偏微分方程的积分变换法及其MATLAB解算

赵迎春，布仁满都拉

（内蒙古赤峰学院数学与统计学院，赤峰　024000）

偏微分方程的积分变换法及其MATLAB解算

赵迎春，布仁满都拉

（内蒙古赤峰学院数学与统计学院，赤峰024000）

积分变换是求微分方程解析解的一种重要的方法，其中傅里叶变换法和拉普拉斯变换法是最常用的方法。介绍傅里叶变换法和拉普拉斯变换法在波动方程和热传导方程中的应用，并用MATLAB软件对方程作傅里叶变换法和拉普拉斯变换法，求解波动方程和热传导方程的解。

傅里叶变换；拉普拉斯变换；积分变换；MATLAB

0　引言

在物理、化学、医学和工程中，很多问题是用数学微分方程来表示的，例如，稀薄气体中的Boltzmann方程、电磁场满足的Maxwell方程、流体满足的质量、动量和能量守恒方程。从而，求解各类微分方程的解显得尤为重要。求解微分方程方法有多种，如分离变量法、常数変易法、摄动展开法、数值方法和积分变换法等等，其中傅里叶变换和拉普拉斯变换是最常用的变换法。本文只讨论这两个方法，它适用于求解无界区域和半无界区域的问题.对微分方程作傅里叶变换或拉普拉斯变换后，能减少自变量的个数，例如，对二阶偏微分方程（自变量的个数为2）作积分变换后，偏微分方程变为常微分方程，对常微分方程作积分变换后方程变为代数方程。然后，通过逆变换可求出原问题的解。

1　傅里叶变换

定义［1，2］若函数 f（t）在（-∞，∞）上绝对可积，在任一有限区间上满足Dirichlet条件，则称函数：

为f（t）的傅里叶变换。称函数：

为C（k）的傅里叶逆变换。

微分定理［1，2］若lim|x|→∞f（n）（x）=0，则：

推广到高阶导数上，有：

例 求解无界杆的热传导问题

这是一个非齐次常微分方程.用常数变易法可得：

作象函数的傅里叶逆变换，得：

MATLAB解算［3］：在MATLAB算法中，我们考虑具体的函数，在方程令f（x，t）=x+1，a=1，φ（x）=cos（x）。设函数矩阵 ［x+1，cos（x）］=h（x），令H（k）=F［h（x）］。在MATLAB中输入：

>>u=ifourier（U，k，x）%回车，得：

于是原问题的解为：

2　拉普拉斯变换

定义［1］设函数f（t）在区间 ［0，∞）上有定义，如果含复参数p的无穷积分对 p的某一取值范围内是收敛的，则称：

为函数 f（t）的拉普拉斯变换，f（t）称为原函数，F（p）称为象函数。称由象函数求原函数的积分。

为拉普拉斯逆变换，即有L-1［F（p）］=f（t）。

微分定理［1，3］设 f（n）（t）（n=1，2，…）分段连续函数，则：

例 非齐次波动方程

解：对方程和边界条件作关于t拉普拉斯变换：

方程（16）的通解为：

由（16）知，A=B=0，所以：

对（18）作逆拉普拉斯变换，得：

>>syms t a x positive，syms k p

>>F=laplace（k*sin（pi*x/a），t，p）%回车，得：

F=k*sin（pi*x/a）/p

利用拉普拉斯变换的性质和上面的MATLAB结果，对原方程和边界条件作Laplace变换后，可得（15）-（16）。用MATLAB求解问题 （15）-（16）：

>>syms x p c p a k

>>U=dsolve（'D2U-p2*U/c2=-k*sin（pi*x/a）/p'，'U（0）=0，U（a）=0'，'x'）；

>>disp（'U（x，p）='），pretty（U）%回车，得：

U（x，p）=

>>syms t positive

>>u=ilaplace（U，p，t）

u=k*c2*a2*sin（pi*x/a）*（1/pi2/c2-1/pi2/c2*cosh（pi*（-a2*c2）（1/2）/a2*t））

>>pretty（u）

于是原问题的解为：

［1］张元林.积分变换［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［2］谷超豪，李大潜，陈恕行，等.数学物理方程［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［3］石辛民，翁智.数学物理方程及其MATLAB结算［M］.北京：清华大学出版社，2003.

Fourier Transform；Laplace Transform；Integral Transform；MATLAB

Integral Tansform Method for Partial Differential Equations and Its MATLAB Procedure

ZHAO Ying-chun，Burenmandula
（School of Mathematics and Statistics，Chifeng University，Chifeng 024000）

Integral transform method is an important method of solving partial differential equation.Among the Integral transform methods，the Fourier transform method and Laplace transform method are widely used.Introduces the applications of the Fourier transform method and Laplace transform method to the wave equation and the heat equation，uses MATLAB software to calculate the exact solutions of the wave equation and the heat equation.

1007-1423（2016）29-0053-03

10.3969/j.issn.1007-1423.2016.29.012

赵迎春（1983-），女，内蒙古赤峰市人，硕士研究生，研究方向为微分算子谱理论

2016-07-26

2016-10-07