Knight不确定下基于无穷纯跳Levy过程的一般风险资产的动态最小定价

刘悦莹+王向荣+黄虹

摘 要 研究了具有Knight不确定性的金融市场下的一般风险资产的动态最小定价，利用倒向随机微分方程（BSDE）理论以及时间-风险折现方法，推导出了基于无穷纯跳Levy过程的一般风险资产在实际概率测度下的动态定价公式及其在Knight不确定性控制集合上的动态最小定价.最后给出了一个欧式看涨期权动态最小定价的例子，并导出期权价格的显示表达式.在Knight不确定环境下， 引入Levy过程来描述股票价格的动态走势，更加符合实际市场，可广泛地应用于一般风险资产的定价过程，这为投资分析提供一定的理论依据.

关键词 金融数学；最小定价；风险市场价格；BSDE；Levy过程；Knight不确定性

中图分类号 F272 文献标识码 A

Abstract By using the theories of backward stochastic differential equation and time-risk discount method， dynamic minimal pricing of general risk assets was studied under the financial market with Knight uncertainty. Dynamic pricing formula of general risk assets was deduced based on infinite pure jump Levy process under real probability measure. Moreover， dynamic minimal pricing formula was calculated in a set of Knight uncertainty. Finally， a case of dynamic minimal pricing of European call option was presented and the explicit solutions of the price of the option was obtained. The Levy process was introduced to describe dynamic movements of stock prices under Knight uncertain environment， which was more in line with actual market and could be widely used in general risk assets pricing， because it provided the theoretical basis for investment analysis.

Key words financial mathematics； minimal pricing； market prices of risk； backwardstochastic differential equation； Levy process； Knight uncertainty

1 引 言

Black和Scholes（1973）在股票价格遵循几何布朗运动的假设下，获得了著名的B-S期权定价公式[1]，随后鞅方法和偏微分方程方法也开始被普遍用于各种风险资产的定价.但是，B-S 理论主要用于解决与市场风险相关的资产定价问题，而对于套利行为一旦离开了资产的可交易性就失去了意义.类似于死亡风险等的保险风险相关的资产是不可交易的，因此，借用等价鞅测度方法或 B-S 理论来做保险合同的定价问题是缺乏根据的.于是在理论上提出这样一个问题：能否以及如何发展一般风险资产定价？目前有不少学者进行了相关研究.陈典法（2003）提出时间风险折现（Time-Risk discount）方法， 并运用于人寿保单定价问题[2].冯建芬（2006）在陈典法的思想基础上给出了一般风险资产的定价模型[3].张慧（2010）明确给出了Knight不确定环境下一般风险资产的动态定价公式[4]. 但是，上述文献在研究风险资产定价时，均假设股票的价格变化过程是几何布朗运动，从而可以推断出股票价格是关于时间的连续函数.但在实际市场中，由于外界及内部大大小小的偶然事件的干扰，股票价格往往会呈现出复杂的跳跃现象，同时股票收益率曲线服从正态分布的假设也与市场所呈现的尖峰厚尾的特征相违背， 因而需要引入新的过程来描述股票价格动态走势.已有大量文献对股票价格的波动规律进行了研究，提出了多种资产价格模型，如：Chan（1999）提出的的几何Levy过程模型[5]，Jan（2000）提出的的指数Levy过程模型[6].为了更好地刻画股票价格走势，引入Levy过程来描述股票价格的动态走势.

Knight（1921）把未来的不确定性分成两种情况：风险（risk）和Knight不确定性（uncertainty， ambiguity）[7].这表明，现实金融市场上的Knight不确定性是不容忽视的普遍现象.Ellsberg（1961）提出了著名的Ellsberg悖论，表明当事人的选择行为会受Knight不确定性的影响，单一概率测度的观点无法解释这种行为[8].Basili M（2001）表明资产定价研究考虑Knight不确定性，可以较好地解释像经纪商的买卖差价、价格突变以及期权平价公式的背离等金融现象[9].Chen Zengjing和Larry Epstein（2002）利用BSDE的有关理论第一次建立起数学模型，研究了连续时间的资产定价模型，既体现了风险，也体现了Knight不确定性[10].因此，资产定价研究也需要考虑Knight不确定性.

为了更好地刻画股票价格的市场特征，在带有漂移项和 Brown 扩散项的基础上，加入Levy过程刻画的无穷纯跳项，从而更好地反映金融市场的实际状况，并进而推导出了在 Knight不确定环境下一般风险资产的动态定价公式，给出了一般风险资产在实际概率测度下的动态价格表达形式（定理1）.Knight不确定性可以通过一个参数可行控制集合Θ来刻画，而由于 Knight 不确定性的干扰，投资者难以选择用哪个概率测度来对风险资产进行定价，因此进一步给出了风险资产在这个参数控制集合Θ上的动态最小定价公式（定理2）.最后，给出了一个在Knight不确定环境下基于无穷纯跳Levy过程的欧式看涨期权的动态最小定价的例子（定理3），获得了期权买入价格的显示表达式.endprint

5 结 论

假设股票价格过程遵循Levy过程，在BSDE 经典相关理论的基础上，假定无风险利率、波动率及预期收益率均为时间t的函数，推导出了在 Knight不确定环境下一般风险资产在实际概率测度下的动态价格表达式.由于Knight不确定的存在，推导了风险资产的动态最小定价公式.最后，给出了一个在Knight不确定环境下基于无穷纯跳Levy过程的欧式看涨期权的动态最小定价的例子，并导出了期权价格的显示表达式.本文的结论完全包含文献[4]的结论.

参考文献

[1] Black F， Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Political Econo-my， 1973， 81（3）： 637-654.

[2] Chen Dianfa， Xiang George. Time-risk discount valuation of life contracts[J].Acta Mathematicae Applicates Sinaca， English Series， 2003， 19（4）： 647-662.

[3] 冯建芬， 陈典发. 风险资产的一般定价模型[J]. 南开大学学报， 2006， 39（2）：25-28.

[4] 张慧. Knight不确定性与一般风险资产的动态最小定价[J]. 统计与决策， 2010， 2010（06）：37-39.

[5] Chan T. Pricing contingent claims on stocks driven by levy processes[J].Annals of Appl Prob， 1999， 9（2）： 5-528.

[6] Kallsen Jan. Optimal portfolios for exponential levy processes [J]. Mathematical Methods of Operations Research， 2000， 51（3）： 357-377.

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[14]David Applebaum. Levy Process and Stochastic Calculus[M]. Cambridge University Press， 2004.

[15]张慧，聂秀山. Knight不确定环境下欧式股票期权的最小定价模型[J]. 山东大学学报（理学版），2007， 42（11）： 121-126.endprint