基于不动点求解递推数列问题的本源探索

庞梅

[摘 要] 本文首先借用直线y=x从几何角度对等差、等比数列下定义，然后在此基础上就“不动点求解递推数列y=x相关问题”之思维本源做了系列探索，实现了追根索源，得到了重要结论，对递推数列的教学有一定的指导作用.

[关键词] 不动点；递推数列；本源探索

在高中数列的教学中常借用不动点来求解递推数列问题，学生就其思维本源会提出许多疑问. 对此，笔者想以an+1=（c≠0，ad-bc≠0）n∈N+为例就借不动点求解递推数列问题之思维本源做一些探索，以期能解答学生的疑惑，启发师生对此类问题的再思考.

用直线y=x定义等差数列和等比数列是不动点求解递推数列问题之奠基石

1. 借用直线y=x定义等差数列

定义1：由等差数列递推式an+1=an+d（n∈N+，常数d∈R）可知，点P（an，an+1）是分布在直线y=x+d上的一组点，于是借用y=x可得等差数列的几何定义：当n∈N+时，如果点（an，an+1）分布在与y=x平行或重合的直线上，则数列{an}（n∈N+）是等差数列，其公差d为该直线在y轴上的截距.

2. 借用直线y=x定义等比数列

定义2：由递推式an+1=qan（n∈N+常数q≠0）可知，P（an，an+1）是分布在直线y=qx（q∈R且q≠0）上的一组点，此时可得等比数列的几何定义：当n∈N+时，如果点（an，an+1）是分布在与y=x重合或与之相交于直角坐标系原点的直线（不含x轴和y轴）上，则该数列{an}是等比数列，公比q（q≠0）为该直线的斜率.

3. 提出问题

从上面等差数列和等比数列的几何定义可以看出，当P（an，an+1）（n∈N+）分布在直线y=x上时，数列{an}既是等差数列，又是等比数列；当P（an，an+1）是分布与直线y=x平行的直线y=x+d（d≠0）上时，数列{an}是非等比的等差数列；当P（an，an+1）是分布与y=x相交于坐标原点的直线y=qx（q∈R且q≠0，1）上时，数列{an}是非等差的等比数列. 于是我们联想到如果一个递推数列抽象出的函数与y=x有交点，即：该递推数列抽象出的函数如果存在不动点，是否可以将这个递推数列转化为与之关联的等比或等差数列呢？

基于不动点求解递推式an+1=（c≠0，ad-bc≠0）n∈N+相关问题的本源探索

1. 如果由an+1=（c≠0，ad-bc≠0）n∈N+抽象出的一次分函数f（x）=（c≠0，ad-bc≠0）有两个相异不动点α，β，则该递推式可变形为与这两个不动点相关联的等比数列.

（1）联想寻路：设一次分函数f（x）=（c≠0，ad-bc≠0）有两个相异不动点α，β，则过P1（α，α），P2（β，β）两点的直线y=x的方程可变形为：y-α=x-α 或 y-β=x-β或=（x≠α且y≠α）或=（x≠β且y≠β）或=（x≠β且y≠β）等.

在此基础上根据和中定义1和定义2联想到：

要使一次分函数y=（c≠0，ad-bc≠0），既要与y=x有联系，又要与两个相异不动点α，β相关联，于是我们猜想：

f（x）=是否可以转化为：=+d（d为定值，x≠β且y≠β），或转化为：=q· （q≠0，为定值，x≠β且y≠β）型呢？再由P1（α，α），P2（β，β）是y=图象上的两个定点以及f（x）上不同于P1，P2的任意一点P（x，y）这些已知条件构造出含有和（x≠β且y≠β），或含有它们倒数的式子就成了我们当前的最近目标，然后再步步探证得出结论的正确性.

（2）探究推证：

①当P（x，y）与点P1，P2都不重合时，证明过程如下：

记直线PP1的斜率为kPP1、直线PP2的斜率为kPP2，

则直线PP1和直线PP2点斜式方程分别为：

y-α=kPP1（x-α）和y-β=kPP2（x-β），

两式相除得：=·.

猜想：=定值吗？

下证=定值.

因为f（x）有两个相异不动点α，β，

所以α，β都满足方程x=，

将α，β分别代入整理得：

cα2+（d-a）α-b=0？圯b-dα=（cα-a）α，

cβ2+（d-a）β-b=0？圯b-dβ=（cβ-a）β.

