P-图理论在过程网络综合中的应用研究进展

肖武，张毅，吕俊锋，李中华，贺高红



P-图理论在过程网络综合中的应用研究进展

肖武，张毅，吕俊锋，李中华，贺高红

（大连理工大学精细化工国家重点实验室，膜科学与技术研究开发中心，辽宁大连116024）

随着石化生产装置日趋大型化、复杂化和一体化，过程系统中的操作单元之间以及物料流、能量流和信息流之间的组合关联复杂度不断增加，P-图理论通过公理约束生成严格超结构，可减少冗余结构的产生，得到了越来越广泛的应用。首先概述了P-图理论的数学定义、基本公理和求解算法及工作流程等，通过案例介绍了P-图理论的建模框架和图形表示。然后系统总结了自1992年P-图理论提出以来，其在分离网络综合、反应路径识别、换热网络综合等传统过程网络综合的应用，以及近年来在工艺路w线选择、供应链与调度优化等新兴研究领域的扩展。最后，比较分析了P-图理论与数学规划法的各自优势，提出了利用P-图求解非线性问题的改进思路，展望了P-图理论未来的研究方向，包括考虑经济、环境等因素的多目标优化，以及P-图与数学规划相结合，高效处理复杂大规模非线性规划问题等。

P-图；过程网络综合；系统工程；模型；优化

引 言

过程工业作为国民经济的重要组成部分，随着科学技术的进步和生产力水平的提高，得到突飞猛进的发展。随着国家节能减排标准的提高和工业品需求种类的增加，过程工业正在由高能耗、高污染、单一化向清洁化、精益化、多样化的方向转变。这就要求工业过程的工艺设计和改造不仅要考虑经济性，还要考虑环境影响、可操作性、可靠性、安全性等指标，这也对过程系统综合的理论方法提出了新的要求和挑战[1]。

过程网络综合（process network synthesis, PNS）[2]作为过程系统综合的一个重要分支，一般被定义为，按照规定的系统特性，寻找合适的系统结构及各个子系统的性能，并达到规定目标下的最优组合[3]。目前，国内外常见的过程系统综合方法有：直观推断法、夹点分析法、数学规划法和图论方法等[4-5]。其中基于经验规则的直观推断和基于热力学原则的夹点分析方法，在多层次多因素的过程网络综合中，无法实现不同层次各子系统之间的权衡，因此难以实现过程系统综合的全局最优。

近年来，过程综合中常用的方法是基于超结构[6]和状态空间[7]的数学规划法，该类方法的主要思想是利用数学模型来描述过程系统，并得到给定目标下的最优网络结构与结构参数。具体步骤包括选择超结构、建立数学模型、研发求解算法等。相比于直观推断法和夹点设计法而言，这类方法的优点是能同时考虑过程系统中的多层次影响因素，并对其进行定量化代数表示，理论上可以得到全局最优设计。所以数学规划法在较长的时间内，都是过程网络综合与优化的主流方法。

但是，随着过程网络的日益复杂，对应数学模型的复杂度也随之增加，伴随出现的问题有：超结构中冗余结构数量增多；模型非线性增加，求解时初值依赖度较高；对同一个实际问题，不同研究者可能抽象得到不同的数学模型[8]；建模困难，模型开发周期长等。

为了尽可能降低冗余结构对模型复杂度的影响，并缩短模型开发周期，Friedler等[9]提出了基于图论的过程网络综合理论框架，即P-图理论（process graph, P-graph），其主要特点包括：图形化建模，自动生成最大超结构，支持逻辑约束，求解算法较为完善，网络结构优化与目标优化相结合等。经过20多年的研究，P-图理论逐渐发展成为集理论方法、建模平台、求解算法于一体的较成熟理论框架。由于P-图理论提供了一个友好的图形建模环境，即使在没有充足建模背景知识的情况下，借助算法和公理约束，依然能够生成一个过程网络的严格超结构，通过逻辑约束，减少冗余结构，因此，吸引了越来越多学者的关注。图1是P-图理论的模型层次图，外层为网络约束层，其严格超结构（rigorous superstructure）由公理和逻辑约束共同生成，这一层主要是保证所有子结构的合理性；内层为设备约束层，需对每一个候选设备添加约束。使用P-图理论对模型求解时，通过加速分支定界算法为不同的子结构分配所需的设备约束，可以有效地减少冗余结构对模型复杂度的影响。

