调参随机共振在超高频微弱信号检测中的应用

郝静　杜太行　江春冬　孙曙光　付超

摘要：

针对经典随机共振（SR）理论只适用于小参数，在提取高频微弱信号失效而无法使用的问题，提出一种调参随机共振检测高频率微弱信号的方法。首先，推导出双稳系统中阻尼系数与信号频率的关系，并以Kramers逃逸速率为分析手段，讨论阻尼系数变化对系统发生随机共振的影响；然后，分析了系统形状参数对系统产生随机共振现象的影响，通过联合调整阻尼系数和系统参数实现了大频率微弱信号的检测，并讨论了不同采样频率与调参系统输出频谱特性的影响，验证了该方法在低采样率下仍具有较强的稳定性；最后，以通用软件无线电设备（USRP）接收的无线电带噪信号作为系统的输入进行仿真。实验结果表明，利用该调参随机共振策略能够稳定有效地检测出强噪声背景下的超高频微弱信号，信号频率可达到MHz、GHz，拓展了随机共振原理的微弱信号检测的应用领域。

关键词：

随机共振；吸引子曲线；微弱信号检测；参数调节；Kramers逃逸速率

中图分类号：

TN911.7

文献标志码：A

Abstract：

Aiming at the problem that common nonlinear Stochastic Resonance （SR） system is subject to the restriction of small parameter and is failure to detect the high frequency weak signal， a new detection method of parametertuning SR for weak signal with high frequency was proposed. Firstly， the relationship between the damping coefficient and the signal frequency was derived in a bistable system， and by using Kramers rate for analysis， the influence of changing damping coefficient on the SR of the system was verified. Then， the influence of SR phenomenon produced by system shape parameters was deduced， the SR of high frequency weak signal was realized through adjusting the damping coefficient and the system shape parameters， and the effect of output spectrum characteristics of the system and different sampling frequency was discussed， the stability of the algorithm was verified by the results. Finally， using the received actual signals with noise as experimental research data， the experimental results show that ultrahigh frequency weak signal under strong noise background can be extracted effectively and steadily using the strategy even when the signal frequency reaches MHz and GHz. The proposed method extends the application field of SR principle of weak signal detection.

英文關键词Key words：

Stochastic Resonance （SR）； attractor curve； weak signal detection； parametertuning； Kramers rate

0引言

随着通信技术的发展，无线电电磁环境日益拥挤与复杂，无线电频率资源检测和管理工作变得尤为重要。由于无线电信号的特点，从强噪声背景中提取有用信号成为无线电检测领域重要的研究范畴[1]。

微弱信号检测的常规方法有时域相关法、窄带滤波、取样积分、相关检测、三重相关匹配和频域的谱分析方法等。这些方法主要通过去除和抑制噪声来实现信号检测，但在去除噪声的同时对信号本身也造成了损失[2-4]。

随机共振（Stochastic Resonance， SR）最早是在1981年由意大利的Benzi等 [5]在研究古气象冰川问题时提出的，该方法将噪声转废为宝，由消噪变为用噪，使得系统中的微弱信号在噪声的“助推”作用下能量得到增强。方法一经提出，便引起了国内外学者们的兴趣，其在信号处理方面的应用成果很多[6-9]，但随机共振的研究成果大多源于随机共振的绝热近

似理论[10]或线性响应理论[11]，这就使得该方法只能处理小参数信号，即信号的幅度、频率以及噪声的强度远远小于1。

在工程的应用中，大参数信号的处理有着现实且重要的意义，针对经典随机共振理论对大参数信号失效而无法使用的问题，对于大参数随机共振的研究引起了学者的重视。文献[12]通过采用粒子群算法的自适应步长随机共振突破经典随机共振对小参数的限制，但如何对系统形状参数和计算步长进行自适应全局优化，仍是一个难题。文献[13-14]采用二次采样的方法来检测高频信号，但采样频率不能严格大于信号频率的50倍，则二次采样随机共振就有可能失效。文献[15]提出了移频变尺度随机共振技术，可以将有用大参数信号从强噪声背景中分离出来，但当信号的信噪比低于-30dB时，该方法将不能识别强噪声中的有用特征信息，而在实际对无线电进行检测时，无线电信号的频带相当宽，采样选取过大，对硬件的要求较高，而且信噪比低于-30dB的信号也极为常见，这就限制了随机共振方法在高频无线电微弱信号检测中的应用，如何将随机共振方法应用于无线电号检测领域是一个意义重大的研究课题。

