时频栅格误差条件下的双基地MIMO雷达角度估计

黄中瑞, 周青松, 张剑云

(电子工程学院, 安徽 合肥 230037)



时频栅格误差条件下的双基地MIMO雷达角度估计

黄中瑞, 周青松, 张剑云

(电子工程学院, 安徽 合肥 230037)

研究了时频栅格误差引起的匹配滤波器失配下双基地多输入多输出(multiple-inputmultiple-output,MIMO)雷达的角度估计问题。首先,建立了存在时延和多普勒频率栅格误差条件下的双基地MIMO雷达信号模型;其次,推导了正交频分复用线性调频信号和相位编码信号的栅格误差失配矩阵,并分析了其对目标收发角度估计的影响;再次,针对正交频分复用线性调频信号,提出了平行因子和最小二乘相结合的发射角度估计算法,该方法能够有效减小栅格误差失配矩阵对发射角度估计的影响;最后,仿真实验表明,栅格误差失配矩阵对相位编码信号的角度估计影响较小,但对正交频分复用线性调频信号的发射角度估计则会产生较大的影响,从而进一步验证了理论分析的正确性。

双基地多输入多输出雷达; 栅格误差失配矩阵; 角度估计; 平行因子算法; 最小二乘算法

0　引　言

多输入多输出(multiple-inputmultiple-output,MIMO)雷达是近年来提出的一种新型体制雷达[1]。MIMO雷达的每个阵元可以独立发射波形因而具有更高的自由度[2-4],同等阵元配置条件下与相控阵雷达相比,在目标检测和参数估计方面具有更加优越的性能。MIMO雷达按照配置方式分为统计MIMO雷达和单(双)基地其中双基地MIMO雷达。统计MIMO雷达[5]的阵元空间分布较远,能够获得空间分集增益,可有效提高对闪烁目标的检测性能。单(双)基地MIMO雷达[6]的收发阵元采用相干配置,能够获得波形分集增益,可有效改善目标参数的估计精度,提高最大可识别目标的数目。本文主要以双基地MIMO雷达的角度估计为研究对象。

双基地MIMO雷达的收发阵列是分开配置,两者相对目标的视角可能相差很大,因而需要同时估计出目标的发射角度(directionofdeparture,DOD)和接收角(directionofarrival,DOA),另外还需考虑同一个目标收发角度的配对问题。文献[7]基于Capon算法利用二维空间搜索方法实现了目标的收发角度联合估计,但是该方法的缺点是计算量太大。文献[8]将线性阵列的旋转不变性(estimationofsignalparametersviarotationalinvariancetechniques,ESPRIT)算法扩展到了MIMO雷达的收发角度估计中,但需额外的配对算法。文献[9-11]分别利用降维多重信号分类(multiplesignalclassification,MUSIC)、共轭ESPRIT和多项式求根方法对目标的收发角度进行了估计,进一步降低了算法的计算量。文献[12]利用双基地MIMO雷达接收数据的匹配输出具有三面阵模型特性,基于平行因子(parallelfactor,PARAFAC)算法实现了运动目标收发角度和多普勒频率的联合估计,由于在迭代过程中能够给出各个求解变量的最小二乘闭式表达解,因而具有较低的运算法复杂度,此外,该方法能够实现收发角度的自动配对。文献[13]在上述估计算法的基础上,进一步考虑了阵列天线间存在互耦影响下的收发角度估计,利用循环算法实现了角度和互耦矩阵的迭代优化,但该方法的优化性能对初始点选择十分敏感,致使算法的稳健性不佳。文献[14]基于互耦矩阵的对称Toeplitz结构,提取出收发旋转不变因子,在得到收发角度的基础上通过求解二次优化问题获得了对互耦系数的估计值。

但是,上述文献均没考虑匹配滤波器失配情形下的双基地MIMO雷达角度估计问题。在对目标角度估计之前,需要对MIMO雷达的接收数据进行匹配滤波,如果预先估计的目标时延和多普勒频率与目标真实值并不精确相等,便会存在时延补偿误差和多普勒频率补偿误差。这势必造成目标角度信息畸变,如还用传统方法对目标角度进行估计,其性能将急剧下降。所以研究匹配滤波器失配下的双基地MIMO雷达角度估计是一个具有重要理论意义的课题。目前国内外仅有献[15]对此问题进行了研究。文献[15]建立了匹配滤波器失配下的信号模型,并通过仿真实验分析了失配效应对模糊函数、波束形成以及角度估计的影响。遗憾的是该文并没有从理论上分析失配效应对MIMO雷达参数估计的具体影响。

