于折叠中寻“奥妙”

江苏省江阴市利港中学八（11）班 韩昕豪

于折叠中寻“奥妙”

江苏省江阴市利港中学八（11）班 韩昕豪

责任编辑：沈红艳 见习编辑：李诗 email：czsshy@126.com

原题呈现：（1）小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图1）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图2），小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.（2）实践与应用：将长方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图3）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图4）；再展平纸片（如图5），求图5中∠α的大小.

图1

图2

图3

图4

图5

这题在试卷中出现时我是第一次碰到，当时看到题就有些心慌，虽然明白题目（1）的意思但却不会书写，由于书写比较凌乱，直接导致第（2）问没有做.正因为此题的失误让我这次考试没有得到理想的分数.试卷发下来后，我回家认真静心思考与订正，我发现这题并不是很难.关键在于解题思路要清晰，书写格式要规范，虽然题目比较长，但只要认真阅读，抓住折叠的本质，这分就易得了.

我在订正时，首先把心静下来，赶走因题目太长带来的烦躁不安，然后认真阅读，边读边圈画，按照老师一直强调的看到一个条件就开始联想.比如：三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图1），我就把目光集中在图1，这里可以得到∠BAD=∠CAD；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图2），我就把目光集中在图2上，感觉图2的信息很多，假设AD和EF交于点O，那么AO=OD，EO=OF，AE=AF，如果这样的话，那么△AEF就已经是等腰三角形了，再次陷入考试时的死结.我突然想到老师平时对做这类题目的要求，不会做的时候，按题目要求动手操作，于是我就裁剪了一个三角形，然后按要求进行翻折，当第二次翻折时，为了让点A和点D重合，我不断进行调整，这时发现E、F也在动，顿时我就明白了，第二次翻折的时候，AE和AF是不能够直接得到相等的，当点A和点D重合时，压平展开后发现得到第二条折痕EF，AO=OD，但EO=OF是不能直接得到的.问题是AO=OD与证明三角形△AEF是等腰三角形无关，这让我再次陷入困境.我又按要求操作了一遍，突然发现这两条折痕是垂直的，加上∠BAD=∠CAD，这样就可以利用三角形内角和得到∠AEF=∠AFE，最后由等角对等边得到△AEF为等腰三角形.这一结论让我兴奋不已，当有了这个结论后，我又发现利用三角形全等也可以解决.

解：（1）由第一次折叠得：∠1=∠2，由第二次折叠得：EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°，在△AEO和△AFO中，∠1=∠2（已证），AO=AO（公共边），∠AOE=∠AOF（已证），∴△AEO≌△AFO

（ASA），∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形.

（2）由第一次折叠得：∠BEF=45°，∠FED= 90°，∴∠BED=∠BEF+∠FED=135°，由第二次折叠得：∠BEG=∠BED=67.5°，∠BEF+∠α=∠BEG，∴∠α=∠BEG-∠BEF=22.5°.

当我把此题订正好后，突然想到第（1）题第二次折叠过程中，点A和点D关于折痕EF对称，即EF为对称轴，那么就可以得到AD⊥EF，AO=DO，马上想到课堂上老师讲过：轴对称图形中对应点的连线段的垂直平分线是该图形的对称轴，想通了就发现此题真的很简单，自己考试时犯的错误在于没全面了解翻折得到的信息，现在我明白了图形的翻折，折痕是对称轴，对应点的连线段的垂直平分线是该图形的对称轴.

另外，我还从此题订正的过程中得到一个经验，那就是遇到类似折纸等操作类题目，可先按要求动手操作，操作的过程中，往往问题就可以轻松解决.

【教师点评】小作者能通过对一道考试错误的题目进行订正，订正时发现思路得不到突破，于是想到动手操作，过程一波三折，可谓精彩.目前动手翻折问题在各地中考试卷中是一个热门题型，小韩同学把周考时的心里话说出来了：“第一次碰到，当时考试时看到此题就有些心慌，虽然明白题目（1）的意思但却不会书写，由于书写比较凌乱，直接导致第（2）问没有做.”刘老师把它放在试卷最后一题，本题难就难在第一小问，如果同学们不动手操作的话，思路会很混乱，而且不会书写.只有通过自己静心思考、操作后，在头脑中清晰地浮现出操作过程，才能进而发现此题考查的本质.刘老师之所以选中这篇反思，一是因为想换一种方式提醒和告诫同学们，今后遇到此类题目必须动手操作；二是因为该文中提到了认真阅读，抓住折叠的性质，这很好.后面马上要学习勾股定理，此类翻折的题目将会大量出现，一定要动手操作，记住折痕就是对称轴，然后去发现不变的角和线段之间的关系.

数学就是要这样去研究.陷入其中者，爱之惜之乐之；门外转悠者，畏之弃之恨之.

（指导教师：刘杰）

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