文献[16]从一个全新的角度来研究随机共振现象发生的内在机理，以随机共振系统非线性动力学行为为切入点，基于吸引子曲线研究了系统中各个参数对系统输出的影响，为基于吸引子曲线的“调参数”随机共振研究提供了分析基础，对中高频的微弱信号检测提供了新的途径和依据。

基于此，本文提出了一种检测高频率微弱信号的调参随机共振方法，并提出以Kramers逃逸速率为分析手段，将基于吸引子曲线的随机共振与经典随机共振契合，完善了系统参数变化对随机共振影响的结论，最后将该方法应用到超高频无线电微弱信号检测领域。

1基于吸引子曲线的随机共振系统

取激励信号A sin（2πf0t）得到的一阶非线性Duffing方程为：

k=ax-bx3+A sin（2πf0t）（1）

其中：k为阻尼系数；a、b为非线性双稳态系统的形状参数，且均大于零。

假定激励信号周期足够长，可得到系统随激励变化的吸引子曲线，如图1所示。

对图1中的特征点进行定义，B、E点的纵坐标值对应于随机共振系统中的跃迁阈值，用σyq表示；点A处的斜率用KA表示；A和A′两点的距离为动点跃迁宽度，用lyq表示。由吸引子曲线方程可知：

σyq=4a327b

KA=2a

lyq=2a/b （2）

基于吸引子曲线的随机共振理论分析发现：在无噪的情况下，当激励值大于跃迁阈值时，系统的自身状态将在双稳态和单稳态之间突变；在有噪的情况下，即使激励值小于跃迁阈值，系统的状态也会发生突变。换言之，系统会发生“跃迁”，出现随机共振的现象，同时，这种“跃迁”也就预示着对输入信号进行了非线性的放大处理。该理论在文献[16]中已经详细论述，本文限于篇幅不再赘述。

2基于吸引子曲线的超高频随机共振调参

若要使系统发生随机共振，信号、噪声和非线性系统需要实现较优的匹配。在实际检测中，信号和噪声一旦确定，不容改变，只能通过改变吸引子曲线的形态使系统更好地发生跃迁，凸显出信号特征，而吸引子曲线的特征是由系统参数a、b所决定。因此发生随机共振，达到最优输出信噪比的核心是系统参数的合理匹配。

本章提出通过调整阻尼系数k，实现对超高频信号的检测，并且以Kramers逃逸速率为分析手段，深入研究阻尼系数的变化对系统随机共振的影响，然后通过调整系数a、b，使超高频信号、噪声和非线性系统实现最优的匹配。此外在实际应用中，采样率的选取是至关重要的环节，因此本章最后分析了不同采样率下调参随机共振的特性。

2.1调节阻尼参数

在式（1）所示的Duffing系统方程中加入加性噪声，本文以白噪声为例，得到随机共振系统的方程为：

k=ax-bx3+A sin（2πf0t）+n（t）（3）

其中：n（t）是噪聲强度为D的高斯白噪声，其均值E[n（t）]=0，E[n（t）n（t-τ）]=2Dσ（τ）。

令t=λτ，即x（t）=x（λτ），则：

dτdt=1λ（4）

又令x（t）=z（τ），则：

（t）=dx（t）dt=dz（τ）dt=dz（τ）dτdτdt=1λdz（τ）dτ=1λ（τ）（5）

将式（3）中含t的项均以τ来表示，得：

k′dz（τ）dτ=a·z（τ）-b·z（τ）3+A sin（2πλf0τ）+n（λτ）； k′=k/λ（6）

不难理解，将频率为f0的低频信号输入到式（3）所表示的系统，另有一同幅值、频率为λf0的高频信号，若想要获得与频率为f0信号相同幅值的输出，则需要将阻尼系数变为原来的1/λ倍。式（6）其他参数保持不变，仅仅改变了频率、时间尺度和阻尼系数，作为白噪声，在频域的整个频率范围上均为一个恒定的分量，频域上任意的压缩或者拉伸都不能改变噪声的强度，因此n（λτ）仍是均值为0、强度为D的白噪声。