本文在文献[15]的基础上,考虑匹配滤波器的时延和多普勒频率栅格误差失配对目标角度估计的影响。首先,从理论上建立多目标不同时延和多普勒频率栅格误差情形下MIMO雷达的统一信号模型;其次以正交频分复用线性调频(orthogonalfrequencydivisionmultiplexinglinearfrequencymodulation,OFDM-LFM)信号和相位编码(phasecoded,PC)信号为例,探讨了栅格误差失配矩阵对目标角度估计的影响,并且得到了此影响与MIMO雷达具体发射信号形式有关的结论;再次,提出一种平行因子-最小二乘(parallelfactor-leastsquares,PARAFAC-LS)算法对目标的发射角度进行估计,有效减小了发射信号为OFDM-LFM信号时,栅格误差失配矩阵对目标发射角度估计的影响,而且所提方法能够实现目标收发角度的自动配对。

1　MIMO雷达信号模型

考虑一双基地MIMO雷达,其发射阵列和接收阵列均为均匀线阵,阵元数分别为M和N,阵元间距分别为dt,dr,阵列配置如图1所示。为讨论方便,假设dt=dr=λ/2(λ为波长)。发射、接收阵列之间的基线距离为D,且D≫λ。在空间远场同一距离单元内存在P个互不相关的目标,相应的发射、接收角分别记为φp与θp,其中-π/2≤θp,φp≤π/2, p=1,2,…,P。第m发射阵元归一化基带发射波形为sm(t),且不同发射信号之间近似满足正交特性,即

其中,T为基带波形的脉冲宽度,脉冲重复周期为Tr,则发射信号矩阵为S(t)=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T,(·)T表示向量(矩阵)的转置,(·)*表示向量(矩阵)的共轭。

图1　双基地MIMO雷达收发阵元配置图Fig.1　Schematic diagram of bistatic MIMO radar

其中发射阵元数目为M,接收阵元数目为,P个目标情况下,t时刻,N个接收阵元接收到第个脉冲的回波信号为

(1)

(2)

根据式(2)可得匹配滤波器组的输出为

(3)

式中,(·)H表示向量(矩阵)的共轭转置。

令

(4)

同时为了简化讨论,仍然假设发射信号近似满足正交性,因而Cp为一个对角阵,将式(4)代入式(3)可得:

(5)

根据式(5)可知,栅格误差失配矩阵C会导致发射导向矢量产生畸变,从而使发射角度估计产生偏差,所以对C进行分析并寻找相应的发射角度校正算法是一个亟待解决的问题。

2　栅格误差失配矩阵对发射角度估计的影响

由文献[15]可知,不同形式的发射信号其量化失配误差矩阵也是不一样的,本文主要以OFDM-LFM信号和正交多相位码(polyphase orthogonal code,PC)信号为例,分析栅格误差失配矩阵对发射角度的影响。

2.1OFDM-LFM信号的栅格误差失配矩阵分析及其对发射角度估计的影响

假设MIMO雷达在发射端发射OFDM-LFM信号,即每个阵元发射一个窄带的线性调频信号,不同阵元发射的线性调频信号的中心频率不同。各个阵元的发射信号分别为

(6)

Cp=diag(cp)

(7)

式中,cp=[cp,1,cp,2,…,cp,M]T,此时,MIMO雷达的多普勒频率敏感问题与普通相位编码雷达类似的是,目标多普勒频率和时延误差影响了各个阵元发射信号与其回波信号间的相关性;不同的是,普通相位编码雷达的这种影响在数学上可以归结为一个复数加权,而MIMO雷达则为一个复数对角阵;所以两种影响对目标角度估计来说是有本质区别的,具体分析第p个目标的栅格误差失配矩阵的第m个对角元素为

(8)

式中

(9)

将式(8)和式(9)代入式(7)可得

(10)

