基于频域回归法的混凝土辐射供冷楼板非稳态传热模型的建立及验证

田 喆，雒志明，张长志，项添春，吴 亮，杨延春

（1. 天津大学环境科学与工程学院，天津 300072，2. 国网天津市电力公司，天津 300384）

基于频域回归法的混凝土辐射供冷楼板非稳态传热模型的建立及验证

田 喆1，雒志明1，张长志2，项添春2，吴 亮2，杨延春2

（1. 天津大学环境科学与工程学院，天津 300072，2. 国网天津市电力公司，天津 300384）

以辨识理论和反应系数法为基础，利用频域回归法计算混凝土辐射供冷楼板热力系统吸热和传热反应系数，建立混凝土辐射供冷楼板的二维非稳态传热模型.通过实验数据对所构建模型的计算结果进行验证.结果表明：稳态工况热流密度误差不超过6%,，表面温度误差在0.3,℃以内；非稳态工况热流密度误差不超过9%,，表面温度误差在 0.5,℃以内.最后利用该模型计算了工程常用混凝土辐射供冷楼板的传热延迟时间，为其系统的负荷计算和运行策略提供参考.

混凝土辐射供冷；频域回归法；非稳态传热；延迟时间

混凝土辐射供冷技术以其舒适和节能等特点受到越来越多的关注［1-2］，而对于混凝土辐射供冷楼板而言，混凝土内部非稳态传热过程是一个重要的环节.由于不易获得解析解，数值计算和简化传热模型计算是两条主要技术路线.数值法主要以 Fort［3］的FDM法和Jin等［4］的FVM法为代表.数值法计算精度较高且无需搭建实验室，但其不足之处在于：在保证解的收敛性和精度的条件下，模型需划分过多的节点并需求出每一个时间步长的所有节点上的温度分布；当边界条件改变时，必须重新计算所有的参数.简化传热模型构建相对简单，计算工作量小而又可以保证较高的计算精度，因此当前研究多集中于此.热阻热容网络（RC）法、导热传递函数（CTF）法和反应系数法是其中代表性做法.RC 法以Weber等［5］和 Liu等［6］建立的简化模型为主，但前者先利用数值方法确定节点间等效热阻热容，计算过程复杂；后者所建模型在处理输入变量时采用傅里叶级数分解形式，使得输入变量在拐点处出现振荡，导致模型计算误差较大且只适用于周期扰量工况.导热传递函数法和反应系数法简化模型则以 Strand等［7］和 Tian等［8］为代表，二者都是通过三角波和矩形波的叠加逼近输入变量，不要求周期性的边界条件，适用于任意扰量.但在计算 CTF系数和反应系数时，二者都需要对系统传热或吸热s传递函数的超越方程求根，并利用 Heaviside展开式求出最终结果.不管采用直接求根法还是状态空间法都需要大量的寻根计算和迭代计算，不仅容易导致失根还增加了计算时长.鉴于以上传热模型在处理混凝土辐射供冷楼板系统的动态传热过程中的局限性，本文以辨识理论和反应系数法为基础，利用频域回归法从混凝土辐射供冷楼板热力系统理论频率响应特性中构造出简单的多项式 s传递函数，再由这种多项式s传递函数计算系统吸热和传热的反应系数，从而建立起混凝土辐射供冷楼板系统的动态传热模型.该方法将复杂的超越方程寻根过程简化为简单的多项式求根过程，计算简单，且易于编程实现.

1　频域回归模型建立

1.1辐射供冷楼板内部热量传递及传递函数多项式构建

如图1所示，本文根据文献［8］的方法引入核心温度层的概念，将系统分为上、下和核心温度层子系统并由此构建其动态传热模型.由于 3个子系统模型计算相同，以下子系统为例，其热流反应与温度扰量的关系式为

