仿射坐标在高中数学解题中的应用

杨新鹏

[摘 要] 高中阶段的几何题，往往采用的是建立直角坐标系，将几何问题转化为代数问题来解决，但是由于直角坐标系的特殊性，并非所有的题目都容易建立直角坐标系，仿射坐标系在建系上比较灵活，而且学生容易掌握.

[关键词] 仿射坐标系；直角坐标系；高中数学解题

高中阶段的平面几何和立体几何题，往往采用的是建立直角坐标系，将几何问题转化为代数问题来解决，但是由于直角坐标系的特殊性，并非所有的题目都容易建立直角坐标系，仿射坐标系在建系上比较容易，而且学生容易掌握. 在某些题中运用仿射标系可以给运算带来简便.

仿射坐标系：

平面内任意给定一点O和两个不共线的向量e1，e2，则任意一个向量都可以表示成e1，e2的线性组合，=xe1+ye2，则把e1，e2称为平面内的一组基，则有序数组（x，y）称为m在仿射坐标系[O；e1，e2]中的坐标，类似地可以定义空间中的仿射坐标.

易知：当e1，e2（e1，e2，e3）为两两垂直的单位向量时，仿射坐标系变为直角坐标系，仿射坐标系具有以下性质：

（1）？摇仿射坐标系中向量坐标的加减运算、数乘运算、线性表示与直角坐标系保持一致，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标.

（2）？摇在仿射坐标系中共线向量的判别条件与直角坐标系保持一致，即对应坐标成比例.

（3）？摇在仿射坐标系中线段的定比分点公式与直角坐标系保持一致.

证明：向量的运算法则在射影坐标系下保持不变，由向量坐标的运算、共线向量的性质，易知结论（1）（2）（3）成立，由（3）可知，射影坐标系可以解决等分点问题.

例1 在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=________.

解：如图2所示，建立仿射坐标系，设

A（0，0），B（b，0），C（0，c），则M0，c，Nb，c，？摇？摇？摇

=b+-c，x=，y=-.

例2 平面内给定两个向量，已知a=（3，2），b=（2，9），若满足（a+4b）∥（-3a-kb），则求k的值.

解：因为a=（3，2），b=（2，9）两向量不共线，所以以a和b为基底的单位向量建立平面方射坐标系，则（a+4b）=（1，4），（-3a-kb）=（-3，-k）.？摇

因为（a+4b）∥（-3a-kb），所以1×（-k）=4×（-3），即k=12.

例3 证明：四面体对棱中点的连线交于一点.？摇

证明：如图3，四面体A-BCD中，E，F，G，H，M，N为棱的中点，取空间仿射坐标系，则各点坐标分别为： E，0，0，F0，，，G，，0，H0，0，，N0，，0，M，0，.

设EF与GH交于一点O（x，y，z），设=λ1，=λ2，

由定比分点公式可得：x==，y==，

z==.

解得：λ1=λ2=1. 所以O，，. 设EF与MN交于点O′（x′，y′，z′），同理可得O′，，，所以四面体对棱中点的连线交于一点.

（4）仿射坐标系中的直线方程可用两点式、截距式.

证明：如图4，在仿射坐标系[O；，]中，设C（x1，y1），D（x2，y2），E（x，y）为直线上任意一点，因为C，D，E三点共线，所以有=λ，即（x-x1，y-y1）=λ（x2-x1，y2-y1），

有x-x1=λ（x2-x1），y-y1=λ（y1-y1），所以=（x2≠x1，y2≠y1），

当（x2=x1，y2=y1）时，方程为x=x1或y=y1，如图5.

截距式证明与以上类似，如图6.

例4 证明三角形三边的中线交于一点.

证明：如图7在△ABC中，E，F，G分别为三边的中点，

以A为原点，建立仿射坐标系[A；AB，AC]，

则A（0，0），B（1，0），C（0，1），E，0，F0，，G，，

所以直线AG，BF，CE的方程为：y=x，y=-x+，y=-2x+1.

可以得到AG与BF的交点为：，，BF与CE的交点为，，所以直线AG，BF，CE交于一点.

（5）仿射坐标系下向量的乘法和距离表示.？摇

证明：在仿射坐标系下，设向量a，b的坐标分别为（a1，a2），（b1，b2） ，则a·b=（a1e1+a2e2）·（b1e1+b2e2）

=a1b1e1·e1+a1b2e1·e2+a2b1e2·e1+a2b2e2·e2，

同理在空间仿射坐标系下：

a·b=（a1e1+a2e2+a3e3）·（b1e1+b2e2+b3e3）

=a1b1e1·e1+a1b2e1·e2+a1b3e1·e3+a2b1e2·e1+a2b2e2·e2+a2b3e2·e3+a3b1e3·e1+a3b2e3·e2+a3b3e3·e3.

由此可得到向量在仿射坐标系下模表示：a== ，

a== ，

因此有两点之间的距离公式：=-=（x2-x1，y2-y1），

=，

或

=

在具体的题目中，如果将每组基的模取为1，由a·b=a1b1+a2b2+a3b3+（a1b2+a2b1）cosθ1，2+（a1b3+a3b1）cosθ1，3+（a2b3+a3b2）cosθ3，2

则（1）（2）（3）（4）可以简化为：？摇

a==？摇（1*）

a==？摇

（2*）

AB=？摇（3*）

AB=

？摇（4*）

易见：当基两两垂直，且模为1时，以上表达式与直角坐标系一致. 所以当坐标系不是标准直角坐标系时，只要知道坐标轴之间的夹角，就可以建立仿射坐标系，解决距离、夹角、证明垂直等问题.

例5 三棱锥中A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________.

证明：以C为原点建立仿射坐标系[C；，，]，则C（0，0，0），D（3，0，0），A（0，0，3），B（0，2，0），

所以N（0，1，0），M，0，，=（0，1，-3），=，0，.

由AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，得到cos∠ACD=，

cos∠ACB=，cos∠BCD=，所以由（4*）式：

==2，

==2，

所以cosθ===.

仿射坐标系作为比直角坐标系更一般的坐标系，使用相对灵活，可以简化一些题目的运算，在高中阶段，平面向量的基本定理中已经引入基底的概念，故学生学习仿射坐标的难度不大，学有余力的学生可以学习仿射坐标系，其使用关键在于基底的选取，选取恰当的坐标系，可以起到事半功倍的效果.