1981-),男,湖北咸宁,讲师,主要研究方向:概率极限理论.