图2是近年来发表的关于P-图理论的文献统计与文献被引用情况统计，可以看出，P-图理论的研究呈逐年上升趋势，国外持续对P-图理论进行研究并不断拓展其应用范围，特别是近八年来，得到了广泛的研究。但目前国内对其研究和应用还较少，因此，本文从P-图的理论基础及其在过程网络综合中的应用两个方面阐述该理论的研究进展，以期扩展其在国内过程系统工程领域的应用。

1 P-图理论基础

1.1 P-图建模框架

一个过程网络模型中，一般包含单元操作、原料、产品、中间产物等基本元素。在P-图理论中，使用表示原料，表示中间物料，表示产品，表示设备，来描述这些过程元素。广义地说，也可以将其看作过程事件（单元操作）、起始状态（原料）、最终状态（产品）、中间状态（中间产物）的有序组合。

这里通过一个案例说明如何将一个工艺流程图（PFD）转换成P-图。图3所示是某合成工段的生产工艺，原料A、B经过单元操作O1得到中间物料E，原料C经过单元操作O2得到中间物料E，原料D经过单元操作O3得到中间物料F，最后，E和F的混合物经过操作单元O4，得到最终产品G。

对于图3所示的工艺过程，其对应的P-图表示如图4所示。从图中可以很清晰地示意出原料A、B、C、D通过单元操作O1、O2、O3生产中间产物E、F，然后通过单元操作O4生产最终产物G的工艺过程。体现了基于P-图的建模过程具有的简单、直观、逻辑关系清晰、拓展性强等特点。

在P-图中，有且只有两种类型的弧，一种由物质指向单元操作，另一种由单元操作指向物质，弧长的物理意义是与之相连的物质的消耗（生成）量，可以作为待优化变量，而与单元操作相连的弧之间的长度比是由单元操作的特性决定的，如对设备O1而言，每生成1 mol E需要消耗2 mol A和1.5 mol B，所以从A到O1、B到O1和O1到E的3个弧的长度比为2:1.5:1。

此外，利用P-图进行过程综合时，还需已知：

（1）原料（产品）集合包括用量（产量）范围和价格范围，一般在原料顶点里约束；

（2）每个操作单元集合包括设备投资、操作费用和设备折旧周期等，一般在设备顶点里约束；

（3）与单元操作相连的各个流股的消耗（生成）比例，一般在与单元操作相连的弧上进行约束。

1.2 P-图的数学定义

P-图数学本质是二分图（偶图）[10]，主要包含以下几个集合，有限非空集合表示物质，有限非空集合表示单元操作。其中物质集合又包含原料子集合和产品子集合。

一个过程网络问题可以表示为（,,）或者（,），且满足

Í，Í且Ç=Ø (1)

对一个特定的操作单元而言，假设是进料，是出料，则由该操作单元就可以表示成（,），也就是说，操作单元集合是一对物质集合的析取，于是可以得到

⊆℘() ×℘() (2)

其中，超集℘ ()表示中所有子集的组合，式（2）的物理意义为，设备集合是进料集合和出料集合的析取组合。

从图论的角度，物质集合与单元操作集合共同构成了P-图的顶点，即

=∪(3)

而P-图的弧是类顶点与类顶点之间的连接，即

=1∪2(4)

这里1是由单元操作指向物质的弧，2是由物质指向单元操作的弧，即

1= { (,) |= (,)∈and∈} (5)

2= { (,) |= (,)∈and∈} (6)

1.3 P-图的基本公理

在一个过程网络超结构的构建中，往往会出现只有数学意义而没有工程意义的冗余结构或重复连接，为了避免这类冗余结构使过程网络模型出现组合爆炸，Friedler等[11]在提出P-图理论的同时，增加了5条公理，在不丢失可行解的情况下，最大程度地减少不合理网络子结构的生成。

（1）产品集合P中的每个元素必须在超结构中出现；

（2）一个物质为原料的充分必要条件是该物质不是任何一个单元操作的输出；

（3）每一个单元操作都需要在过程网络中定义；

（4）过程网络中的任何一个单元操作都有至少一条路径到达产品；

（5）每一个物质都与至少一个单元操作相连。

公理的提出，对缩小搜索问题解空间十分有帮助，文献[12]给出了在P-图理论框架下，使用公理与不使用公理时组合问题规模的对比，假定一个由35个操作单元构成的过程网络，在不使用公理的情况下，对所有可能进行全排列，一共存在235– 1 = 3436×107种可能的子网络，而使用公理约束以后，最终只剩3645种可行的子结构。