由式(8)和式(9)可知,栅格误差失配矩阵对目标角度估计的影响主要表现在两个方面:一方面，随着时延和多普勒频率栅格误差的增大,γp的模值将会逐渐减小,致使接收信号的信噪比降低,从而在一定程度上影响目标收发角度的估计精度,本文将γp称为OFDM-LFM信号的信噪比损失因子;另一方面，栅格误差失配矩阵是一个对角阵,但是对角线各个元素的相位存在一个固定差值,因而相当于对发射导向矢量的各元素进行了不同的相位加权,致使发射导向矢量产生畸变,从而影响目标发射角度的估计性能,但对接收角度无影响。

进一步给出第p个目标受失配矩阵扭曲的发射导向矢量为

(11)

从式(11)可知,失配矩阵对发射导向矢量的各个元素附加了一个新的相位,附加相位的增量与标号km∈[0,1,…,M-1],m=1,2,…,M有关,当km与阵元标号同步变化时,不同阵元间的时延栅格误差引起的相位差增量与波程差的相位增量变化一致,这种耦合致使扭曲导向矢量仍然具有旋转不变特性,不过其对应的角度已不是目标的真实角度,对于这种耦合一般的算法难以解决。当km与阵元标号异步变化时,不同阵元间的时延栅格误差引起的相位差增量与波程差相位增量变化也不一致,对于这类问题的角度估计可以采用平行因子分析和最小二乘相结合(PARAFAC-LS)算法进行解决,本文将在第3节对这个问题进行深入研究。

2.2PC信号的栅格误差失配矩阵分析及其对发射角度估计的影响

第2.1节推导了OFDM-LFM信号的栅格误差失配矩阵,并从理论上分析了其对发射角度估计的影响,本节在此基础上进一步分析PC信号的栅格误差失配矩阵及其对发射角度估计的影响。假设MIMO雷达的发射信号为相位编码信号,发射阵元数为M,每个阵元发射信号的编码长度为L,第m个阵元发射信号的复包络可以表示为

(12)

(13)

式中，IL为L维方阵。同时定义M维的方阵Zp,q,其中第(p,q)个元素为1,其余元素为0,则

(14)

式中,⊗为Kronecker积；Jp,q,k为LM维的方阵。

根据式(13)和式(14)可将发射信号的非周期自相关和互相关函数表示成向量相乘的形式

(15)

(16)

假设所采用的相位编码信号近似满足正交性,即

(17)

由于相位编码信号是时域正交信号,各个阵元的信号带宽近似一致,可视为一个窄带系统,因而采用临界采样率对接收信号进行离散化,亦即采样间隔为发射信号的子码宽度τs。为了讨论的方便,以第p个目标为例进行分析,结合式(4)和式(15)可以给出第p个目标的栅格误差失配矩阵的第m个对角元素为

(18)

式中,S′=S∘Ω,Ω=[1,e-j2πΔfd,pτs,…,e-j2πΔfd,p(L-1)τs,…,1,…,e-j2πΔfd,p(L-1)τs]T,“∘”为点乘。根据式(18)可得第p个目标的PC信号栅格误差失配矩阵为

(19)

由于PC信号的栅格误差失配矩阵是一个加权的单位阵,因而其对发射导向矢量各个元素的相位进行同一加权,故不会影响发射导向矢量的旋转不变性,但是当存在多普勒频率栅格误差时,κp的模值会小于1,致使接收信噪比的下降,从而导致目标收发角度估计性能的下降,本文将κp称为PC信号的信噪比损失因子。

3　基于PARAFAC-LS的多目标收发角度估计

对于角度估计来说,栅格误差失配矩阵把发射阵元的导向矢量进行了线性组合,特别是对OFDM-LFM信号而言,其导向矢量已不再具有与真实目标位置一一对应的旋转不变性。传统的MUSIC算法和ESPRIT算法已无法对目标角度进行精确估计,为避免此失配矩阵对目标角度(特别是发射角度)估计的影响,本文采用PARAFAC-LS算法对此问题进行解决。需要说明的是,虽然下文方法主要针对OFDM-LFM信号提出,但是对PC信号的角度估计同样适用。