图1　简化传热模型建立原理Fig.1　Principle of the simplified heat transfer model establishment

1.2热流密度求解

当核心层温度保持为零，在下子系统外侧施加一个单位等腰三角波的温度扰量时，核心温度层侧热流ϑ （τ）的表达式为

式（7）求得的结果是时间的连续函数，按 τk=kΔτ离散得到逐时值即为系统的传热反应系数Y（0），Y（1），Y（2），….当τ=0（k=0）时，系统只受1个斜波函数的作用；当τ≥Δτ（k≥1）时，系统受到 3个斜波扰量的作用，则系统的传热反应系数为

采用同样的方式计算可得上子系统及核心层子系统相应的吸热反应系数和传热反应系数的表达式.求得了反应系数的表达式，就可以利用混凝土板的稳定性及热流可叠加性，来计算系统在某段时间内的传热量.设下子系统外壁面空气边界层温度扰量为 Tw（τ），核心层温度扰量为Tc（τ）.利用等腰三角波对扰量分解，得到下子系统核心温度层界面和空气边界层总换热量分别为

同样的过程可以得到另外两个子系统各自两个边界的总的换热量.上子系统核心温度层边界换热量和空气边界层换热量分别为

核心层子系统核心温度层与边界冷水侧边界换热量分别为

由能量守恒定律，在核心温度层节点C处有

将式（9）、式（11）及式（13）代入到式（15）中，得

将温度Tu、Tw、To不同时刻数值以及吸热和传热反应系数带入式（16）中，可以得到不同时间节点处的核心温度层温度.将不同时间节点处混凝土辐射板上下壁面空气边界层温度以及核心温度层温度分别代入式（9）、式（11）及式（13），即可得到混凝土辐射板上下壁面及冷水侧热量密度随时间的变化规律.

2　频域回归模型验证

为了验证所建立的频域回归简化传热模型的可靠性，本文搭建了辐射供冷楼板系统的全尺寸测试舱，测试舱中辐射供冷楼板的结构如图2所示，相关参数如表1所示.

图2　混凝土辐射供冷楼板结构Fig.2 Structure of concrete core cooling slab

表1　辐射供冷楼板相关参数Tab.1 Relevant parameters of concrete core cooling slab

2.1传递函数多项式验证

基于表1中混凝土辐射供冷楼板的热物性参数和结构参数，可以用jω （此处 j为虚数单位，代替系数传递函数中的拉普拉斯变量 s，就可以得到系统理论传递函数G（ s）和构造出的系统多项式的频率特性G（jω）和.由频域回归法计算得到的传递函数多项式为

如果构造出的系统动态模型的频率响应特性与原系统的频率特性在所关心的频域范围内一致，可以认为两个系统是等价的，而幅频特性和相频特性可以作为动态模型是否一致的标准.图3分别给出了它们的幅频特性和相频特性曲线.

图3　混凝土辐射供冷楼板传热传递函数频率特性对比Fig.3 Comparison of frequency characteristics of transfer function of heat transfer of concrete core cooling slab

从图3中可以看出，二者之间的频率特性曲线是相当吻合的，幅值和相位延迟的最大偏差分别为0.000，000，3，W/（m2·K）和 0.000，001，rad/s.由此即可说明所建立的传递函数多项式是正确的，可用于计算混凝土辐射供冷楼板的动态传热.

2.2实验验证

本文通过搭建的实验室测得了混凝土辐射供冷楼板的稳态和非稳态实验数据，相关实验条件和对应数据参见文献［8，10］，同时利用文献［4，11］的稳态实验数据对已建立的简化模型进行验证，对比结果如下.

2.2.1稳态工况验证

将混凝土辐射供冷楼板表面热流密度和表面温度的简化模型计算值与实验值进行对比，结果如表2所示.

表2　简化模型计算值与实验值对比Tab.2 Comparison between the simplified model calculations and the experimental values

由表2可知：在对辐射供冷楼板稳态传热计算时，频域回归模型热流密度计算误差不超过 5%，表面温度计算误差均在 0.3，℃以内，模型与实验数据吻合较好，简化模型建立过程中，忽略了由于水管中水温不同导致的水管间相互传热，致使简化传热模型计算的热流密度均高于实验值.同理，表面温度的模型计算误差也由此产生.

