《圆的面积》学习工具制作综述

王景涛

特色与亮点

《圆的面积》学习工具用Flash CS 5.5制作而成，通过AS 3.0脚本语言设计了交互性动画。该作品采用模块化设计，每个模块就是一个小插件，学生既可以按照菜单提示进行系统学习，也可以选择其一进行有针对性的探究。本学习工具结合数学学科特点，遵循小学生从直观到抽象、从特殊到一般的认知规律，将深刻的转化和极限思想蕴含其中，使学生能自主地在“问题空间”或“求知空间”里动手实验，发现、体验和建构知识，最终提高创新意识和解决问题的能力。

制作背景

从某种意义上说，数学的思想方法就是数学的本质。教师教数学，到底教什么？学生学数学，到底学什么？只有抓住了数学学习的本质，才能真正激发学生学习数学的兴趣，才能提高学生发现问题和解决问题的能力。基于这一思考，几年来我用数字化学习工具进行数学建模，用动画教学生学习数学方法，数学思想就像一粒粒种子悄悄播撒在学生的心田。《圆的面积》就是我用数字化学习工具教学生数学思想方法的又一次探索。

学情分析

数学知识之间都有内在的联系，这种联系形成了特殊的数学知识结构。教师在进行相应的内容教学时，既要考虑这部分内容的知识基础，又要考虑这部分内容是如何为将来的学习搭建阶梯的。圆的面积，是小学生第一次学习的曲线图形面积，曲线图形面积与线段围成的图形面积之间的联系是本课学习的重点。

设计之初，我调研了学校已经学完本部分内容的班级，发现很多学生只是记住了圆面积计算的公式，而没有真正理解其中的数量关系。目前教材上圆的面积推导过程十分抽象，学生对圆的面积与其他平面图形的面积计算公式之间的关系没有系统的把握。因此，我决定借助学习工具突破学习的难点，借助数形结合和推理，打通数学知识之间的联系，让学生通过“做中学”获得基本活动经验。

设计思路和内容结构

导航菜单包括八个模块。从课堂教学流程的角度看，情境导入部分包括“学习目标”和“导入”两个模块，自主探究部分包括“探究1”

“探究2”“探究3”和“探究4”四个模块，解决问题部分包括“例题”和“练习”两个模块。探究部分是学习工具的核心。

1.学习目标

该模块主要是出示学习目标：①通过动手操作、动画演示，探索、推导圆的面积公式;②能够运用圆的面积公式正确地计算圆和环形的面积;③体验和感悟转化和极限思想。

该目标的设定体现了学生是学习的主体。以学习目标为导航，借助学习工具，我的课堂教学评价设计是这样的：①动手操作，能够用自己的语言表述圆与“转化”图形之间的关系;②能够动手操作将圆割补拼接成学过的一种图形（如长方形、三角形、平行四边形等）;③能够自主设计一个环形;④借助计算器，正确计算涂色部分的面积，至少能够选择2个图形并给出正确解答。

2.引入

该模块主要是情境引入，创设情境以引起学生的学习兴趣。点击“牛”，动画演示“牛吃草”的范围（如图1），启发学生思考：要想知道牛吃草的范围大小，就需要求圆的面积。学生观察动画，感悟圆的面积大小与绳子（半径）的长短有关。

3.探究1

该模块的设计主要是让学生感悟“化曲为直”的数学思想。拖动滑块，控制正多边形的边数，动态显示圆内接、圆外接正多边形，建构“正多边形和圆的关系”这一直观模型。学生观察后发现，在圆的内部画正多边形，当正多边形的边数足够多的时候，正多边形的面积就越接近圆的面积;在圆的外部画正多边形，当正多边形的边数无限多时，正多边形的面积就是圆的面积（如图2）。当学生发现正多边形的边最终和圆周曲线吻合时，就能深刻体会到数学中的极限思想，这种转化的方法叫做“化曲为直”。

4.探究2

该模块主要是动手拼接图形，感悟“转化”方法。把圆平均分成16份，借助鼠标操作，拖动小扇形进行平移，转动鼠标滚轮进行旋转（如图3）。课堂上，学生拼出了平行四边形、三角形、梯形等不同的图形，从而在推导圆的面积公式方面呈现出个性化思考。拼接图形之后，我在课堂上让学生说一说，所拼图形的底和圆周长的关系，所拼图形的高与圆半径的关系。

5.探究3

该模块主要是让学生感悟“化圆为方”的数学思想。如果把圆平均分成32份、64份、128份、360份，甚至更多呢？学生通过拖动滑块，动态改变平均分成小扇形的份数，观察拼成的图形（如图4）。通过“化圆为方”构建“圆的面积和长方形的面积关系”这一直观模型。当学生将一个圆平均分成几百份，再拼接成一个长方形时，无不流露出惊异的神情。这种由静态变动态、数形结合的动画设计，给了学生更多的想象空间。

6.探究4

该模块主要是让学生动手操作，设计环形。学生用颜色选择器选择颜色，用滑块改变圆的半径，单击方格区域确定圆的位置，就能设计出大小不同、颜色各异的圆形，单击“清除图形”按钮可以重新设计（如图5）。学生在动手操作的基础上讨论环形面积，充分体验到圆是一种完美的图形，环形也是一种完美图形。学生的创造性得到了很好的发挥，他们设计出不同形状的圆形组合图案，加深了对圆的知识的理解。