3.1基于PARAFAC的收发角度导向矢量估计

式(5)给出了第个脉冲回波信号的匹配输出,对其按列拉直可得:

(20)

结合式(20)可以得到L个脉冲接收回波信号的匹配滤波输出为

(21)

(22)

获得张量χ的3个LMV纵向展开表达式后,利用交替迭代最小二乘(trilinearalternatingleastsquares,TALS)算法对等效发射矩阵A′(φ)和接收矩阵B(θ)进行估计,考虑到篇幅的限制本文不再对张量χ满足典范/平行因子(candecomp/parafac,CP)分解的唯一性进行证明,直接给出给出TALS迭代流程:

步骤 1根据式(21)推导出三阶张量χ沿收发角度方向上LMV纵向展开矩阵,如式(22)所示。

步骤 2给出因子数P和误差门限ε>0。

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

由于栅格误差失配矩阵对接收导向矢量的相位因子没有影响,因而可以直接根据接收导向矢量的估计值对接收角度进行估计:

(30)

式中,angle(·)表示取相位操作。对目标的发射角度而言,栅格误差失配矩阵对目标真实发射角度对应的导向矢量进行了改变,因而无法采用类似式(30)的方法进行估计。

3.2基于LS的目标发射角度估计

(31)

(32)

只要MIMO雷达阵元发射的OFDM-LFM信号的频率步进值不随阵元标号依次递增(减),则T便为列满秩矩阵,故可以得到式(32)的闭式LS估计为

(33)

根据式(33)可求得第p个目标的发射角度的估计值为

(34)

按照式(31)～式(34)对所有发射导向矢量进行计算,便可求得所有目标的发射角度,需要说明的是:利用PARAFAC估计出的收发导向矢量和目标具有一一对应的关系,因而基于PARAFAC-LS算法求得的目标收发角度能够实现自动配对。

4　仿真实验

假设双基地MIMO雷达的发射阵列和接收阵列均采用线性配置,阵元间距均为半波长,发射阵元数目M=10,接收阵元数目(φ2,θ2)=(4°,2°),为了表述方便,将受栅格误差失配矩阵影响的目标收发角度估计记为W-DOA和W-DOD,理想匹配滤波下目标收发角度估计记为B-DOA和B-DOD,存在栅格误差失配矩阵时,利用本文算法估计的目标收发角度估计记为J-DOA和J-DOD,分别给出如下仿真实验。

实验 1栅格误差失配矩阵对目标角度估计影响的性能分析

MIMO雷达分别发射OFDM-LFM信号和PC信号,参数分别设置如下:OFDM-LFM信号,各个阵元的码元宽度为20μs,码元内线性调频信号的调频斜率为5×1010,不同阵元的频率步进间隔为1MHz,两个目标的时延和多普勒频率栅格误差分别为0.5μs和50Hz,信噪比为10dB,各个阵元的频率步进倍数分别为[0,1,2,3,4,9,8,7,6,5];PC信号,各个阵元的码长为64,子码宽度为1μs,两个目标的时延和多普勒频率栅格误差分别为0.5μs和50Hz,信噪比为10dB,角度估计算法均为MUSIC算法,空间远场存在两个不相干的目标,其收发角度分别为(φ1,θ1)=(-3°,-2°)和(φ2,θ2)=(5°,3°),发射脉冲的个数为100。

图2和图3分别给出了双基地MIMO雷达发射信号分别为PC信号和OFDM-LFM信号时,MUSIC算法的三维谱估计图。

图2　PC信号MUSIC算法的三维谱估计图Fig.2　Estimation of the three-dimensional spectrum via MUSIC method of PC signal

图3　OFDM-LFM信号MUSIC算法的三维谱估计图Fig.3　Estimation of the three-dimensional spectrum via MUSIC method of PC signal

