由地震背景噪声提取介质衰减：衰减介质中的空间相干表示

王凯明, 鲁来玉, 刘庆华

中国地震局地球物理研究所, 北京 100081



由地震背景噪声提取介质衰减：衰减介质中的空间相干表示

王凯明, 鲁来玉*, 刘庆华

中国地震局地球物理研究所, 北京 100081

传统基于地震背景噪声互相关的层析成像技术，主要利用了互相关函数的相位信息，即利用走时来反演地球介质的速度和各向异性特征．最近，开始有研究人员利用互相关函数的振幅信息提取介质的衰减．主要是将二维弹性情形下，互相关函数正比于第一类零阶贝塞尔函数J0(k0r)这一结论，通过引入指数衰减系数，直接推广到衰减介质情形，令衰减介质中背景噪声互相关函数类比于J0(k0r)·e-α(ω)r，以此来反演介质的衰减系数α．然而，在衰减介质中，互相关受源的方位平均的影响，这种简单的推广，可能无法提取可靠的衰减系数．本文基于平面波的叠加模型，研究不同的互相关定义和坐标选择下，衰减介质中两点间互相关函数的理论表达式．结果表明，在平面波叠加模型下，互相关函数的表达形式随着坐标原点的选择，并因而随着源分布的变化而变化，对不同的归一化因子，表达式也不尽相同．利用J0(k0r)·e-α(ω)r的形式拟合背景噪声的观测数据得到的衰减比实际值偏小．

噪声互相关函数； 振幅； 衰减； 相干； 源的分布

1 引言

传统地震层析成像通常利用地震事件反演地下介质的地震波速度和衰减系数，进而研究地下结构．由于地震发生在特定的时间和空间，这一方法限制了所能研究的区域(Shapiro and Campillo，2004；Sabra et al．，2005；Yang et al．，2007)．背景噪声广泛地存在于地表，不受空间和时间的制约(Prieto et al．，2011)，利用背景噪声场研究地下结构可以克服地震方法所带来的限制．Aki(1957)指出：对于无衰减介质，相距为r的台站之间背景噪声空间相关谱γ(ω,r)的方位平均与零阶贝塞尔函数之间满足如下关系：

(1)

Re表示取实部，ω为角频率，k0为波数．基于这个关系，可以利用微动信息估算相速度，并以此反演介质的速度结构．

近年来，利用背景噪声场研究地下结构有了很大的发展(Shapiro et al．，2005；Zheng et al．，2010；Yao et al．，2011；Li et al．，2014)．基于简正模方法，Lobkis和Weaver(2001)指出扩散场中两个台站记录的互相关与这两个台站之间的格林函数呈正比关系．Sánchez-Sesma和Campillo(2006)，Lu等(2011)以及朱良保和王清东(2011)进一步证实了这一结论．因此，背景噪声的互相关函数(Noise Cross-correlation Function, NCF)可以产生稳定的近似格林函数，进而可以计算台站之间面波的相速度(Wapenaar et al．，2010a，2010b；刘志坤和黄金莉，2010)．许多作者利用NCF信息进行面波层析成像(Lin et al．，2008；房立华等，2009；唐有彩等，2011；鲁来玉等，2014；范文渊等，2015)．

先前的这些研究大多关注互相关函数的相位信息，即利用背景噪声互相关测量地震波的走时，对互相关函数的振幅信息研究较少．最近，研究人员开始关注背景噪声互相关函数的振幅测量(Lin et al．，2011；Liu and Ben-Zion，2013；Weemstra et al．，2013，2014；Liu et al．，2015).Prieto等(2009)认为在衰减介质中，经过方位平均以后，两个台站之间频率域归一化的互相关(相干)的实部等于零阶贝塞尔函数与指数衰减项的乘积，即

(2)

利用(2)式对观测到的相干数据进行拟合，Prieto等(2009)利用背景噪声信息计算了美国南加州地区周期为5～20 s的衰减系数α，对典型地区和结构的区域化特征进行解释时取得了良好的结果．但对于衰减项e-α(ω)r的引入，仅仅是对弹性介质的一个简单推广，并没有做详尽的讨论(Prieto et al．， 2009，2011；Lawrence and Prieto，2011)．由于振幅测量缺乏相应的理论背景，无法量化其研究的精度(Tsai，2011)．