因此，可以根据待检信号的频率选取合适的阻尼系数匹配，若检测的信号频率较大时，则需要匹配较小的阻尼系数；反之，则应将阻尼系数相应地增大，并满足如表1所示的关系。

2.2调节系统形状参数

系统形状参数a、b共同决定了系统吸引子曲线的形态，曲线属性将联合决定随机共振系统输出的性质。

1）适当地减少跃迁阈值，较小的输入信号幅值也可能发生跃迁，实现共振。

2）改变跃迁宽度，较小幅值的输入信号可能获得较大的跃迁输出。

3）根据映射关系，斜率过大即使增大系统输入信号的幅值，其输出增量也不明显，即所谓的“输出饱和”现象；反之，则为“输出释放”。

由式（2）出发，以固定b单独调整a为例分析：增大a，跃迁阈值和跃迁宽度同时增加，但跃迁宽度是以发生跃迁为前提，跃迁阈值的增大不易于系统发生跃迁，这是一对矛盾体，同时增大a会导致斜率的增大，将直接加大发生“输出饱和”，加剧输出畸形的风险；反之，减小a，虽然减小了跃迁阈值，易

于系统发生跃迁，但跃迁宽度也随之减小，同时斜率的减小会使“输出释放”的现象得到增强，产生伪随机共振的现象。故而不能单纯地调整某一系数，应该合理统筹跃迁阈值和跃迁宽度的大小，同时调整参数a和b才能实现随机共振。

本文采用固定跃迁宽度，调整跃迁阈值实现随机共振。设保持跃迁宽度为常数c，即：

lyq=2a/b≡c （常数）（14）

将式（14）代入式（2）中的跃迁阈值σyq可得：

σyq=bc3123（15）

由跃迁宽度的表达式不难看出，固定跃迁宽度，即系数a、b同比例变化，在此前提下，系数b降低，跃迁阈值亦减小。

下面通过一组参数，进行系统仿真来加以说明。

以条件（16）为基准的待测信号，由图5可知，较优的跃迁阈值大致在[0.15，0.3]范围内。当跃迁阈值较大时，系统未能发生随机共振，逐渐减小阈值，能够使系统逐步过渡到稳定跃迁状态；随着跃迁阈值的继续减小，输入信号中部分干扰信号参与导致随机跃迁，影响系统输出的周期性，故同频信号的幅值有所减小，但它仍然以与检测信号同频为主；进一步减小阈值，参数a非常小，导致斜率无限小，势必触发输出释放现象，影响信号检测的准确性。因此，系统发生随机共振需要满足待测有用微弱信号的幅值A与跃迁阈值σyq相比不能相差太大，否则尽管在噪声的助推下仍然不能产生稳定的跃迁。

2.3信号频率与采样率比值对系统输出特性的影响

以A=0.05，信号频率为f0=100Hz，噪声强度D=2.5，lyq=1，σyq=0.06为参数，令采样频率与信号频率的比值为Q=fs/f0，固定信号f0，调整Q值相当于取不同的采样频率。选取Q的取值范围为[4，500]，其步长变化ΔQ为4，根据2.1～2.2节，确定系统的最优阻尼系数为0.0015，形状参数a=0.31，b=1.22，对式（6）进行数值计算，得到不同Q值（或不同采样频率）时在同参数条件下输出频谱频率f=f0处的谱峰值Am，为了更加充分体现调参方法的稳定性，将待测信号特征和系统参数条件保持不变，利用二次采样对信号进行检测，两种方法的检测结果如图6所示。

从图6可看出，随着采样率与信号频率【比值Q的增大（采样率增大），当Q取值较大时，两种方法在与信号同频处的幅值变化均较为稳定，伴随Q值的逐渐增大，频谱值有了较为明显的提高，且在某些离散频率点处出现较大值，但Q取值范围为[4，80]时，二次采样方法出现了快速的动荡。