从图2和图3可知,在时延和多普勒频率栅格误差相同的条件下,发射信号为PC信号时,利用MUSIC算法能够精确的估计出两个不相干目标的收发角度,而当发射信号为OFDM-LFM信号时,则无法准确估计出目标角度,其误差集中体现在对目标的发射角度估计上,这与理论分析是一致的,即:①栅格误差失配矩阵对目标角度估计的影响与MIMO雷达发射信号的具体形式有关;②栅格误差失配矩阵对目标角度估计的影响主要体现在两个方面,一是随着时延和多普勒频率栅格误差的增大,OFDM-LFM信号的信噪比损失因子模值逐渐变小,如图4所示,降低了接收信号的信噪比,使得目标收发角度估计的性能恶化;另一方面,栅格误差失配矩阵对目标的发射导向矢量进行了加权,破坏了其与目标真实角度之间的一一对应性,因而对目标的发射角度估计产生了严重的影响。

图4　OFDM-LFM信号信噪比损失因子随时延补偿误差变化图Fig.4　SNR loss factor of OFDM-LFM signal versus time-delay compensation error

从图4可知,在时延补偿误差小于0.1μs时,信噪比损失因子均在0.95以上,随着时延补偿误差的进一步降低,信噪比损失因子则迅速下降,当时延补偿误差为0.5μs时,信噪比损失因子为0.65左右,也就是说,当时延和多普勒频率栅格误差较小时,信噪比损失因子对接收信号信噪比的降低可以忽略不计,此时导致图3中发射角度估计性能恶化的主要原因是,时延补偿误差引起的相位变化对发射导向矢量的各个相位进行了不同的叠加,致使其不在具有与真实角度一一对应的旋转不变性。

图5和图6进一步分析了时延补偿误差变化对发射角度估计的影响,其中,信噪比为20dB,其收发角度分别为(φ1,θ1)=(-6°,-4°)和(φ2,θ2)=(-2°,-1°),发射脉冲的个数为100,两个目标的时延和多普勒频率栅格误差分别为[0.001μs,0.1μs]和100Hz,其余仿真条件不变。

图5　目标1角度估计性能随时延补偿误差变化Fig.5　Performance of the angles of the target 1 　versus time-delay compensation error

由图5和图6可知,随着时延补偿误差的增加,目标接收角度的估计性能只是略微下降,其原因是受到信噪比损失因子的影响,这与图4的结论是一致的。而目标的发射角度估计性能随着时延补偿误差的增加将极具恶化,主要原因是栅格误差失配矩阵对发射导向矢量进行了改变,特别是在时延补偿误差较大时,将无法准确对目标的方向进行定位,因而给出一种能够克服这种影响的角度估计算法是一个亟待解决的问题。

图6　目标2角度估计性能随时延补偿误差变化Fig.6　Performance of the angles of the target 2 　versus time-delay compensation error

实验 2基于PARAFAC-LS算法的角度估计

本节对文中提出的PARAFAC-LS算法对目标收发角度估计的有效性能进行仿真实验,以进一步说明所提方法的正确性,仿真条件同实验1,蒙特卡罗实验次数为100次。

图7～图9分别给出了不同条件下目标收发角度估计的星座图,其中,+表示真实的目标位置。比较图8和图9可知,存在栅格误差失配矩阵时,利用传统的PARAFAC算法无法对目标的角度进行精确估计,而角度偏差主要体现在目标的发射角度估计上,而利用本文提出的PARAFAC-LS算法则能有效克服栅格误差失配矩阵对发射角度估计的影响。比较图7和图8可知,虽然采用本文算法能够对目标的角度进行估计,但是其估计精度与匹配滤波器理想匹配时相比,有一定程度的下降,这是因为时延和多普勒频率栅格误差影响了接收信号的信噪比,同等实验条件下相当于降低了发射信号的能量。图10和图11进一步仿真了收发角度估计的均方根误差(root-mean-squareerror,RMSE)随信噪比的变化,其中,信噪比的变化范围为[-40dB,20dB],其余仿真条件不变。

图7　匹配滤波器理想匹配时角度估计的星座图Fig.7　Constellation of the angles under the matching filter

图8　存在栅格误差失配矩阵时基于本文算法的角度估计星座图Fig.8　Constellation of the angles based on the proposed method with the grid error mismatch matrix

图9　存在栅格误差失配矩阵时文献[12]算法的角度估计星座图Fig.9　Constellation of the angles based on the reference 12 method with the grid error mismatch matrix