1.4 P-图理论工作流程及算法简介

P-图理论的基本算法包括MSG、SSG和ABB。

MSG（maximal structure generation）：即最大结构生成算法，用于生成在满足公理约束下，过程网络综合问题的最大结构，即通常所说的超结构（superstructure）；MSG算法起初由Pidgin Algol语言编写[13]，由剔除部分和组合部分构成，属于多项式时间算法。

SSG（solution structure generation）：即子结构生成算法，用于生成所有可行的子结构，其中也包含最优子结构，该算法基于决策图（decision- mapping，DM）理论[7]，用来对MSG超结构进行遍历。

ABB（accelerated branch & bound）：即加速分枝定界算法，用于确定最优子结构，目标函数为最小化单周期内的总费用。一般从原料节点或者产品节点开始计算，并在设备节点的选择时结合目标函数，判断是否引入新的设备节点，来使目标得以改善[14]。相比于传统的分支定界算法的MILP（mixed integer linear programming）模型，该算法可以更加快速地完成对过程网络的搜索[15]。

P-图理论的工作流程如图5所示[16]，首先，针对确定过程网络综合问题，使用P-图对该问题进行描述；然后，采用公理约束以及最大结构生成（MSG）算法生成问题的过程网络的最大结构，也就是通常所说的超结构（superstructure）；然后，根据问题的需要，既可以采用SSG算法生成所有的可行子结构，也可以采用ABB算法，配合目标函数，生成问题的最优结构以及最优目标。近年来，还有学者提出对于PNS问题的启发式算法[17]。

目前，比较成熟的P-图建模平台是P-graph Studio，它是由PNS Studio发展而来的，由于该软件具备以下特征，所以近年来在研究中得到较为广泛的应用：

（1）包含完整的PNS问题求解器（MSG、SSG、ABB）；

（2）通用的建模环境，可方便地构建过程网络综合模型；

（3）相比于代数建模系统（如GAMS/AMPL），图形化的建模环境可以加快建模过程，并方便查看计算结果。

2 P-图理论在过程网络综合中的应用

P-图理论自从诞生以来，广泛应用在过程网络综合的研究中，其中几个经典的研究方向包括分离网络综合、反应路径识别、换热网络综合等。下面将对这些应用进行分类综述。

2.1 分离网络综合

分离网络综合（separation network synthesis, SNS）指的是在给定待分离原料和最终产品的情况下，找到最优分离路线的过程。处理SNS主要方法包括启发式算法和数学规划法，前者主要通过启发规则得到最终结构，而后者所得到的结果是超结构的一个子结构。但是，如果生成的超结构不完全，更优的网络结构就有可能被忽略。Kovacs等[18-19]在研究分离网络综合时，增加考虑了冗余结构与循环结构对目标函数的影响，发现相比于没有冗余和循环的分离网络，总费用可以减少5%。文中还指出，在过程网络综合中，生成严格超结构的必要性。在此基础上，Kovacs等[20]在研究多股原料的分离网络问题时，提出了生成准确超结构的计算思路，奠定了P-图理论用于生成严格过程超结构的MSG算法基础。

为使P-图理论框架能够更方便地处理分离网络综合问题，捕捉更多的潜在组合方案，Heckl等[21]提出将分离网络综合问题系统地转化成一类过程网络综合问题，图6是转换后的包含3种物质的分离网络P-图超结构，原料集合表示待分离的物系，产品集合表示分离后的终产物，中间产物集合表示所有分离产物有序组合，产品与设备之间的连接弧既可以根据具体的分离网络手动添加，也可以根据P-图的公理约束自动生成，于是，在该图中可以方便地表示出所有可行的子分离路线，在不产生冗余结构的同时，让超结构所包括的子结构尽可能多。Heckl还将分离网络问题归纳为3类，分别为单一分离路线、多个分离路线和多种原料分离，并采用SSG算法生成对应的可行分离子序列，结合费用目标函数最小化的ABB算法进行求解。

Bertok等[22]在P-图理论的基础上，首次将过程网络生成、结构优化和可行结构分析集成在同一软件框架下，形成P-Graph Studio软件的雏形，并以生物分离过程不同工艺路线选择优化为例，利用P-图构造了汽提、萃取、吸收、精馏等不同工艺路线的组合，通过比较最小化投资费用来确定最终工艺路线，得到不同生产周期下年操作费用的变化趋势。

