安全通论(7)——黑客篇之“战术研究”

杨义先，钮心忻

(北京邮电大学 信息安全中心， 北京 100876)



安全通论(7)
——黑客篇之“战术研究”

杨义先，钮心忻

(北京邮电大学 信息安全中心， 北京 100876)

编者按：文章精确地描述了黑客的静态形象，即，黑客可以用一个离散随机变量X来描述，这里X的可能取值为{1，2，…，n}，概率Pr(X=i)=pi，并且，p1+p2+…+pn=1。此外，作者还给出了在一定假设下，黑客的最佳动态攻击战术，即，当黑客的资源投入比例为其静态概率分布值时，黑客的“黑产收入”达到最大值。特别是，在投入产出比均匀的前提下，黑客X的熵若减少1比特，那么，他的“黑产收入”就会翻一倍，换句话说，若黑客X的熵H(X)越小，那么，他就越厉害，他能够通过攻击行为获得的“黑产收入”就越高！

杨义先 教授，博士生导师，灾备技术国家工程实验室主任，北京邮电大学信息安全中心主任，教育部网络攻防重点实验室主任，《微型机与应用》编委，主要研究方向：网络空间安全、现代密码学和纠错编码等。

钮心忻 博士，教授，博士生导师。北京邮电大学学士和硕士学位，香港中文大学电子工程系博士学位。1997年起在北京邮电大学信息工程学院(现计算机学院)从事教学与科研工作。主要研究方向：网络与信息安全、信号与信息处理等。

0 引言

如果说安全的核心是对抗，那么，在对抗的两个主角(攻方与守方)中，攻方(黑客)又是第一主角，因为，红客(守方)是因黑客(攻方)而诞生的。所以，很有必要对黑客，特别是他的攻击策略，进行更深入的研究。

广义地说，系统(或组织)的破坏者，都统称为“黑客”。他(它)们以扰乱既有秩序为目的。因此，癌细胞、病菌、敌对势力、灾难、间谍等都是黑客。但是，为了聚焦，本文以常言的“网络黑客”为主要研究对象，虽然这里的结果和研究方法其实适用于所有黑客。

黑客的攻击肯定是有代价的，这种代价可能是经济代价、政治代价或时间代价。同样，黑客想要达到的目标也可能是经济目标、政治目标或时间目标。因此，至少可以粗略地将黑客分为经济黑客、政治黑客和时间黑客。

经济黑客：只关注自己能否获利，并不在乎是否伤及对方。有时，自己可以承受适当的经济代价，但是，整体上要赢利。赔本的买卖是不做的，他们肯定不是“活雷锋”。因此，经济黑客的目标就是：以最小的开销来攻击系统，并获得最大的收益。只要准备就绪，经济黑客随时可发动进攻。

政治黑客：不计代价，一定要伤及对方要害，甚至有时还有更明确的攻击目标，不达目的不罢休。他们随时精确瞄准目标，但是只在关键时刻才“扣动板机”。最终成败取决于若干偶然因素，比如，目标突然移动(红客突然出新招)、准备不充分(对红客的防御情况了解不够)或突然刮来一阵风(系统无意中的变化)等。

时间黑客：希望在最短的时间内攻破红客的防线，而且，使被攻击系统的恢复时间尽可能地长。

从纯理论角度来看，其实没必要去区分上述三种黑客。下面为了形象计，也为了量化计，我们重点考虑经济黑客，即，黑客想以最小的经济开销来获取最大的经济利益。

1 黑客的静态描述

先讲一个故事：我是一个“臭手”，面向墙壁射击。虽然，我命中墙上任一特定点的概率都为零，但是，只要板机一响，我一定会命中墙上某点，而这本来是一个“概率为零”的事件。因此，“我总会命中墙上某一点”这个概率为1的事件，就可以由许多“概率为零的事件(命中墙上某一指定点)”的集合构成。

再将上述故事改编成“有限和”情况：我先在墙上画满(有限个)马赛克格子，那么，“我总会命中某一格子”这个概率为1的事件，便可以由有限个“我命中任何指定格子”这些“概率很小，几乎为零的事件”的集合构成。或者，更准确地说，假设墙上共有n个马赛克格子，那么，我的枪法就可以用随机变量X来完整地描述：如果我击中第i(1≤i≤n)个格子的事件(记为X=i)的概率为pi，那么，p1+p2+…+pn=1。