从图6可看出，当Q取值较大（即信号采样率较大）时，两种方法在与信号同频处幅值的变化较为稳定，同时随着Q值的逐渐增大，频谱值有了较为明显的提高，且在某些离散频率点处出现最大值，但当Q取值范围为[4，80]时，二次采样方法出现了快速的动荡。

为了更好地反映出待测信号在输出频谱图上的可辨识度，将信号同频谱值Am与除去Am后其余谱值中最大的谱值A′m 作比较，定义辨识度R = Am /A′m ，显然比值R越大，则信号的辨识度越高。更加直观一点，规定当 R>1.1时，代表信号可辨识，用1表示，反之-1为信号不可辨识。两种方法的检测结果如图7所示。

由图7能够更加直观地得出，当Q取值较小时，利用二次采样方法特征信号的可识别性会随Q的变化而起伏波动，

相对于调参方法识别的稳定性较弱。因此，利用2.1～2.2节调参随机共振的方法，选取较低的采样率也能实现高频信号的检测，这对实际工程中的检测有很大的意义，检测时可根据待测信号的估值，选择合适的采样率，但若条件允许，尽量选取较大的采样频率，以便获取增大系统输出的频谱峰值，提高信号的可辨识度。

3调参随机共振在高频信号检测中的应用

3.1调参高频无线电微弱信号检测策略

在2.1～2.2节里已经分析了阻尼系数随待检信号频率变化的尺度变换方法，在对大参数微弱信号进行检测时，可选择较小的阻尼系数来将有用信号“保存”下来；同时，系统形状参数对系统发生最优随机共振发挥了举足轻重的作用。因此，在对高频、超高频微弱信号检测时，通过联合调整阻尼系数和系统形状参数来实现随机共振。

在实际检测中，不知待测信号的频率，信号经双稳非线性系统后，输出发生畸形，从输出的时域图中亦不能直观得出信号的周期性，且不排除发生一次偶然跃迁的可能，故仅通过一组系统参数所得的输出信号频谱图中的检测信息，并不能保证待测信号频率的准确性。因此，本文摒弃了对可调参数单一取值的惯例，衍变成在某一范围内依次间隔取值，通过在阻尼取值范围内，对选取的阻尼系数通过均匀间隔在跃迁阈值区间调整阈值大小，若连续检测出最大幅值出现在同一频率处，则认定此为待测微弱信号的频率。

结合待检无线电微弱信号频率高、信噪比低的特性，总结出检测超高频无线电微弱信号的检测策略：

1）估计待测微弱信号频率的大概范围，根据2.1节的阻尼调整策略，确定最优阻尼系数，依据此最优系数设定阻尼系数k的调整范围。

2）根据2.2节选取跃迁阈值范围，依据取值间隔，在阻尼系数范围内顺序依次取值，固定此次选取的阻尼系数值，在跃迁阈值范围内，顺序取一个跃迁阈值，由式（14）～（15）适当调整确定系统形状参数a和b。

3）由确定的系统参数构建双稳非线性随机共振系统，代入式（6）采用四阶RungeKutta算法进行数值计算。

4）觀察输出信号是否发生跃迁，若发生跃迁，则将输出信号频谱图中最大幅值对应的频率值进行记录；否则，继续在阈值范围取值，直至在整个设定阈值范围内取值完毕。

5）若在整个跃迁阈值范围内取值完毕，则跳转2），固定新的阻尼系数，重复步骤3）、4）。

6）整理跃迁结果记录表，判断待测微弱信号的频率。

3.2超高频无线电微弱信号检测实例

通用软件无线电外设 （Universal Software Radio Peripheral， USRP）将PC连接到了RF世界，能够完成无线电信号的发射和接收、数模和模数转化、信号的上下变频等功能。本文采用USRP B200，包括一个发射通道和接收通道，其能覆盖70MHz～6GHz的频带范围。