含有共沸物系的分离路线设计主要包括选择适合的共沸剂，绘制剩余曲线图（RCM），结合剩余曲线图确定分离路线，Feng等[23]借助P-图提出了一种系统化生成可行候选序列的方法，该方法既适用于连续系统，也适用于间歇分离系统，在剩余曲线图中，该方法根据热力学边界将物质分为集总物料，并通过第一原理（first principle）和最小启发规则，自动舍弃可能产生不可行解的精馏序列的组合，并得到一系列可行分离序列。在此基础上，Feng等[24]扩展了物质在剩余曲线图（RCM）上的表示，将整个剩余曲线图考虑其中，避免陷入局部搜索，另外还结合P-图将共沸过程的剩余曲线图自动转换成含有摩尔流量的过程流程图。

国内方面，许晓慧等[13]提出了基于P-图理论的组合算法，将Douglas的阶层分解法[25]、基于剩余曲线图的启发式方法与P-图的MSG算法相结合，自动产生分离过程的严格超结构，用于普通精馏和共沸精馏分离过程。

2.2 反应路径识别

反应路径识别一般指在已知起始反应物、终产物、可能的中间产物和一系列基元反应的条件下，确定满足热力学（thermodynamic feasibility）或动力学（kinetic desirability）指标的宏观反应，并达到潜在经济条件的最优。

由于组成宏观反应的基元反应数量较多，使得枚举类方法出现组合爆炸，最终导致问题在有限时间内难以求解。P-图理论的公理约束主要用于减少完全超结构中不可行的子结构，于是Seo等[26]利用这一特性，提出了针对可行反应路径的6条公理约束以及组合反应网络的7条公理约束，并给出对应的RPIMSG（reaction path identification maximal structure generation）算法和RPISSG（reaction path identification solution structure generation）算法[27]。利用这一方法，将可行解的数量由4782968个减少为46个。在此基础上，Fan等[28]又提出RPIRSG和NX算法，用来进一步加速子问题的生成。

同理，很多催化反应包含能量最优（energetically favorable）和化学计量数最优（stoichiometrically feasible）的反应路径，如水汽转换反应[29]、Fischer-Tropsch反应[30]、甲醇降解[31]等，利用上述基于P-图的方法，均可以在几秒之内得到可行解。

此外，Fan等[32]以乙烯加氢反应为例，将P-图理论用于识别多位点催化反应的可行路径，图7表示在不同机理下，H2和C2H4反应生成C2H6的反应路径P-图超结构，图中黑实线和与其相连的弧表示一个可能的基元反应，例如，S11表示原料H2和中间产物l1经过基元反应S11得到中间产物Hl1的过程。某些中间产物既可能由多个基元反应产生，也可能是多个基元反应的原料，在P-图中，不仅可以清晰地表达出这些基元反应之间的逻辑关系，还可以自动有序地生成它们的组合，即反应路径超结构。最终的反应路径就是在特定约束下若干个基元反应的组合，也就是该超结构的一部分。Fan等通过RPIMSG算法减少了完全超结构中不可行的子结构，大大缩短了计算时间，并发现每个可行反应路径中都包含一个共同的限速步骤，进而为多位点催化剂的设计提供一定的指导。在此基础上，Yun等[33]又将其用于热力学主导的生物反应可行路径的识别过程中，进一步拓展了P-图理论这一高效图论算法的应用范围。

2.3 换热网络综合

在一个含换热过程的网络综合中，可以通过提取冷热流股信息，利用夹点技术或者数学规划法进行换热过程综合，这类方法一般不考虑分离过程的变化。Nagy等[34]将分离网络综合（separation network synthesis，SNS）与换热网络综合（heat exchanger network synthesis, HENS）同时考虑，提出了基于P-图理论的组合方法，并在原P-图理论的基础上，提出了hP-图，来分析不同温位的热量对分离效果的影响。目标函数为设备费用与操作费用的和，使用ABB算法求解，并以甲苯加氢脱烷基化的生产案例验证了该方法的有效性。

Heckl等[35]在hP-图的基础上，增加了冷热流股之间的热量交换匹配，并在分离网络中考虑多种分离特性（挥发性、溶解性、渗透性等），对包含混合器、分配器、分离器、公用工程及换热器在内的设备费用进行计算，并以年度费用最小作为目标，将只能生产单一产品的原过程网络，扩展为可生产多种产品的分离网络。

