全国新课标I卷与广东卷数学试题对比分析

深圳市龙华新区教科研中心（518109）　殷木森



全国新课标I卷与广东卷数学试题对比分析

深圳市龙华新区教科研中心（518109）殷木森

“分久必合，合久必分”，高考命题似乎也离不开这条定律.2016年，广东结束了12年高考自主命题，回归全国新课标I卷的怀抱.因为省考试院组织的“2016年广东省适应高考全国卷考试”的数学试题偏易，另外首次回复使用全国卷的省份增多，以致很多专家预测2016年全国卷的难度较往年会有所下降，但真实的情况是国家考试中心似乎有点“不解风情”，或者“不近人情”，难度反而增大了.因此，教师一定要很好地领悟全国卷与广东卷的试题差别，要转变备考策略，否则吃亏的终究会是我们的学生.本文对近几年的全国I卷与广东卷进行了深入的对比分析，希望能帮助大家更好地备战全国卷高考.

一、试题结构对比

1.1各种题型数量、分值分布如下表

试卷类型选择题填空题解答题题量总分题量总分题量总分全国I卷（文）12 60 4 20必5+3选1 70全国I卷（理）70 12 20 4 60必5+3选1广东卷（文）必3+2选1 10 50 20 6 80广东卷（理）8 40必5+2选1 30 6 80

由上表可知，全国I卷文理的题量与分值分布是一样的，而广东卷文理是有差别的，总题量全国I卷比广东卷多出3题，另外，全国I卷选填题是80分，比广东卷多了10分.

1.2选做题的题型及分值不同

广东卷（文、理）的选做题是2选1的填空题，放在14、15题，满分5分.考生需从“选修4-1：几何证明选讲”与“选修4-4：坐标系与参数方程”中任选1题作答，其难度只相当于全国I卷第1问的难度，文科题比理科题还要更简单一些.

1.3解答题的顺序不同

广东卷（文、理）的6个解答题的顺序基本上是这样的：三角函数—概率与统计—立体几何—数列—解析几何—函数与导数，只是2015年广东（理）有所不同，“数列”与“函数与导数”的调换位置.近五年全国I卷（文、理）情况如下表：

年份类别第17题第18题第19题第20题第21题选做题2012年文科3选1解三角形立体几何函数与导数解析几何概率理科解三角形概率解析几何立体几何函数与导数3选1数列文科2013年统计立体几何函数与导数解析几何3选1理科解三角形立体几何概率解析几何函数与导数3选1 2014年文科数列概率与统计立体几何解析几何函数与导数3选1理科数列概率与统计立体几何解析几何函数与导数3选1 2015年文科立体几何解三角形回归方程解析几何函数与导数3选1理科数列立体几何回归方程解析几何函数与导数3选1文科数列2016年统计概率立体几何解析几何函数与导数3选1理科解三角形立体几何统计概率解析几何函数与导数3选1

从上表可以看出，“概率（或统计或两者结合）、立体几何、解析几何、函数与导数”这四个知识板块是全国I卷的必考内容，“数列”与“解三角形”两个知识板块每年选一个进行考查，作为第一大题，文科是2012年、2015年考查“解三角形”，另外三年考查“数列”，而理科是2014年、2015年考查“数列”，另外三年考查“解三角形”，广东卷中的“纯三角函数题”，近五年全国I卷都没有出现过.

二、知识板块对比

全国只有一个考试大纲，即《×年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科或理科）考试大纲》（简称“考试大纲”），但实行自主命题的省份根据自身的需要，依据考试大纲制定了自己的考试说明，如《×年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）考试大纲的说明－数学（文科或理科）》，“考试说明”才是各省份命题的依据，也是考生复习的依据.

可见，全国I卷是依据“考试大纲”命制的，而广东卷是依据“广东考试说明”命制的，它们对知识的要求上存在差异就自然很正常，下面笔者从七大知识板块进行对比分析.