现在，让黑客代替“我”，让(有限)系统代替那面墙。

安全界有一句老话，也许是重复率最高的话，“安全是相对的，不安全才是绝对的”。可是，过去大家仅将这句话当成“口头禅”，而没有意识到它其实是一个很重要的公理。

安全公理：对任何(有限)系统来说，安全都是相对的，不安全才是绝对的，即，“系统不安全，总可被黑客攻破”这个事件的概率为1。

根据该安全公理可知，虽然黑客命中“某一点”(攻破系统的指定部分)的概率几乎为零，但是，黑客“击中墙”(最终攻破系统)是肯定的，概率为1。

黑客可以有至少两种方法在“墙上”画马赛克格子：

画马赛克格子的第一种办法：锁定目标，黑客从自己的安全角度出发，画出系统的安全经络图[1]，然后，以每个“元诱因”(或“穴位”)为一个“马赛克格子”。假如，系统的安全经络图中共有n个“元诱因”，那么，黑客的(静态)攻击能力就可以用随机变量X来完整地描述：如果黑客摧毁第i(1≤i≤n)个“元诱因”，记为X=i，其概率为pi，那么，p1+p2+…+pn=1。

这种“元诱因马赛克画法”的根据是：系统出现不安全问题的充分必要条件是某个(或某些)“元诱因”不安全[1]。

“元诱因马赛克”的缺点是参数体系较复杂，但是，它的优点很多，比如，可以同时适用于多目标攻击，安全经络可以长期积累、永远传承等。根据安全经络图可知，“安全”同时具有“波”和“粒子”的双重性质，或者说，具有“确定性”和“概率性”两种性质。更具体地说，任何不安全事件的“元诱因”的“确定性”更浓，而“素诱因”和“素事件”的“概率性”更浓。充分认识安全的波粒二象性，将有助于深刻理解安全的实质，有助于理解《安全通论》的研究方法和思路。

画马赛克格子的第二种办法：经过长期准备和反复测试，黑客共掌握了全部n种可能攻破系统的方法，于是，黑客的攻击能力可以用随机变量X完整地描述为：当黑客用第i种方法攻破系统，记为X=i(1≤i≤n)，其概率为pi，这里，p1+p2+…+pn=1，0

说明：能够画出这“第二种马赛克格子”的黑客肯定是存在的，比如，长期以“安全检测人员”这种红客身份掩护着的卧底，就是这类黑客的代表。虽然，必须承认，要想建立完整的武器库，即，掌握攻破系统的全部攻击方法，或完整地描述上述随机变量X，确实是非常困难的，但是，从理论上看是可行的。

当然，也许还有其他方法来画“马赛克格子”，不过它们的实质都是一样的，即，黑客可以静态地用一个离散随机变量X来描述，这里X可能取值为{1，2，…，n}，概率Pr(X=i)=pi，并且p1+p2+…+pn=1。

2 黑客的动态描述

黑客的动态行为千变万化，首先必须清理场景，否则，根本无法下手。

为使相关解释更形象，本节采用上述第一种“马赛克格子画法”，即，黑客是一个离散随机变量，他攻破第i个“元诱因”(记为X=i，1≤i≤n)的概率为pi，这里，p1+p2+…+pn=1，0

任何攻击都是有代价的，并且，如果黑客的技术已经足够好，那么，整体上来说是“投入越多，收益越多”。

设黑客攻破第i个“元诱因”的“投入产出比”为di(1≤i≤n)，即，若为攻击第i个“元诱因”黑客投入了1元钱，那么，一旦攻击成功(其概率为pi)后，黑客将获得di元的收入；当然，如果攻击失败，那么，黑客的这1块钱就全赔了。

根据文献[1]可知，任何一个“元诱因”被攻破后，系统也就被攻破了，不再安全了。因此，为了尽量避免被红客发现，尽量少留“作案痕迹”，我们假定：在攻击过程中，黑客只要发现有一个“元诱因”被攻破了，那么，他就立即停止本次攻击，哪怕继续攻破其他“元诱因”还可以获得额外的收入，哪怕对其他“元诱因”的“攻击投资”被浪费。

设黑客共有M元用于攻击的“种子资金”，如果他把这些资金全部投入到攻击他认为最有可能成功的某个“元诱因”(比如最大的那个pi)，那么，假如黑客最终成功地攻破了第i个“元诱因”(其概率为pi)，则此时黑客的资金总数就变成Mdi，但是，假如黑客攻击失败(其概率为1-pi)，则他的资金总数就瞬间变成了零。可见，从经济上来说，黑客的这种“孤注一掷”战术的风险太大，不宜采用。

我们还假定：为了躲开红客的对抗，黑客选择红客不在场时才发起攻击，比如，黑客每天晚上对目标系统进行(一次)攻击。当然，这里还有一个暗含的假设，即，黑客每天晚上都能够成功地把系统攻破一次，其实，这个假设也是合理的，因为，如果要经过K个晚上的艰苦攻击才能攻破系统，那么，把这K天压缩成“一晚”就行了。