背景噪声互相关的振幅受衰减、背景噪声源分布、散射等因素影响(Lawrence et al．，2013)，是否可以从背景噪声相关中提取衰减信息依旧是有争议的．地球的背景噪声源不是均匀分布的，随时间和空间而变化.方位平均可以有效减轻非均匀噪声源分布的效应(Prieto et al．，2009，2011)．对时间平均的归一化互相关可以减轻背景噪声源的方向性(鲁来玉等，2009；Tsai and Moschetti，2010；Lawrence et al．，2013)．基于Yokoi和Margaryan(2008)的方法，Nakahara(2012)认为当衰减很小时，表达式J0(k0r)e-α(ω)r才是近似正确的.Cupillard和Capdeville(2010)的数值试验表明噪声源的振幅在不同的噪声源分布下存在差异，衰减效应存在于均匀分布的噪声源的互相关中．Weaver(2011)，Tsai(2011)认为相干的方位平均可能无法重建可靠的衰减系数．不难看出这些争论的焦点在于对背景噪声源的分布所做的假设不同．

本文考虑源沿较大半径的圆周均匀分布的模型，研究衰减介质中，该模型下空间相干的表达式，讨论不同的归一化因子造成的可能影响．最后分析直接采用(2)式反演介质衰减带来的可能结果．

2 模型假设及相干的定义

在弹性介质中，时域波动方程为

(3)

u表示位移，c0为相速度，通常为实数．对于沿某一方向传播的单色波，方程具有如下形式的解：

(4)

其中A为波的振幅，波数k0=ω/c0．相应的频域波动方程为

(5)

考虑衰减时，时域波动方程变为

(6)

α为衰减系数．相应的频域波动方程为

(7)

即

(8)

令k=k0+iα，则有

(9)

其解为

(10)

本文考虑的源的分布模型如图1所示，在半径为R的圆周上，平均分布着一系列源．a，b为两个接收点的位置，其空间坐标用矢量r1和r2表示．相对接收位置a，b来说，R→∞时，每一个源激发的波可以看成如(10)式所示的平面波，因此，对于单个激发源，a，b两点接收到的平面波可表示为

(12)

同时，假定各个源激发的平面波互不相关，即

(13)

对于脉冲源或瞬态源，计算两个台站之间的互相关函数时，通常先计算由同一个源激发的互相关函数，然后再将不同源激发的互相关函数进行叠加，相关和叠加的顺序不能交换，因为对于脉冲或者瞬态源，两个台站接收到的信号是相干的，交换相关和叠加顺序将出现非物理的交叉项(Wapenaar et al．，2010a)．当计算位于背景噪声场中的两个台站的互相关函数时，由于台站接收到的信号是不同源激发的波场的叠加，且噪声源的信息无法获得，因此我们得到的互相关函数是先叠加后相关的结果．由于噪声源通常是互不相关的，交换相关和叠加顺序不会引起非物理的交叉项．但在衰减介质中，叠加和相关顺序不同，得到的表达式也不尽相同．

图1 源的分布与圆周内任意两点a, b的位置坐标Fig.1 Source distribution and coordinates of two stations a and b

本文将对先叠加后相关和先相关后叠加两种情况来讨论．

(14)

(15)

a，b两点之间的互相关可以表示为

由于积分变量φ，φ′是相互独立的，因此有

(16)

利用(13)式可得其整体平均为

(17)

a，b两点各自的自相关分别为

(18)

(19)

对于三种不同的归一化因子，可以得到空间相干的三种定义：

(20)

(21)

(22)

对于先相关后叠加的情况，由(11)，(12)式可知，a，b两点之间的互相关为

(23)

a，b两点之间的自相关分别为

(24)

(25)

考虑三种不同的归一化因子，相干的定义也有三种不同的形式，分别为

(26)

(27)

(28)

3 衰减介质中空间相干的表示

3.1 先叠加后相关

将(17)(18)(19)式代入(20)式，得到

(29)

(30)

(31)

图2 源的分布及a，b两点的坐标关系,a点为坐标原点Fig.2 Source distribution and coordinates of points a and b. Point a is taken as the origin

(32)