用信号发生器发射一个未经调制的正弦信号，在接收和传输过程中信号受到噪声的污染，故USRP B200接收到一含噪信号sn（t）=Asin（2πf0t）+n（t），其中周期信号幅值A=0.05，信号频率为f0=400MHz，采样频率为50f0，n（t）是强度为3的高斯白噪声。输入信噪比SNR =-36.8dB（文中信噪比的定义为SNR=10 lgA24D）。将接收到的采样数据保存，基于Matlab 2012a软件环境进行处理，该输入信号和频谱图如图8所示。由图8可以看出，周期信号特别微弱，完全淹没在噪声中。

若要檢测微弱无线电信号，首先估计待测微弱信号的频率，确定信号频率f′0 =0.1Hz时，最优的阻尼系数k′0=0.96，根据2.1节的阻尼调整策略，确定待测微弱信号最优阻尼系数k0 = k′0×（f′0/f0 ）=2.4×10-10，以阻尼系数k0和跃迁阈值σyq=0.05为例，固定跃迁宽度lyq=4，由式（2）计算出：a=0.07，b=0.0175，仿真得到系统输出的信号时频域图，如图9所示。

从图9频谱图中可知，在400MHz处有明显的峰值，但从输出时域图中却不能直观看出信号的周期性，因此，不能盲目判断信号的频率，需要进一步分析。

按照3.1节中高频无线电微弱信号检测策略，选取阻尼值范围[1.8×10-10，3.2×10-10]，间隔选择0.2×10-10，调节跃迁阈值范围[0.001，0.2]，以间隔0.002的方法观察输出是否发生持续稳定跃迁，即连续检测出最大幅值出现在同一频率处。同样以阻尼系数为2.4×10-10，固定跃迁宽度lyq=4为例，选取其中几组系统输出信号时域频域图，如图10～15所示。

由这一组图可看出，固定阻尼系数不变，随着跃迁阈值的增大，系统发生了“未发生跃迁—发生跃迁—未发生跃迁”现象，当跃迁阈值较小时，噪声影响了系统输出的周期性，系统未发生跃迁，如图10所示；图11为发生的一次偶然跃迁；阈值逐渐增大，输入信号中的周期信号在噪声的助推下成为主导，系统逐步过渡到稳定跃迁状态，如图12～14所示，同时从时域图中，可看出跃迁宽度始终保持不变；随着跃迁阈值的继续增大，输入信号的幅值与跃迁阈值相差太多，系统未能发生跃迁，如图15所示。

将对应系统的跃迁过程稳定状态以及输出信号频率记录下来，得到仿真检测结果如表2所示。

该检测结果表明：当选取较小的阻尼值时，噪声诱发的随机跃迁占据了主导因素，使得有效信号的推送作用不够明显，在选定的跃迁阈值调整区间内未能观察到有效的稳定跃迁输出过程，即检测到的最大幅值没有连续出现在同一频率上；随着阻尼逐渐增大，噪声的干扰作用有所削弱，有效信号的推送

作用逐渐显现，故有一段较为连续和有效的稳定跃迁过程，且都一致地以同频有效信号表现出来；然而随着阻尼继续增大，原信号被滤波的同时，其中的待测信号也有所削弱，导致稳定跃迁过程很短，不能连续出现跃迁。通过分析，最终可以确定待检微弱信号的频率为400MHz。

4结语

从强噪声背景中检测微弱无线电信号，一直是无线电监测中亟待解决的难题，而利用随机共振算法检测无线电微弱信号是一个新兴的研究方向。本文以 Duffing方程吸引子曲线的理论为分析基础，分析阻尼系数与系统形状参数对大参数周期信号产生随机共振现象的影响，提出了一种基于吸引子曲线的调参随机共振检测大频率微弱信号的检测方法，并将此调参方法应用到超高频无线电微弱信号的检测领域中，结合超高频无线电微弱信号的特征，有针对性地总结出检测此类信号的调参策略。此外，本文还分析了不同采样频率下调参随机共振系统输出的频谱特性，验证了本文提出的调参方法在低采样率的情况下仍具有较强的稳定性，为今后调参随机共振在实际工程检测中的应用提供了依据。如何将该调参方法推广应用于多频无线电信号检测是下一步研究的方向。

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