数学建模思想之2016年数学高考乙卷解析几何分析与展望*

广州市执信中学（510080） 卢光



数学建模思想之2016年数学高考乙卷解析几何分析与展望*

广州市执信中学（510080） 卢光

广东省高考今年使用全国卷进行人才选拔，对于广东考生而言，使用全国卷意味着机遇，也意味着教育教学改革的进一步深化，对高考数学乙卷就需要一个全面的剖析与解读，本文从高考数学乙卷的解析几何主观题用数学建模的思想进行研究分析，并展望2017年高考在数学改革上我们要做出怎样的努力.

一.全国卷与以往广东卷解析几何主观题的对比

1.2016全国数学I解析几何考题

数学I卷文科第20题（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，直线l∶y=t（t̸=0）交y轴于点M，交抛物线C∶y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON，并延长交C于点H.

（II）除H以外，直线NH与C是否有其它公共点？并说明理由.

图1　

数学I卷理科地20题（本小题满分12分）设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹方程为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，求过B且与l垂直的直线与圆交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

2.知识内容与技巧方法分析

（1）主要考察内容全国卷与以往广东卷在解析几何的内容考察上基本一致，可以从考察的模型角度来看，主要有分类讨论模型、数形结合模型、参数模型、最值模型、函数模型、不等式模型、平面几何模型、解析几何特殊性模型、归纳模型等等.

（2）考察的描述方式（侧重点）纵观高考题，不难发现解析几何题悄然成了许多省份的压轴题之一.解析几何横跨代数和几何，很大程度上考察了学生的思维和运算能力.解析几何是用代数方法研究几何图形的一门学科，因此它的基本特征就是数形结合.基本方法是建立方程（组），通过方程来研究几何性质.因此从几何入手，从代数着力，是它的基本方向.建立方程，解方程，就需要做好引参，用参，消参工作.解析几何解题思路或从几何关系入手，或把几何关系坐标化，方程化，从代数入手.广东卷中解析几何主观题中大多以数的模型入手，而全国卷的解析几何更多是平面图形模型的入手形式，在描述方式上也存在差异，对广东学生而言，较为熟悉的是广东卷的入手模式，对于图形的复杂度描述的方式会对其思考造成一定的困难.

3.难易程度与运算强度分析

从技巧方式上来看，广东卷与全国卷存在差异，广东卷解析几何题中方向的选择清晰，对图形的描述简单，容易匹配相应的数学模型进行建模，但运算强度较大，在建模过程中运算细节对应模型的处理较难，绝大多数学生总会在数据处理上遇到过不去的坎.相对今年全国卷而言，更侧重于思维的跳跃和思考，对图形的描述复杂，图形模型的抽象程度要高，从学生的角度来看，通过图形观察，寻找量与量之间关系的思维强度增加，对模型的抽象度要求更高，因此模型的匹配要经历思维跳跃的过程，不太容易入手，但从过程来看，结构化与模型化的思想得到进一步体现，相对广东卷而言运算量略少.

二.解析几何题目对考生的能力要求

1.强调数形结合能力从评分标准中的给分点，我们看出在解析几何上非常注重思维逻辑方向与模型化思想和特殊性模型匹配，强调运算的精确性与思维品质.把常规的方法与数学模型巧妙地体现在数学思想上，把解析几何的本质体现得淋漓尽致，例在文科第一问的引参，用参，消参上的数的应用，理科第一问强调了数服务于形，体现了形缺了数就少精确，数没有形则无直观.通过数的精确运算使得逻辑非常通达.文科与理科第二问在第一问的基础上强化了数的重要性，强调了用数来解决形的问题，同时也强调了数的灵活性的数学思想.

2.从出现的错误看考生的能力的缺失以下是分别对文科和理科各自抽取500份和800份问题答卷进行的典型错误统计，其中抽样试卷的第20题的得分均在1—11分之间.

文科考生的典型错误统计

理科考生的典型错误统计

从此数据来看，可以归纳出在解析几何上有这么几类问题：

（1）公式、概念不熟悉，表现为点的坐标弄反了，直线的截距式出错等

（2）时间不够导致的失误率增加，例抄错数、忘开方等

（3）运算能力不足，在大方向准确的前提下出现运算错误比比皆是.