又因为P（x，y）既是直线PP1上的动点，又是一次分函数y=上的动点，

所以kPP1===

==

==，

同理可得：kPP2=.

所以===定值，？摇？摇

=·.

②当P（x，y）与P1（α，α），P2（β，β）中的某一点重合时，证明过程如下：

不妨设点P与P1（α，α）重合，则kPP2=kP1P2==1，

？摇则kPP1=kP1=f′（x）x=α.

？摇？摇？摇？摇？摇？摇由f（x）=？圯f′（x）==.

又因为f（x）有两个相异不动点α，β，

所以α，β是方程cx2+（d-a）x-b=0两不等根，由韦达定理得：

所以α+β=-，αβ=-？圯d=a-c（α+β），b=-cαβ.

所以f′（x）x=α==

==，

所以==定值.

当P和P2（β，β）重合时， 同理可得：kPP2=kP2=f′（x）x=β=，

此时依然有==定值成立.

综合（1）（2）可知：当P1（α，α），P2（β，β）是f（x）=（c≠0，ad-bc≠0）图象上的两个定点，P（x，y）是f（x）上任意一点时，一次分函数f（x）=总可以变形为=，即=·，于是将点（an，an+1）代入上式得：=，即=·.

③重要结论：当一次分函数f（x）=（c≠0，ad-bc≠0）有两个相异不动点α，β，递推数列an+1=（c≠0，ad-bc≠0）总可变形为=·，所以数列是首项为，公比为=的等比数列（其中是在令P1（α，α），P2（β，β）且P（x，y）为f（x）上任一点时，直线PP1和直线PP2的斜率的比值）.

④实例分析：设数列{an}满足a1=2，an+1=，求an.

解：由an+1=可知：点M（an，an+1）是一次分函数y=上的点，可求得该函数y=的两个不动点为α=1和β= -2，则可设该函数图象与直线y=x的两个交点为P1（1，1）和P2（-2，-2）. 设P（x，y）是函数y=上任意一点，则由重要结论知：y=可变形为=·，其中=定值.

可由以下两种方式求出的值.

方式（1）是利用公式=直接计算可得==；

方式（2）是由点P（x，y）的任意性，可先选择其中一个不同于P1和P2的特殊点P，再计算出的值，从而求得=. 在此题中不妨取特殊点为P00，，从而求得kP0P1=，kP0P2=，所以==.

于是y=可变形为=·，

将M（an，an+1）点代入得：=·，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以=·=·，

解得an===1+.

2. 如果由an+1=（c≠0，ad-bc≠0）n∈N+抽象出的一次分函数f（x）=（c≠0，ad-bc≠0）有唯一不动点α，则该递推式可变形为与这个不动点相关联的等差数列.

（1）联想探路： 若f（x）有唯一不动点α，则直线y=x过点P1（α，α）的点斜式方程为y-α=x-α，两边求倒数得=，以此联想能否将一次分函数y=转化为=+D（D为定值），或转化为=q·（q为定值）呢？

于是将函数式y=整理变化成与（x-α）和（y-α）有关或与它们的倒数有关的式子成了当前的最近目标，然后再步步探证得出结论的正确性.

（2）探究推证：

？摇？摇由y=？圯y-α=-α？圯

？摇y-α=，

将此式两边求倒数得：==，

猜想：=+D（D为定值）成立吗？

于是将上式左边分式的分母化简为含有（x-α）的式子就成了我们化简整理的方向.

因为α是cx2+（d-a）x-b=0的唯一解，

所以Δ=（d-a）2+4bc=0，α+α=， ？圯b=-，c=？圯cα=？圯a-cα= ？圯b= -？圯b-dα=-.

于是：

=

=

=2·

=+·.

下证： =1.

因为c=？圯α=，

所以===1.

所以=+，此时：D==常数，

所以y=？圳=+.

（3）重要结论：如果由递推数列an+1=抽象出来的一次分函数f（x）=有唯一不动点α，则an+1=可变形为=+，从而可推得数列是首项为且公差D=的等差数列.？摇？摇？摇

（4）实例分析：设数列{an}满足a1=2，an+1=，求an.

解：由an+1=可知，点M（an，an+1）是一次分函数y=上的点，又求得该函数有唯一不动点x=1，则递推式an+1=可转化为：=+，所以数列是首相为=1，公差为的等差数列，所以=1+（n-1），从而求得：an=（n∈N+）.