2.1三角函数与解三角形

全国I卷常在小题（指选择填空题，下同）考查三角函数的相关知识，而广东卷却常在大题（指解答题，下同）中考查，如：

分析以上两题可以看出，全国I卷中的三角函数题比广东卷要难，位于第6-12题之间，如例1，要通过切化弦变成

交叉相乘整理后得到

这是相当不容易的，然后再由

“解三角形”在全国I卷中每年都会出现，但是广东卷只是偶尔在小题中出现过，不是常考点，如：

例3（2015年全国I卷理科第16题）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75◦，BC=2，则AB的取值范围是___.

例5（2016年全国I卷理科第17题）△ABC的内角A,B,C的对边分别别为a,b,c，已知2cosC（acosB+ bcosA）=c.

（I）求C；

分析广东卷的知识点比较单一，而全国I卷则丰富得多，要求考生熟练运用数形结合法，知识点涉及正余弦定理、边角互化及面积公式等，综合性较强.

2.2统计与概率

分文、理科进行说明，首先说文科，两卷都是一大一小题，都很重视统计及统计案例部分的考查，全国I卷甚至在大题中用来考查统计知识，而只在小题中考查古典概型，如：

例6（2015年全国I卷文科第4题）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）.

例7（2015年全国I卷文科第19题）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi和年销售量yi（i=1,2,···,8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值（略）.

（II）根据（1̉）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（III）已知这种产品的年利润 z与 x，y的关系为z=0.2y-x，根据（2）的结果回答下列问题：

（i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？

（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

分析 从2015年全国I卷的这两道题来看，难度确实要比广东卷大，例7中的非线性回归方程通过换元转化成线性的方法，广东卷从不作要求，回归方程也大多在小题中出现.

再看理科，2012年、2013年与广东卷的考法类似，2014年考查了简单正态分布，2015文理同题，2016文理姐妹题，理科考查了独立事件的概率，体现了通过数据分析与数学建模的方法，解决生活实际问题的思想.

另外，理科小题中常规考查排列组合与二项式定理，属容易题，如：

2.3立体几何

分小题与大题进行说明，小题中，广东卷2012年、2013年考查了简单的三视图，2014年、2015年转而考查了线面位置关系，但全国I卷中，三视图每年必考，2012年与2016年属中等难度，但2013-2015年都把它放在第11题，难度较大，犹以2015年难度最大；另外，广东卷基本不考查球的相关知识，但全国I卷常考，近五年中只有2014年没有涉及，大多跟球的内接锥体或柱体，球心到截面圆的距离有关，要求球的半径、表面积或体积等，需要考生具备一定的空间想象能力与运算求解能力，如：

例9（2015年全国I卷文理科第11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）.

图1　

A.1B.2C.4D.8

例10（2013年全国I卷文科第15题）已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB=1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为____.

分析 例9只给出主视图与俯视图，不同于广东卷的考法，难度更大，例10没有给出图形，完全需要考生先把文字语言转化成图形语言，难度也不小.

大题也有不同，无论文理，全国I卷通常设置两个小问，第（1）问证明线线垂直、线面垂直或面面垂直，通常不证明平行，重点考查推理论证能力；第（2）问则跟计算有关，文科要求点到面的距离、锥体或柱体的体积、表面积等，理科则要求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等，重点考查考生的运算求解能力.广东卷通常会设置3问.

例11（2016年全国I卷文科第18题）如图，在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为E，连接PE并延长交AB于点G.

图2　

（I）证明G是AB的中点；

（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积.

分析 广东考生习惯了在解答题第2大题“捞分”，但是题干中出现的“正投影”让很多考生不知所云，第2问竟还要画图，设问相当新颖，特别是紧接着第19题第1问理解起来相当费劲，估计不少考生已经被吓晕了，因为根本“捞”不到分.

2.4数列

广东卷的数列小题常是送分题，而大题则是压轴出现，有一定的难度，并常与不等式结合在一起，考查考生的运算求解与推理论证能力，但在全国I卷中，前面已提到，大题与“解三角形”交替出现，若没有大题，则常会有两道小题，如：

例12（2012年全国I卷理科第5题）已知｛an｝为等比数列，a4+a7=2，a5a6=-8，则a1+a10=（）.

A.7B.5C.-5D.-7

例13（2012年全国I卷理科第16题）数列｛an｝满足an+1+（-1）nan=2n-1，则｛an｝的前60项和为____.