后来，Friedler等[36]又提出了含多阶段（multi period）操作的换热网络综合，随着换热器、分离器、混合器数目的增加，超结构中的组合复杂度呈指数增长，利用P-图理论ABB多项式时间算法，生成严格超结构的同时，可以极大地降低问题的计算复杂度。

2.4 工艺路线选择

除了以上传统方向外，近年来，P-图理论还被应用于一些新兴的过程网络综合研究方向上。随着过程工艺数量的增多，从原料到产品的工艺路线选择也成为过程网络综合的一个重要课题。

Halasz等[37]利用P-图对可再生的生物质网络进行建模，提出了从原料（生物饲料）到产品（乳酸、氨基酸、纤维、电能）的工艺流程选择方案，并给出不同生产能力下对应投资费用的近似关联。在此基础上，Lam等[38]提出基于P-图的多层次网络，对开放结构的生物质网络综合问题进行处理，将生物质利用网络分为供应区域、集散中心、过程加工区域和消费区域这4个层级，并允许多个生物质原料在不同层级之间相互转移，进而利用P-图构建生物质利用网络的超结构，其中子问题的MILP模型在GAMS（general algebraic modeling system）平台中使用Cplex求解，目标函数为整个网络的利润最大化。Halasz等[39]又进一步将P-图用于工业园区内生成可再生资源利用网络的超结构中，并对园区附加值最大化与环境影响最小化之间的权衡进行了初步探索。结合已有的P-图理论，Kettl等[40]开发了RegiOpt软件，用来优化在某一工业区域内，能量供应网络的最优生产策略，并减少生产中排放物对环境的影响。

对含有燃料电池组合循环（fuel cell combined cycles, FCCC）的能量转化系统进行经济性评价，是组合复杂度较为显著的一类问题，使用混合整数规划（mixed integer programming, MIP）不能很方便地处理，根据P-图可以同时生成多个次优解的特性，Varbanov等[41]做出了不同工艺路线下，对应经济性和环境影响两因素的灵敏度分析，并通过P-图的公理约束和相关算法有效地解决了这类问题。Tan等[42]利用P-图理论确定多产品工厂的最优操作策略，并以某区域热电厂生产为例，提供了一种与混合整数线性规划（MILP）等价的生产优化方案。此外，在复杂工艺路线的运行过程中存在效率和安全性之间的权衡，气候变化、供水、功能及库存变化对整个工艺路线的正常运行都有一定影响，所以备选操作方案的准备是工艺过程设计的另一个重要任务，于是Tan等[43]利用P-图可以生成多个可行解的特点，来优化紧急工况下工艺操作的调整方案。Losada等[44]和How等[45]还将P-图分别用于甲苯合成苯甲醛工艺路线优化和生物质网络回路设计。

P-图理论的MSG算法可以自动产生分离过程的严格超结构，基于该算法，Xu等[46]又结合层次分解法和现象驱动的设计，提出了新的组合方法，并将其应用于生物发酵下游产品分离过程中。

在之前的工艺路线综合中，一般均是单一周期的操作，即在某个计算周期内，操作条件和操作单元的负载保持不变，但实际生产过程中可能存在生产随季节发生波动的工况。2015年，Heckl等[47]将P-图理论扩展到含多阶段操作的过程综合中，通过虚拟流股连接多个不同的操作周期，可以实现不同季节间的生产操作优化。在此基础上，Tan等[48]将不同的设备规模也考虑在多周期操作的工艺路线综合中。

2.5 供应链与资源调度

P-图也是一种高效的企业级供应链网络设计工具[49]，相比于数学规划法，在P-图中非常容易添加语义与逻辑约束，而且生成的网络结构鲁棒性较好。此外，借助P-图可以同时生成多个可行解的特点，可以方便地生成一系列候选供应方案，并将经济性以外的因素综合考虑在内，因此非常适合业务迅速变化的小型企业。

在设计柴油供应链时，多个候选方案便于在紧急情况下迅速切换，以保证柴油供应的稳定性，所以Kim等[50]借助P-图可以生成多个可行解这一特点来完成柴油供应链设计；Bertok等[51]在含有调和与运输过程的生物柴油供应网络优化中，通过备用方案的建立，提高了整个供应链的可靠性。Heckl等[52]将P-图用于综合考虑能量、水、供给物连接关系的可持续供应链设计，相比于用电能或天然气，利用可再生能源可以降低17%费用，并且能够明显降低生态足迹（ecological footprint）和能值（energy）。此外，Ng等[53]在研究生物能量供应链时，提出同时考虑费用最小和供应链风险的双目标模型，并利用P-图ABB算法，批量产生包含最优解在内的一系列可行解。