图3 因果性噪声源(a)和非因果性噪声源(b)的示意图. 这里假定a为虚拟源，b为虚拟接收Fig.3 Schematic diagram of (a) the causal sources of noise and (b) the acausal sources of noise. It is assumed that a is virtual source and b is virtual receiver

(33)类似的，对于非因果性部分，有

图4 源的分布及a，b两点的坐标关系,a和b的中点为坐标原点Fig.4 Source distribution and coordinates of points a and b. Midpoint between a and b is taken as the origin

(35)

类似前面的讨论，其因果和非因果部分的表达式分别为

(36)

(37)

对于(21)和(22)式选取不同的归一化因子的情况，可以进行类似的讨论，其结果在表1和表2中给出.

表1 先叠加后相关中不同坐标系下的abTable ab in different coordinate systems

(35)和(36)式与Tsai(2011)中的(25)和(29)式一致．Tsai(2011)基于均匀分布的远场面波模型(Uniform Distribution of Far-field Surface Waves)和单边远场面波模型(One-side Far-field Surface Waves)得出了同样的结果，这与本文考虑的模型一样，虽然该模型假定源在半径R很大的圆周上均匀分布，由于介质的衰减，圆周内部各点波场的大小并不是完全相同的．当采用如图4所示的坐标系时，(13)式的定义表明各向同性的场位于a，b连线的中点．另一方面，从源的分布角度考虑，两种坐标原点的选择，意味着源相对a，b两点具有不同的方位分布．其相干表达式的不同表明，在衰减介质中，源的分布影响空间相干的表达，简单采用如(2)式所示的指数衰减形式来反演介质的衰减系数具有潜在的不可靠性．

表2 先叠加后相关中不同坐标系下的ab(+)和ab(-)Table ab(+) and ab(-)in different coordinate systems

3.2 先相关后叠加

对于脉冲源或者瞬态主动源，相关和叠加的次序是重要的．为了避免交叉项的产生，需要对单个激发源，求取a，b两点的互相关，然后将所有源的互相关结果叠加．对于此种情况，将(23)(24)(25)式代入(26)式，可以得到

(38)

类似前述讨论，根据图2的坐标关系，容易得出

(39)

对于因果性部分有

(40)

非因果性部分有

(41)

对于如图4的坐标选择，则有

(42)

(43)

(44)

通过类似的计算可以得到(27)和(28)的表达式，其结果在表3和表4中给出．

4 分析与讨论

表3 先相关后叠加中不同坐标系下的abTable ab in different coordinate systems

y2(α0r)=Re[J0(k0r+iα0r)]，

y4(α0r)=Re[J0(k0r+iα0r)/I0(2α0r)].

(45)

C^(1)ab(+)C^(1)ab(-)C^(2)ab(+)C^(2)ab(-)C^(3)ab(+)C^(3)ab(-)12J0(k0r)+iH0(k0r)[]12J0(k0r)-iH0(k0r)[]12J0(kr)+iH0(kr)[]12J0(kr)-iH0(kr)[]12J0(k0r-iαr)+iH0(k0r-iαr)[]12J0(k0r-iαr)-iH0(k0r-iαr)[]12J0(k0r)+iH0(k0r)[]12J0(k0r)-iH0(k0r)[]12J0(kr)+iH0(kr)[]12J0(kr)-iH0(kr)[]12J0(k0r-iαr)+iH0(k0r-iαr)[]12J0(k0r-iαr)-iH0(k0r-iαr)[]

假定介质的品质因子Q不随频率变化(Kjartansson，1979)，对于弱衰减情形，衰减系数α与频率存在如下关系：

(46)

图5 不同形式的与J0(k0r)e-α(ω)r和J0(k0r)的比较Fig.