单看某一天的情况，很难对黑客的攻击战术提出任何建议。不过，如果假定黑客连续m天晚上对目标系统进行“每日一次”的攻击，那么，确实存在某种攻击战术，能使得黑客的盈利情况在某种意义上达到最佳。

为简化下足标，本文对bi和b(i)交替使用，不加区别。

如果黑客每天晚上都对他的全部资金按相同的分配比例b=(b1,b2,…,bn)来对系统的各“元诱因”进行攻击。那么，m个晚上之后，黑客的资产就变为：

这里S(X)=b(X)d(X)，Xi是1～n之间的某个正整数，它表示在第i天晚上，被(首先)攻破的那个“元诱因”的编号，所以，X1、X2、…、Xm是独立同分布的随机变量，设该分布是p(x)，于是有如下定理：

定理1 若每天晚上黑客都将其全部资金按比例b=(b1,b2,…,bn)分配，来对系统的各“元诱因”进行攻击，那么，m天之后，黑客的资产就变为：

Sm=M2mw(b,p)

证明：由于独立随机变量的函数也是独立的，所以，logS(X1)、logS(X2)、…、logS(Xm)也是独立同分布的，由弱大数定律，可得：

于是，Sm=M2mw(b,p)。证毕。

由于黑客的资产按照2mw(b,p)的方式增长(这也是把W(b,p)称为“双倍率”的根据)，因此，只需要寻找某种资金分配战术b=(b1,b2,…,bn)，使得双倍率W(b,p)最大即可。

定义1 如果某种战术分配b，使得双倍率W(b,p)达到最大值W*(p)，那么，就称该值为最优双倍率，即：

J(b)=∑pkln(bkdk)+λ∑bi

关于bi求导得到：

∂J/∂bi=pi/bi+λ,i=1,2,…,n

为了求得最大值，令偏导数为0，从而得出：

bi=-pi/λ

证明：将双倍率W(b,p)重新改写，使得容易看出何时取最大值：

W(b,p) =∑pklog(bkdk)

=∑pklog[(bk/pk)pkdk)]

=∑pklogdk-H(p)-D(p│b)

≤∑pklogdk-H(p)

这里D(p|b)是随机变量p和b的相对熵[7]。而当b=p时，可直接验证上述等式成立。证毕。

从定理2可知：对于一个可用离散随机变量X(Pr(X=i)=pi，并且，p1+p2+…+pn=1)来静态描述的黑客，他的动态最佳攻击战术也是(p1,p2,…,pn)，即，将攻击资金按比例(p1,p2,…,pn)分配后，可得到最多的“黑产收入”。

下面再对定理2进行一些更细致的讨论，有：

定理3 如果攻破每个“元诱因”的投入产出比是相同的，即，各个di彼此相等，都等于a，那么此时的最优化双倍率W*(p)=loga-H(p)，即，最佳双倍率与熵之和为常数，并且，若按比例b*=p分配攻击资金，那么，此种战术的攻击业绩便可达到最大值。此时，第m天之后，黑客的财富变成Sm=M2m[loga-H(p)]。而且，黑客的熵若减少1比特，那么，他的财富就会翻一倍！

如果并不知道每个di的具体值，而只知道∑1/di=1，此时，记ri=1/di,于是，双倍率可以重新写为：

W(b,p) =∑pklog(bkdk)

=∑pklog[(bk/pk)pkdk)]

=D(p|r)-D(p|b)

由此可见双倍率与相对熵之间存在着非常密切的关系。

由于黑客每天晚上都要攻击系统，他一定会总结一些经验来提高攻击效果。更准确地说，可以假设黑客知道了攻破系统的某种边信息Y，它也是一个随机变量。

设X∈{1,2,…,n}为第X个“元诱因”，攻破它的概率为p(x)，而攻击它的投入产出比为d(x)。设(X，Y)的联合概率密度函数为p(x,y)。用b(x|y)≥0，∑xb(x|y)=1记为已知边信息Y的条件下，黑客对攻击资金的分配比例。此处b(x|y)理解为：当得知信息y的条件下，用来攻击第x个“元诱因”的资金比例。对照前面的记号，将b(x)≥0，∑xb(x)=1表示为无条件下，黑客对攻击资金的分配比例。

设无条件双倍率和条件双倍率分别为：

W(X)=maxb(x)∑xp(x)log[b(x)d(x)]

W(X|Y)=maxb(x|y)∑x,yp(x,y)log[b(x|y)d(x)]

再设：

ΔW=W(X|Y)-W(X)

对于独立同分布的“攻击元诱因”序列(Xi,Yi)，可以看到：当具有边信息Y时，黑客的相对收益增长率为2mw(X|Y)；当黑客无边信息时，他的相对收益增长率为2mw(X)。