2.2.2非稳态工况验证

本文采用供水温度和室内得热量的正弦变化作为水温和得热量的非稳态工况的输入，在两种工况下测试了混凝土辐射供冷楼板系统的热动态响应特点，并与简化传热模型计算结果比较，结果如图4和图5所示.

在以上两组非稳态工况下，混凝土楼板表面的热流密度模拟值和实验值最大相对误差为8.25%，表面温度最大误差为 0.5，℃，如表3所示，说明非稳态工况模型计算准确.非稳态工况下，简化模型计算误差较大，除了管间传热的影响外，在动态换热过程中，混凝土辐射供冷楼板的表面综合换热系数是变化的，而在简化模型计算中是按恒定值输入的，虽然幅值很小，但仍会对结果产生一定的影响.

图4　供水温度正弦变化时热流密度和表面温度实验值与简化模型计算值对比Fig.4 Comparison between the simplified model calculations and the experimental values of heat flux and surface temperature under supplying water temperature sinusoidal variation condition

图5　得热量正弦变化时热流密度和表面温度实验值与简化模型计算值对比Fig.5 Comparison between the simplified model calculations and the experimental values of heat flux and surface temperature under heat gain sinusoidal variation condition

表3　非稳态工况简化模型计算值与实验值的误差分析Tab.3 Error analysis of the simplified model calculations and the experimental values under unsteady condition

2.2.3与文献数据对比

十九大报告关于“建立全面规范透明、标准科学、约束有力的预算制度，全面实施绩效管理”的重要论述，开启了预算绩效管理的新篇章。大量财政拨款的投入要求事业单位必须主动加强资金监管，施行预算绩效管理，以绩效为导向，强调预算支出的责任和效率，关注财政资金的产出和结果，优化资源配置，提升国家财政资金的使用效率，提高预算资金使用的社会效益。

本文又将简化传热模型计算值与文献［4，11］的稳态实验结果进行对比，其对比结果如表4所示.

表4　简化模型计算值与文献［4，11］各实验值对比Tab.4 Comparison between the experimental values and the simplified model calculations in Refs. ［4，11］

由表4可知：在文献［4，11］工况下，频域回归传热模型热流密度计算误差不超过 6%，表面温度计算误差均在0.2，℃以内，模型计算精度较高.

3　工程常用结构延迟时间研究

图6　常用混凝土辐射供冷楼板室内到水侧的传热延迟时间Fig.6 Delay time of common concrete core cooling slab from the indoor to water side

从表5可以看出，对于工程中常用的埋管深度和管间距，混凝土辐射供冷楼板系统的传热延迟时间随着埋管深度和管间距的增加而增大，总体数值在 1～4，h左右，由此可对之后混凝土辐射供冷楼板系统的负荷计算和运行策略制定提供参考.

4　结　论

本文对混凝土辐射供冷系统传热特性进行了研究，通过模型分析和实验测试，得到以下结论.

（1） 利用频域回归法，在混凝土辐射供冷楼板理论频率特性基础上构造传递函数多项式以计算各项反应系数，模拟其非稳态传热过程，可以大幅简化计算工作量，且结果精度较好.通过实验数据对所建立模型的对比验证显示，两者稳态工况热流密度相对误差不超过6%，表面温度误差在0.3，℃以内；非稳态工况热流密度相对误差不超过9%，，表面温度误差在0.5，℃以内.

（2） 利用该模型对工程中常用到的不同构造尺寸的混凝土辐射供冷楼板得热转化为负荷的延迟特性进行了分析，得出其延迟时间随着管间距的增大和埋管深度的增加而增加，具体数值从1，h到4，h变化不等.符号说明：

T—温度，K；

T—拉普拉斯变换温度，K；

τ—时间，s；

Δτ—单位时间间隔，s；

ω—温度变化频率，rad/s；

s—拉普拉斯变换符；

L—拉普拉斯变换；

E，F—模型矩阵元素；

G—传递函数；

δ—留数；

X—吸热反应系数；

Y—传热反应系数.

下标：

c—核心温度层；

u—上子系统空气边界层；

w—下子系统空气边界层；

o—核心温度层系统水边界层.