图6 不同的相干表示给出的衰减模型的比较Fig.6 Comparison of attenuation models from different coherency expressions

图7 用J0(k0r)e-α(ω)r的相干表示式拟合(45)式所示的不同理论模型得到的衰减系数αFig.7 Attenuation coefficients by fitting the J0(k0r)e-α(ω)rwith the theoretical coherency shown by Eq.(45)

(47)

ln为求自然对数.图7给出了不同周期下(47)式的最小二乘解，α1,α2,α3,α4分别表示用J0(k0r)e-α(ω)r拟合(45)式中的4种模型得到的衰减系数．可以看出，使用J0(k0r)e-α(ω)r对不同的理论相干形式进行拟合时，得到的衰减系数比假定的理论值偏小．

不同的源的分布对应不同的空间相干表示，这表明没有一种模型能很好地模拟衰减地球介质中的背景噪声相干模型．Walker(2012)指出衰减不可避免地引起平面波的非均匀性，因此其空间相干依赖于归一化因子的选择及源的分布，从而导致相应的结果依赖参考系的选择．这意味着，利用类似的模型来描述地球介质的衰减并不是完美的，地球背景噪声模型不能完全用分布在二维平面上的源来模拟，可能需要考虑源的体积分布．另一方面，提醒我们在利用噪声互相关技术提取介质衰减时，需要更加谨慎．

5 结论

假定源在大半径的圆周上均匀分布，每个源激发互不相关的平面波，基于这样的模型，本文研究了衰减介质中，圆周内部两点之间空间相干的表达式，并分析了这些表达式在利用背景噪声互相关技术提取介质衰减系数中的应用．研究表明，衰减介质中空间相干的表达受源的分布影响，选择不同的归一化因子，其结果不尽相同，目前还没有一种较好的噪声源分布模型能描述实际的衰减地球介质的相干表示．传统利用J0(k0r)e-α(ω)r的相干形式提取的介质衰减系数比介质实际衰减系数偏小．

附录A 公式(32)推导如下：

(A1)

由周期函数的积分性质，得

(A2)

通过简单的积分运算可得

(A3)

(A3)式即正文中的公式(32)．

由Abramowitz(1970)中(12.1.7)式

和(12.2.2)式

可知，当ν=0时，

(A4)

(A5)

将(A4)，(A5)式代入(A3)式，最终可得

(A6)

(A6)式即正文中的公式(33)．

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附中文参考文献

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(本文编辑 何燕)

On the spatial correlation of seismic noise in an attenuating medium

WANG Kai-Ming, LU Lai-Yu*, LIU Qing-Hua

InstituteofGeophysics,ChinaEarthquakeAdministration,Beijing100081,China

Traditionally, the tomography based on the correlation of seismic noise primarily uses the phase information of ambient noise correlation function (NCF) to extract the seismic velocity and anisotropy of the Earth with travel time measurement by performing inversion. Researchers recently utilize the amplitude of NCF to extract the Earth′s attenuation. In theory, NCF is proportional to the first kind of zero-order Bessel function in a 2-D elastic case, which is directly extended to the dissipative media by introducing an exponential attenuation coefficient. The attenuation of the structure is then obtained by comparing the observed data from NCF to the Bessel function multiplied by a decaying exponential term. The NCF, however, is affected by azimuth averaging of ambient noise sources distributed in attenuated media. This empirical and simple extension cannot be used to extract a reliable decay coefficient. In this paper, we study the theoretical expressions of NCF in the frequency domain between two stations under different coordinate systems and accordingly different source distributions which are composed of superposition of plane waves. We show that the coherency expressions in dissipative media vary with coordinate systems. The expressions are different for different normalized factors. The attenuation coefficient obtained by fitting the coherency J0(k0r)·e-α(ω)rwith the observed data is smaller than the real one.

Noise cross-correlation function; Amplitude; Attenuation; Coherency; Source distribution

10.6038/cjg20160909.

国家自然科学基金(41174041)资助.

王凯明，男，1990年生，博士研究生，主要从事地震噪声成像理论研究.E-mail:951489278@qq.com

*通讯作者 鲁来玉，男，研究员，博士生导师，主要从事地震波的传播与散射理论，及地震层析成像等方面的研究.E-mail：laiyulu@cea-igp.ac.cn

10.6038/cjg20160909

P315

2015-11-23，2016-01-27收修定稿

王凯明, 鲁来玉, 刘庆华. 2016. 由地震背景噪声提取介质衰减：衰减介质中的空间相干表示. 地球物理学报，59(9):3237-3247,

Wang K M, Lu L Y, Liu Q H. 2016. On the spatial correlation of seismic noise in an attenuating medium.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),59(9):3237-3247,doi:10.6038/cjg20160909.