分析 例11属于送分题，考查等比数列“下标和相等则积相等”的性质，与广东卷的考查类似，但例12绝不是善茬，放在压轴位置，需要考生具备相当强的推理运算能力.

若有大题，则通常考查等差、等比数列的通项公式与求和运算等，如：

例14（2014年全国I卷理科第17题）已知｛an｝是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.

（I）求｛an｝的通项公式；

分析 作为解答题第一大题，没有任何障碍，第1问考查等比数列的通项公式，第2问考查考生运用错位相减法求和.

2.5解析几何

解析几何部分，广东卷常是一小一大题，小题是大题的补充，如大题考查了椭圆与抛物线等，则小题就考查直线与圆等相关知识，“淡化运算技巧，体现图形探究”是广东解析几何大题追求的目标，文理基本同题.纵观全国I卷，每年会有二小一大题，基本能覆盖直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线等，文理小题基本相同，近两年大题完全不同.文科大题多数涉及直线、圆、抛物线等知识的综合居多，但理科大题只有2013年考查直线与圆，其余四年则涉及圆、抛物线与椭圆的综合居多，体现的是“用代数的方法解决几何问题”的方法，并没有刻意追求结论的美妙，如：

例15（2015年全国I卷文科第20题）已知过点A（1,0）且斜率为k的直线l与圆C∶（x-2）2+（y-3）2=1交于M，N两点.

（I）求k的取值范围；

例16（2016年全国I卷理科第20题）设圆x2+y2+ 2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

2.6函数与导数

“求定义域、判断函数的性质、用导数法求切线或函数的单调区间”是广东卷小题中常出现的题型，知识点较单一，但全国I卷的小题绝非如此轻易，如：

例17（2013年全国I卷文科第12题）已知函数

若|f（x）|≥ax,则a的取值范围是（）.

A.（-∞,0］B.（-∞,1］

C.［-2,1］D.［-2,0］

例18（2015年全国I卷理科第13题）若函数

为偶函数，则a=____.

但是，全国I卷的大题总体上趋于稳定，比广东卷要容易把握得多，全国I卷更重视导数的工具性作用，通过函数的核心问题，如切线、单调性、最值、零点等，充分考查考生对分类讨论、化归与转化等数学思想方法的掌握情况，理科的难度比文科略高一些，如：

例19（2015年全国I卷文科第21题）设函数f（x）= e2x-alnx.

（I）讨论f（x）的导函数f′（x）的零点的个数；

例20（2016年全国I卷理科第21题）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.

（I）求a的取值范围；

（II）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2.

分析 例19说明全国I卷是要求文科生掌握复合函数y=e2x的求导，与广东卷有区别，第1问求出了零点个数，即能粗略画出函数f（x）的图像，再来求解第2问，难度不大；例20题第1问拆成两问即为文科题，第2问涉及极值点偏移问题，是近年高考的热点问题，如2010年天津卷第20题，说明全国I卷并没有刻意回避高考热点，着重强调导数的工具性作用，考查分类讨论、数形结合，以及函数与方程的转换等思想方法.

2.7其它必考知识点

除选做题及以上六大板块，还有集合、复数、线性规划、平面向量、算法等五个必考点，前三个考查的形式两者都非常类似，属于送分题，广东卷的平面向量题极少涉及基向量的运算，但全国I卷时常涉及，如2014年文、理及2015年理科都有，全国I卷的算法题要比广东卷内涵要丰富一些，处于选择题第5-10题左右，难度中等，文理同题.

三、试题特点对比

3.1试题难度有异

广东卷经历了2011年的“惨痛”后，2012-2015年的难度基本处于稳定，文、理的难度分别为0.5、0.6左右，使用全国卷后均分肯定会下降，笔者认为主要原因有以下两个：

（1）广东卷的难、中、易比例约为1：3：6，容易题占的比例更高，且易题更易，简单直接，多以考查识记为主，明显“送分”；

（2）全国I卷没有明确说明难度系数，中档题偏多，每题也需要考查理解，在多个知识的交汇处进行命题，“以能力立意”为主，虽然解析几何与函数导数题不比广东卷难，但整体上对数学素养的要求更高.笔者认为，与08、09年广东卷有些类似.