7.例题

该模块是在前面探究圆的面积公式的基础上，解决相关的实际问题。第一个例题是解决“牛吃草”的问题，回馈引入部分。第二个是教材中的例题，问题可由学生提出并解决。学生将解答的过程填入文本框中，如果填写错误，程序将不予通过（如图6）。

8.练习

该模块有几个组合图形，要求学生计算阴影部分的面积。学生先进行列式计算，按“Ctrl”键打开计算器辅助运算（空格键关闭计算器），如果答案正确，将显示“√”（如图7）。

反思与评价

圆的面积计算公式是小学数学中的一个重要模型，是直线图形向曲线图形转换的质的飞跃。基于课程标准设计教学，突破难点的切入点就是“转化”的数学思想。运用Flash动画将“数”与“形”紧密结合起来，通过实验操作建立直观模型，能够很好地引导学生开展自主探究。

首先，建构直观模型，表达数学思想。将数学的抽象概念和推导过程变为学生容易理解和接受的直观模型。学生通过拖动学件中的滑块，即时动态地展现变化的结果，既激发了学生的思维及学习热情，又使他们感悟和体验了“化曲为直”和“化圆为方”的转化思想和极限思想。

其次，提供探究工具，激发创新思维。通过模拟数学实验的方式，学生能够将圆自主拼接成梯形、平行四边形、三角形等多种图形探索圆和直线图形的面积关系，既克服了传统教学中拼剪图形的繁琐和种种限制，更为学生的个性化学习提供了广阔的创新思维空间。而自主设计环形图案，则让学生学会了欣赏美和创造美。

最后，注重练习反馈，提高学习效果。在“练习”环节，要求学生计算涂色部分的面积，学生的解答过程被记录在文本框中，计算机会根据输入情况即时给出反馈。

幕前幕后

2015年的南昌之行，评委老师对我的作品所建构的直观模型给予了高度评价并留下我的电话进一步交流，我的心情非常激动。两年前第一次参加NOC活动的情景又浮现在眼前：答辩的那天早上，突发灵感构建了一个面积函数的直观模型，答辩时获得了评委老师的鼓励和观众的掌声，当时兴奋之情无以言表。从那时起，我开启了用Flash动画进行教学的探索之路。2014年，我的NOC作品《笔算乘法》因良好的即时反馈效果，解决了老师不能及时批阅作业的现实问题，有幸荣获一等奖。接下来的一年时间，我满怀激情利用业余时间编写了70多个数学学习工具，把每个案例汇集起来写成了一本书，2015年十月正式出版。夜深人静的时候，我为在键盘上敲下的一行行代码化为精彩的作品而兴奋，也为苦思冥想不得结果而彷徨;课堂上，我为学生借助动画学得趣味盎然而欣慰，也为技术改变教学而激情满怀。我的成长也在影响着学校里一批志同道合的老师，他们一直在推动信息技术与创新实践活动，如今已有数十名师生在NOC活动的各赛项中获奖。

NOC活动点燃了我的创造热情，唤醒了我内在的尊严和欢乐！我感觉课堂上用动画能够教学生“真正的数学”，这是一条“轻负担、高效率”的课改之路。与NOC相识、相知、相伴的日子里，我成长，我幸福！

评委印象

《圆的面积》学习工具用于五四学制小学五年级翻转课堂，淄博市的翻转课堂教学实验开展的深度与推广力度都非常大，从这个工具可见一斑。

王老师设定的目标分别是：探索推导圆的面积公式、能使用圆的面积公式正确计算圆和环的面积及初步了解极限思想。

目标1是重点。王老师设计了两个直观模型和两个动手探究（如图1、图2）。直观模型分别是化曲为直、化圆为方。其操作比较简单，拖动游标即可观察到随着N的变化图形越来越接近圆形（矩形）。

两个动手探究则具有很大的灵活性，理想的课堂中，教师对学生拼图的期望是这样的（如下页图3、图4）。

我为此专门询问了王老师，如果出现这种情况如何处理。王老师认为翻转课堂需要鼓励学生的发散思维并承担其后果，在图5中，学生能总结出圆面积公式，在图6中，虽然也能使用环形面积公式计算面积，但需要引导学生温习环形的定义。我非常同意这种观点。

在翻转课堂的练习部分，王老师设计了检验学生学习情况的练习题，填对正确答案会出现做对的提示（如图7）。这也是课程的亮点之一。

总的来说，王老师以非常不错的编程技术实现了适用于翻转课堂的学习工具的开发，作为教学一线的教师，我认为这已经达到了他编程能力的极限。但工具设计中也有明显的不合理的地方，如练习中“+、-、×、÷”等符号的输入，探究中以鼠标滚轮旋转图片不够方便（各图片旋转中心也不一致），王老师也在实际使用中觉察到这些缺陷并反思要改正，甚至想开发存储功能，保存学生自我拼接的图形，以实现教学的积累。然而，对于一名一线教师来说，改进这些缺陷所要花费的成本很大，而教学工具带来的提升却很小，所以这明显不合算。我个人的看法是专业编程人员应该介入学习工具的开发，以他们强大的技术能力以低成本的方式解决一线教师的需求，这样才能更好地寻找数字化学习工具的新的增长点。

（田岗  NOC活动评委）