图10和图11分别给出了空间两个不相干目标收发角度估计RMSE随信噪比的变化图,从中可知,在各个不同信噪比条件下,利用本文所提PARAFAC-LS算法估计出的目标收发角度均能获得相对较好地RMSE,并且随着信噪比的增加RMSE依次减小,这与匹配滤波器理想匹配时是一致的,也进一步说明了所提方法能够有效解决栅格误差失配矩阵对目标发射角度估计产生的影响。

图10　目标1收发角度估计RMSE随信噪比变化Fig.10　RMSEs of the angles of the target 1 versus SNR

图11　目标2收发角度估计RMSE随信噪比变化Fig.11　RMSEs of the angles of the target 2 versus SNR

5　结束语

针对MIMO雷达匹配滤波器在实际中不能进行理想匹配的情况,分析了时延和多普勒频率栅格误差对目标收发角度估计的影响。首先,建立了存在时延和多普勒频率栅格误差时MIMO雷达的接收信号模型;其次,分别以OFDM-LFM信号和PC信号为例,从理论上推导了两种信号匹配滤波时的栅格误差失配矩阵,并在此基础上分析了其对目标收发角度估计的影响,研究表明:栅格误差失配矩阵对PC和OFDM-LFM信号都会造成接收信号信噪比的下降,从而对目标的收发角度估计性能产生一定的影响,但在时延和多普勒频率栅格误差较小时,这种影响可以忽略。特别是对于OFDM-LFM信号,栅格误差失配矩阵会造成目标发射导向矢量的畸变,使其不再具有与真实目标一一对应的旋转不变性,因而会对目标发射角度的估计产生严重影响;再次,为了克服OFDM-LFM信号栅格误差失配矩阵对目标发射角度产生的影响,提出了PARAFAC-LS角度估计算法,该方法基于接收信号具有的三面阵特性,先利用PARAFAC算法估计出目标的接收角度和发射导向矢量,然后利用LS算法对目标的发射角度进行估计,从而有效避免栅格误差失配矩阵对发射导向矢量产生的畸变;最后,仿真实验验证了理论分析的正确性。

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Angle estimation of bistatic MIMO radar under the time frequency grid error

HUANG Zhong-rui, ZHOU Qing-song, ZHANG Jian-yun

(Electronic Engineering Institute, Hefei 230037, China)

Theangleestimationforbistaticmultiple-inputmultiple-output(MIMO)radarunderthemismatchfilterinthepresenceoftimefrequencygriderrorisstudied.Firstly,thesignalmodelforbistaticMIMOradarunderdelayandDopplerfrequencygriderrorisbuilt.Secondly,thegriderrormismatchmatrixoforthogonalfrequencydivisionmultiplexinglinearfrequencymodulationsignalandphasecodedsignalareconstructedandtheeffectitpayontheangleestimationareanalyzed.Furthermore,theparallelfactoranalysisandtheleastsquaresmethodarecombinedtoestimatethetransmitanglefortheorthogonalfrequencydivisionmultiplexinglinearfrequencymodulationsignal.Theeffectonthetransmitangleestimationcausedbythegriderrormismatchmatrixcanbereducedbyusingtheproposemethod.Finally,simulationresultsdemonstratethat,theimpactofthegriderrormismatchmatrixontheangleestimationinphasecodedsignalislittle,butfortheorthogonalfrequencydivisionmultiplexinglinearfrequencymodulationsignalisinreverse,whichillustratesthevalidityofthetheoryanalysis.

bistaticmultiple-inputmultiple-output(MIMO)radar;griderrormismatchmatrix;angleestimation;parallelfactormethod;leastsquaresmethod

2015-08-06；

2016-01-25；网络优先出版日期：2016-05-03。

国家自然科学基金(61201279)；安徽省自然科学基金(1408085MF128)资助课题

TN958

ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.10.07

黄中瑞(1988-),男,讲师，博士,主要研究方向为阵列信号处理、MIMO雷达信号处理。

E-mail:18756073857@163.com

周青松(1982-),男,讲师,博士,主要研究方向为高速数字信号处理、凸优化理论。

E-mail:Zhouqingsong1207@gmail.com

张剑云(1963-),男,教授,博士,主要研究方向为雷达及目标环境模拟、雷达信号处理、高速信号处理。

E-mail:jyzh@vip.sina.com

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