3.2试题风格迥异

（1）广东卷梯度明显，从易到难，难题以考查技能技巧为主，需要考生掌握一定的变形技巧，其实这对考生的要求更高，备考难度更大；但全国卷的学科味道更浓，坡度更平和，这也是很多人甚至认为全国卷比广东卷更容易的理由.

（2）广东卷最后一道选择题难度较大，即文科第10题、理科第8题，以“新定义”试题为载体，综合考查考生分析问题与解决问题的能力，解答题中第20、21题多考查“直线与圆锥曲线的位置关系”、“数列与不等式”、“函数与导数的综合”，难度不小；而全国卷选填题至少有三题较难，即第11、12、16题，犹以16题为最难，涉及函数、数列、立何几何、解析几何、解三角形、三角函数等核心数学内容，“三视图、函数的最值与零点问题、解三角形问题”是选填题压轴的重点，解答题中则把函数与导数作为解答题的压轴重点，在第21题考查，但也常常出现第18、19题会有学生不易作答的情况出现，如2016年.

（3）“以知识为载体，侧重考查能力”，是新课标下所有高考试题都渴望做到的，但是，以哪些知识为载体？侧重考查哪些能力？不同的高考试题会有所不同.

知识方面，全国I卷要求的深度会更深一些.这深刻地反映在“三角函数与解三角形、立体几何、函数与导数”上，前面已有赘述.

能力方面，全国I卷要求的广度也会更广一些，就拿2016年理科24道试题粗略来看，有8题需要考查考生的“空间想象能力”，有6题需要考查考生的“推理论证能力”，这是广东卷不可能做到的.

四、复习策略对比

试卷变了，复习的策略是否需要改变？有人说，要以不变应万变，也有人说，原来那套行不通了，要彻底颠覆，笔者认为，该保留的保留，该改的必须改.

4.1理解概念，夯实基础

第一轮复习要扎实地打好基础关，要创设教学环境让学生理解和掌握知识的本源.首先，课堂上要避免就题讲题，要以点带面，理解题目所隐含的本质；其次，课后要避免简单重复地进行训练，要学生学会归纳总结，不断地进行解题反思，建立“错题本”；再次，要避免把“教辅当教材”，备课时要做好“二度消化”，坚持有效教学.

第二轮复习要做好专题突破的准备，全国卷的备考不到最后一刻一切都还有可能.首先，要避免单纯的“以考代练”、“以练代讲”的模式，备课组成员要精诚合作，要根据学情，规划好专题复习的时间与内容；其次，全国卷命题灵活，命题范围广，不能简单要求学生复习时只复习某一部分的内容，而不复习某一部分内容.

还要注意在复习中突出“通式通法”的训练，复习中要以提高学生各学科的思维能力为核心任务，教师要做好这一观念转变的理解与操作.

4.2转换思路，脚踏实地

我们也常常听到，某某老师埋怨自已学校的生源差，解答题后三题（数列、解几、函数）尽量少碰或不碰，因为碰了也没用，只能反复练习选择填空加上解答题前三题（三角、概率、立几）.笔者认为，这种做法现在行不通了，前面已提到，全国I卷中选择填空也有不少中等偏上难度的题目，解答题除第17题与选做题较易，21题较难，其余三题（统计、立几、解几）难度较为接近.所以，只有根据不同的学情，制定好周密的复习计划，一步一个脚印，方能取得高考的最终胜利.

4.3精选习题，有效训练

我们也常常感觉得到，高三一年，学生不知道要考多少次试，要做多少道数学题才行.的确，有些老师爱题如命，不加选择，考广东卷时就把广东各地的模拟试题收集起来训练，有多少练多少，这种思路下，要是换成考全国卷，现在的网络资源那么发达，学生岂不是要做更多的题目？可见，习题要精选，要从有利于学生落实双基、感悟方法、培养能力的角度出发，要引导学生进行分析、解答和反思，这跟“题海战术”是有本质差别的，也只有这样，训练才能真正出效果.

“研究”只是为了更好地备考，而不仅是为了应试，只有着眼于学生的长远利益与终身发展，书才不会教“偏”，题才不会做“错”.