初中数学图形变换方法的类型及应用探究

刘志林

初中数学教学需要重视创新教学模式，引导学生在去观察图形的平移、轴对称、旋转等相关图形变换规律，促进学生将理论与实践相结合，从而有效构建出图形变化与运动的基本规律.

一、图形平移变换的理论和应用

1. 理论引入

图形平移变换就是在同一平面内对相关点、线或者是面进行平移，平移的过程中，移动的点、线、面上的各点都具有相同的移动向量. 除了需要运用平移解决问题，学生还需要掌握平移作图技巧，实践作图过程，有效结合现实生活中的图形平移变换进行欣赏、分析与运用，实施简单图案的设计，提升学生综合能力.

2. 案例说明

2.1 案例分析

例1 在右图六边形ABCDEF中，AB∥ED，AF∥CD，BC∥FE，AB = ED，AF = CD，BC = EF，又有对角线FD⊥BD，FD，BD长度分别为24 cm，18 cm，求该六边形的面积？

分析过程 题目中实质上给出了三对平行且相等的线段组AB与ED、AF与CD、EF与BC，该六边形图形面积的计算首先想到了分割图形，而实质解答过程中，题目中给出的数据又只有两个，如何将有用的已知数据与这三组平行且相等结合起来，就需要运用到平移知识.

2.2 案例解答

将△BCD平移到△GAF位置，作出右图辅助线进行分析. 由GA与CD平行且相等，传递出GA与EF也平行且相等，而同时AB与ED也平行且相等，所以△GAB与△FED也是两个大小形状相同的三角形. 所以六边形ABCDEF的面积可以划分为三部分四边形ABDE、△BCD、△DEF，转换为三部分四边形ABDE、△GAF、△GAB，结合FD⊥BD，得出六边形ABCDEF面积为S = FD × BD = 24 × 18 = 432 cm2.

2.3 案例总结

在初中数学相关图形面积计算、几何证明、代数式证明相关问题的解答过程中，图形的平移变换起到了画龙点睛的作用，有效将图形进行巧妙分割与组合，使得解题过程更加方便快捷.

二、图形轴对称变换的理论和应用

1. 理论引入

关于轴对称相关问题比较多，主要是关于图形轴对称识别、转换之后的计算等. 考查问题一般为将简单的平面图形经过一次、二次或者更多次的轴对称之后其变换后图形，或者结合轴对称的相关性质分析纸片的折叠、添加小方块后构成轴对称等.

2. 案例说明

2.1 案例分析

例2 将右图添加一个小方块，使得其构成轴对称图形，请用三种方法添加.

例3 将矩形ABCD沿着AE直线折叠，使得D点落在BC边上F点处，CE = 3 cm，AB = 8 cm，求右图中阴影部分面积为多少？

分析过程 例2是简单的添加方块的题目，结合轴对称的性质就可以得到相关答案. 例3是与轴对称相关的图形对称与面积计算相关问题，解答过程中，需要分析出对称轴、对称轴引出的图形中线段相关关系，以及要求出面积可以划分为几个部分等.

2.2 案例解答

例4 结合图形中对称轴为AE，可以知道，EF = DE，AD = AF，所以也可以得出，DC = DE + EC，也就是8 = DE + 3，得出DE = 5 cm = EF. △EFC中，由勾股定理得出CF = 4 cm. 结合△ABF中，AF2 = AB2 + BF2，且AF = AD = BF + 4，得出BF = 6，阴影部分面积为△EFC与△ABF面积之和. 计算出为30 cm2.

2.3 案例总结

对于例2，这是一道简单的轴对称性质分析的题目，例3是关于平行四边形折痕的相关问题，结合折叠前后这两个三角形全等，很容易的可以发现相关相等线段，再运用勾股定理就可以得出相关线段长度. 图形变换中的折叠问题，是轴对称图形中的重要考法，立意新颖，对培养学生的识图能力、分析能力、灵活转换等能力有重要作用.

三、图形旋转变换的理论和应用

1. 理论引入

旋转变换是基于中心对称变换的相关问题，它的理论基础是将一个图形基于某一点进行旋转，或者是分析两个图形甚至多个图形的旋转对称问题. 每个点经过旋转后都能找到对应点，同时，每对对应点与旋转中心，都能构成旋转角. 关于旋转问题的应用与考察，一般是有关旋转变换的证明问题、计算问题等，进行简单的作图、图案设计等.

2. 案例说明

2.1 案例分析

例5 右图等边△ABC内有一点P，PA = 2，PC = 4，PB = 2，求BC的长.

分析 如果只是观察原始图形，可能会感觉到无从下手，三个已知线段长度都不在一个小三角内，而内部点P具有随意性，而结合图形变换中的旋转变换方法，就可以实现问题解决.

2.2 案例解答

等边△ABC，将△PBA绕着点B旋转60°，旋转到虚线位置，由旋转可以知道BM = BP，MC = PA. 结合等边三角形以及旋转角度∠MBC与∠PBA相等，从而∠MBP = 60°，结合BM = BP，得出等边△BMP，PM = PB = 2，△CMP中，結合线段关系MC = PA = 2，PM = 2，PC = 4，得PC2 = MC2 + MP2，∠CMP = 90°，∠CPM = 30°，结合∠MPB = 60°，得出∠CPB = 90°，由勾股定理求出BC = 2.

2.3 案例总结

本例题是旋转相关例题，解题过程结合了旋转的基本性质、勾股定理、角度计算、三角形角度与边长之间的联系等一些知识. 求解过程中，应用图形变换基本性质，综合各方面的数学知识，有效理清解题主线，得出问题的解决策略.