定理4 由于获得攻击“元诱因”X的边信息Y，而引起的双倍率增量ΔW满足ΔW=I(X；Y)。这里I(X；Y)是随机变量X和Y的互信息。

证明：在有边信息的条件下，按照条件比例分配攻击资金，即，b*(x|y)=p(x|y)，那么关于边信息Y的条件双倍率W(X|Y)可以达到最大值。于是：

W(X|Y) =maxb(x|y)E[logS]

=maxb(x|y)∑p(x,y)log[d(x)b(x|y)]

=∑p(x,y)log[d(x)p(x|y)]

=∑p(x)logd(x)-H(X|Y)

当无边信息时，最优双倍率为：

W(X)=∑p(x)logd(x)-H(X)

从而，由于边信息Y的存在，而导致的双倍率的增量为：

ΔW=W(X|Y)-W(X)=H(X)-H(X|Y)=I(X;Y)证毕。

此处双倍率的增量正好是边信息Y与“元诱因”X之间的互信息。因此，如果边信息Y与“元诱因”X相互独立，那么，双倍率的增量就为0。

设Xk是黑客第k天攻破的“元诱因”的序号，假如各{Xk}之间不是独立的，又假设每个dk彼此相同，都等于a。于是，黑客根据随机过程{Xk}来决定第(k+1)天的最佳攻击资金分配方案(即最佳双倍率)为：

W(Xk|Xk-1,Xk-2,…,X1)=E[maxE[logS(Xk)|Xk-1,Xk-2,…,X1]]=loga-H(Xk|Xk-1,Xk-2,…,X1)

这里的最大值max是针对所有满足如下条件的边信息攻击资金分配方案而取的：b(x|Xk-1,Xk-2,…,X1)≥0，∑xb(x|Xk-1,Xk-2,…,X1)=1。

而且，该最优双倍率可以在b(xk|xk-1,xk-2,…,x1)=p(xk|xk-1,xk-2,…,x1)时达到。

第m天晚上的攻击结束后，黑客的总资产变成:

并且，其增长率的指数为:

(ElogSm)/m=[∑Elog(S(Xi))]/m

=[∑(loga-H(Xi|Xi-1,Xi-2,…,X1))]/m

=(n/m)loga-[H(X1,X2,…,Xm)]/m

这里[H(X1,X2,…,Xm)]/m是黑客m天攻击的平均熵。对于熵率为H(χ)的平衡随机过程，对上述增长率指数公式的两边取极限，可得:

Limm→∞[ElogSm]/m+H(χ)=loga

这再一次说明，熵率与双倍率之和为常数。

3 结束语

文献[1]～[6]奠定了《安全通论》的两个重要基石：安全经络、安全攻防。本文开始，我们将努力奠定《安全通论》的第三块重要基石：黑客。

没有黑客就没有安全问题，也更不需要《安全通论》。可惜，黑客不但有，还越来越多，而且其外在表现形式还千奇百怪，因此，有必要专门对黑客进行系统深入的研究。

本文虽然彻底解决了黑客的静态描述问题，即，黑客其实就是一个随机变量X，它(他)的破坏力由X的概率分布函数F(x)(或概率密度函数p(x))来决定。但是，关于黑客的动态描述问题，还远未解决，本文只是在若干假定之下，给出了黑客攻击的最佳战术。欢迎有兴趣的读者来研究黑客的其他攻击行为的最佳战术。

[1] 杨义先，钮心忻.安全通论(1)——经络篇[J].微型机与应用，2016，35(15)：1-4.

[2] 杨义先，钮心忻.安全通论(2)——攻防篇之“盲对抗”[J].微型机与应用，2016，35(16)：1-5.

[3] 杨义先，钮心忻.安全通论(3)——攻防篇之“非盲对抗”之“石头剪刀布”[J].微型机与应用，2016，35(17)：1-3.

[4] 杨义先，钮心忻.安全通论(4)——攻防篇之“非盲对抗”之“童趣游戏”[J].微型机与应用，2016，35(18)：3-5,9.

[5] 杨义先，钮心忻.安全通论(5)——攻防篇之“非盲对抗”之“劝酒令”[J].微型机与应用，2016，35(19)：2-6.[6] 杨义先，钮心忻.安全通论(6)——攻防篇之“多人盲对抗”[J].微型机与应用，2016，35(20)：1-4.

[7] COVER T M， THOMAS J A.信息论基础[M].阮吉寿，张华，译.北京：机械工业出版社，2007.

(本文转载自科学网杨义先博客，原文网络链接地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-956051.html。未完待续，系列之八《安全通论(8)——黑客篇之“战略研究”》见下期)