［1］ Sattari S，Farhanieh B. A parametric study on radiant floor heating system performance［J］. Renewable Energy，2006，1（10）：1617-1626.

［2］ Olesen B W. Radiant floor cooling systems［J］. ASHRAE Journal，2008，50（9）：16-20.

［3］ Fort K. Floor Heating and Hypocaust Stuttgart［M］.Germany：Transsolar Nergietechnik GmbH，1999.

［4］ Jin X，Zhang X，Luo Y，et al. Numerical simulation of radiant floor cooling system：The effects of thermal resistance of pipe and water velocity on the performance［J］. Building and Environment，2010，45（11）：2545-2552.

［5］ Weber T，Jóhannesson G. An optimized RC-network for thermally activated building components［J］. Building and Environment，2005，40（1）：1-14.

［6］ Liu K X，Tian Z，Zhang C，et al. Establishment and validation of modified star-type RC model for concrete core cooling slab［J］. Energy and Buildings，2011，43（9）：2378-2384.

［7］ Strand R，Pederson C. Modeling radiant systems in an integrated heat balance based energy simulation program［J］. ASHRAE Transactions，2002，108（2）：1-9.

［8］ Tian Z，Duan B D，Niu X L，et al. Establishment and experimental validation of a dynamic heat transfer model for concrete radiant cooling slab based on reaction coefficient method［J］. Energy and Buildings，2014，82：330-340.

［9］ Wang S W，Chen Y M. Transient heat flow calculation for multilayer constructions using a frequency-domain regression method［J］. Building and Environment，2003，38（1）：45-61.

［10］ 田 喆，牛晓雷，胡振杰，等. 混凝土辐射供冷 RC简化传热模型的改进及实验验证［J］. 天津大学学报：自然科学与工程技术版，2013，46（12）：1095-1100. Tian Zhe，Niu Xiaolei，Hu Zhenjie，et al. Improvement and experimental validation of modified RC-network model for concrete core cooling slab ［J］. Journal of Tianjin University：Science and Technology，2013，46（12）：1095-1100（in Chinese）.

［11］ Holopainen R，Tuomaala P，Piippo J. Uneven gridding of thermal nodal networks in floor heating simulations［J］. Energy and Buildings，2007，39（10）：1107-1114.

［12］ 陆耀庆. 实用供热空调设计手册［M］. 2版. 北京：中国建筑工业出版社，2008.Lu Yaoqing. Practical Design Manual for Heating and Air Conditioning［M］. 2nd ed. Beijing：China Architecture and Building Press，2008（in Chinese）.

（责任编辑：田 军）

Establishment and Validation of a Dynamic Heat Transfer Model for Concrete Core Cooling Slab Based on Frequency-Domain Regression Method

Tian Zhe1，Luo Zhiming1，Zhang Changzhi2，Xiang Tianchun2，Wu Liang2，Yang Yanchun2
（1.School of Environmental Science and Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2.State Grid Tianjin Electric Power Company，Tianjin 300384，China）

Based on the identification theory and reaction coefficient method，two-dimensional dynamic heat transfer model of concrete core cooling slab is established.In this model，the thermal response factors of concrete core cooling slab are calculated by frequency-domain regression method.The model is validated with the experimental data.The errors of slab surface heat flux and surface temperature are within 6%， and 0.3，℃ respectively under steady conditions and within 9%， and 0.5，℃ respectively under unsteady conditions.The result indicates that the calculations of the model have good coincidence with the measurement.Finally，using the model，the delay time from pipe to indoor is computed which can provide reference for the load calculation and operation strategy of this system.

concrete core cooling；frequency-domain regression method；dynamic heat transfer；delay time

TU831

A

0493-2137（2016）08-0848-07

10.11784/tdxbz201506014

2015-06-04；

2015-09-15.

国家自然科学基金资助项目（51178298）.

田 喆（1975— ），男，博士，教授.

田 喆，tianzhe@tju.edu.cn.

网络出版时间：2015-11-24. 网络出版地址：http：//www.cnki.net/kcms/detail/12.1127.N.20151124.1013.008.html.