此外，除了可以将过程流程直接转换成P-图建模外，还可以将P-图作为过程的工作流建模工具（workflow modeling）[54]，进而快速构建出包含事件、状态变化的抽象模型。

如车辆调度问题就是寻求满足一定时间、空间约束的最优车辆行驶路线，图8是车辆运输调度过程的P-图超结构表示，在该超结构中，由上至下表示时间的推移与运输任务的进度，黑实线表示每辆卡车可能的运输事件，中间的实心圆表示卡车在不同时间点所在的位置，如卡车R1可以先在Tihany完成P1任务，再在8: 40之前赶去Veszprem完成P3任务；也可以直接赶去Veszprem执行P3任务，而P1任务由其他卡车完成。该运输过程不仅存在调度任务的编排，还要考虑到卡车行驶过程中的CO2排放对环境的影响，于是在P-图中可以增加CO2这一特殊原料集合，用来计算整个过程的CO2排放总量，这样，就借助P-图描述一个具有多影响因素的优化问题。利用SSG算法产生多个近优解的特点，Barany等[55]将费用最小作为主优化目标，将CO2排放量作为次优化目标，构成多目标优化，进而得到包含CO2排放的车辆分配与调度方案，从表1中可以发现，从运输费用角度考虑，路线3比路线4更好，但是从CO2排放的角度，路线4碳排量更小，更加环保。在此基础上，文献[56]增加了约束的上下限，并考虑了车辆运输过程中的其他活动以及对应的固定费用，使结果更接近真实的调度问题。此外，在解决含维护计划的车辆调配问题时，Adonyi等[57]利用P-图对车辆行程进行离散时间建模，证明了在车辆平均使用年数过长而且经常存在故障的公交体系中，定期维护可以明显降低整个系统的运营费用。

表1 考虑CO2排放的运输过程优化路线[55]

3 P-图理论与数学规划法的比较

表2从理论基础、建模思想、计算复杂度及各自擅长的问题类型等方面对数学规划法和P-图理论进行比较。从表2中可以看出，两种方法均可以解决过程网络综合问题，在网络超结构的构建与求解效率上，P-图更具有优势，而在处理非线性较强、不易图形化的过程综合问题时，数学规划法仍具有不可替代的作用。

表2 P-图理论与数学规划法比较

Table 2 Comparison between P-graph theory and mathematical programming

项目数学规划法P-图理论 理论基础代数理论图论 超结构建立一般手动构建自动生成严格超结构 逻辑约束部分求解器支持支持 计算复杂度与模型和结构相关一般为线性 建模思想将问题抽象为数学表达式原问题直接图形建模 问题类型MILP/MINLP通常MILP 适用范围各类过程综合问题含网络结构的过程综合 求解结果一般是唯一解最优解+一系列可行解 结果分析代数结果绘制图形直观图形结果

虽然P-图理论已经在过程网络综合中有了一定的应用，但是由于其难以求解非线性问题，相比于基于代数理论的数学规划法而言，还存在一些不足。

4 P-图理论的非线性改进思路

在P-图理论的已有基础上，可以将工程上常见的非线性关系统一表示为输入-输出形式，这类非线性主要指某个（某些）输入量与输出量之间存在非线性关联。在此类非线性关系中，将输入变量作为自变量，输出变量为因变量，使用方程()来表示输入与输出的关系，如图9所示。

针对该类非线性问题，一种可行的解决思路如下，其求解流程如图10所示。

（1）确定PNS问题类型，定义待解决的问题，并将其抽象为网络表述；

（2）在P-图辅助建模工具P-graph Studio中，构建已有PNS问题的超结构；

（3）借助MSG算法，确定出该PNS问题的最大网络结构（rigorous superstructure）；

（4）确定设备约束层中的设备参数以及线性/非线性的输入输出关系；

（5）生成待处理的模型输入文件（.in文件）；

（6）诊断该模型中是否存在非线性关系，如果不存在则直接选择合适的计算方法（ABB或SSG+LP）调用pns_solver求解并得到最终结果文件（.out文件），并跳至步骤（10）；如果存在非线性关系，则执行步骤（7）；