（5）模型对应匹配错误，例：图像表述的模型与数的模型对应不上

?

（6）缺乏严密的逻辑思维，表现为理科中没有关注到y̸=0的情况和对斜率存在与否进行分类讨论.

（7）阅读理解问题的困难.表现在读题后，一是找不到入手的点，二是不理解表述的问题与研究解决的问题.

3.每种方法对学生建模思想的考察，对思维生成性性质的动态考察

对于文理科的解析几何而言，此次的题目出得非常好，相应从各个角度出发都有相应的方法和模型解决这个问题，而且思维的强度上基本一致，有利于考察学生思维的多样性，有利于考察学生在学习过程中的思维品质.

从整体思维来看，文科考察的是从数入形，用解析几何的基本方向与基本方法解决此建模过程，所使用的模型是数形结合的模型，侧重于数描述形的方式，第一问中使用的是用参数表示点，表示线，通过消元消参建模过程使得问题得以解决，第二问中，直接匹配了含参的方程模型对问题进行建模，以平时常规的方法求解问题.

对于理科，第一问是平面几何模型的应用，通过平面几何的知识对问题进行入手，从稍稍复杂的图形中去发现线段与线段的关系进行模型建构去求解比值问题，学生在研究学习解析几何模型时较少通过这种方式解决问题，因此在模型触发和匹配上无法快速应用分析，从思维方式上看对学生的抽象、分析、观察、归纳能力有很好的导向与促进作用，反映出理科数学对学生要求的灵活性，主要体现在分析匹配模型上.强化了对概念定义的理解应用考察.第二问主要是在第一问的基础上进一步强化数表示形的功能，强调学生在此问解决问题的过程中思维的生成性，主要体现在用数表示形过程中方向的精准匹配和选择，在考试的情境下快速找准运算的方向与运算变形的精度.

4.广东卷与全国卷在解析几何上从两个方面对学生的能力提出要求

解析几何对学生数形结合的要求高，希望学生可以通过形的直观，抽象出量与量之间的关系，也希望学生可以通过数的精确计算使得量与量之间的关系更准确，也希望学生通过数的精确计算与形的直观抽象找到思考方向、逻辑方向，建立模型与模型之间的关系，对解析几何问题进行建模，从而提高画图、看图、识图的能力，提高数的运算变形能力，提高数形结合的能力，期望可以提高学生的思维品质.

（1）数的结构

其一，建立数与形之间交流沟通的平台要求；

其二，引入适当的变量与参数；

其三，方程的求解、化简、合并、变形的熟练.

（2）形的结构

其一，画图的能力需要；

其二，观察识图寻找特殊性的能力；

其三，寻找图形中各种特殊关系中核心条件的能力.

三.对2017年数学高考解析几何复习的建议

1.引导学生对解析几何的各种模型进行对比反思（让学生学会如何反思，那么首先老师就得先要会反思！）.

（1）引导学生对活动所涉及的知识点进行反思学习的过程是知识的同化和迁移的过程，而反思是知识同化和迁移的核心步骤.

（2）通过反思来挖掘知识间的内在联系，促进知识的同化和迁移，帮助学生整合知识结构，建构知识体系.

（3）在数学学习活动中，要反思自己对这些所涉及的知识的认识是否达到了建立自己的模型所要求的程度.而且由于每一种模型的背景不尽相同，那么如果每次都能对不同背景下涉及的同一数学对象进行反思，那就可能产生更多新的认识.

2.在教学中仔细研磨每个知识点与每个模型的精确性，使得它们的内涵得以充分理解，此为形成模型教学的重要基础.

3.做好教学规划，关注学生在解析几何问题上出现的上述问题，以相应题目为载体，适当的训练量对应问题的解决策略，分步螺旋上升地使学生理解、掌握、应用解析几何的各种模型，以此提高学生的解题能力.课堂中如何以问题为导向让学生领悟思维过程，锤炼思维形成稳定数学模型成为了难点.

4.在课后着力于解决学生对解析几何错误的认识观点.在心理上给予学生充分的信心，在作业训练量上要精，有梯度地布置，精确计算学生的基础与能力，从易到难，从整体到局部地与学生分享各自的思维方式.

*本文是十二五规划重点课题“中学数学建模校本课程的开发与实施”的研究成果.