（7）使用外部程序对已有模型中非线性关系进行分段线性化处理，生成一系列子模型，并生成对应输入文件（.in文件）；

（8）使用外部程序调用pns_solver，选择合适的计算方法（ABB或SSG+LP）批量求解已生成的子模型，并将子模型的求解结果输出到中间结果文件（.out文件）；

（9）调用外部程序比较每个子模型结果的求解结果，并找出最优的求解结果，输出到最终结果文件（.out文件）；

（10）将结果返回给P-graph Studio，得到最优的工艺路线方案。

5 结论与展望

综上所述，P-图理论能够为PNS问题的有效解决提供理论框架，相比于传统的数学规划法，P-图为使用者提供了一个友好的图形建模环境，即使在没有充足建模背景知识的情况下，借助MSG算法和公理约束，依然能够生成一个过程网络的严格超结构，而且在进行过程网络建模时，可以方便地加入逻辑约束，进而减小组合问题的搜索空间。所以，P-图理论更适合应用在含有决策系统的过程网络中。

在问题求解方面，P-图理论已经形成了成熟的求解算法，与数学规划的求解流程不同，SSG算法可以给出超结构中的所有可行子结构，ABB算法可以在生成最优解的同时，保留该问题的一系列次优解和对应网络结构，方便在费用最小这一目标下将其他因素也考虑在内。

目前，P-图理论内部还只能处理线性问题，对于含有非线性约束的过程，可以参考本文第4节提出的方法处理，或者转换成数学规划的方法来解决。在下一阶段，可以对P-图理论与数学规划进行优势互补，数学规划可以作为P-图的一个外置模块，从而增加对非线性问题的处理能力。此外，还可以将P-图模型做成一个数据无关的独立模块，针对输入数据的变化，动态地给出优化结果。

在未来，利用P-图理论，可以在一个工艺建模过程中，同时考虑经济、环境、安全等多个目标因素。在应用领域方面，P-图理论的应用会逐渐拓展到水网络综合、新型清洁能源的利用、过程操作控制等过程工业的其他领域。

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Progress of research and application of P-graph theory in process network synthesis

XIAO Wu, ZHANG Yi, LÜJunfeng, LI Zhonghua, HE Gaohong

(State Key Laboratory of Fine Chemicals, Research and Development Center of Membrane Science and Technology, Dalian University of Technology, Dalian 116024, Liaoning, China)

With upsizing, complexifying and unifying in modern petro-chemical systems, the combined complexity among streams of mass, energy and information as well as among unit operations keeps increasing exponentially. P-graph theory has found widespread applications by generation of rigorous superstructures as a result of axiom constraints which may reduce creation of redundant structures. This review on P-graph theory began with the mathematical definition, fundamental axioms, solution algorithms and workflow, and a case study to show the modeling framework and graphic representation. A literature study of past 20 years’ publications systemically summarized application of P-graph theory in traditional process system engineering of separation network synthesis, reaction path synthesis and heat exchange synthesis, and recent expansion in new areas of process technology selection, supply chain and process optimization. The advantages and disadvantages of P-graph theory and mathematical programming were compared, and improving ideas were proposed to solve nonlinear problems with P-graph theory. The prospective research and application of P-graph theory were forecasted, including multi-objective optimization in consideration of economic and environmental factors, effective solution of large complex nonlinear programming problems by the combination of both P-graph and mathematical programming, and other potential applications.

P-graph; process network synthesis; system engineering; model; optimization

2016-02-02.

Prof. HE Gaohong, hgaohong@dlut.edu.cn

10.11949/j.issn.0438-1157.20160154

TQ 021.8

A

0438—1157（2016）10—4029—11

国家自然科学基金项目（21206014, 21125628, 21527812）；国家留学基金项目（201506060258）；中央高校基本科研业务费专项基金项目（DUT14LAB14）；中国石油化工股份有限公司资助项目（X514001）；教育部长江学者奖励计划项目。

2016-02-02收到初稿，2016-07-08收到修改稿。

联系人：贺高红。第一作者：肖武（1977—），男，博士，副教授。

supported by the National Natural Science Foundation of China (21206014, 21125628, 21527812), the Project of China Scholarship Council (201506060258), the Fundamental Research Funds for the Central Universities (DUT14LAB14), the Project of the China Petroleum and Chemical Corporation (X514001) and the Changjiang Scholars Program.