含两个荷控忆阻器的五阶混沌电路研究

王 维，陈 争，李 鑫，曾以成



含两个荷控忆阻器的五阶混沌电路研究

王 维1，陈 争2，李 鑫1，曾以成1

（1. 湘潭大学 微电子科学与工程系，湖南 湘潭 411105；2. 75714部队，湖南 衡阳 421900）

忆阻器作为一种具有记忆功能的新型非线性元件，被广泛应用于非线性电路系统设计中。利用两个基于荷控光滑模型的忆阻器以及采用常见的线性电子元件电感、电容、负电阻等设计了一种新的五阶混沌振荡电路。采用常规的系统动力学分析方法，分析了系统平衡点稳定性、相图、李雅普诺夫指数谱和分叉图，研究了系统随电路参数和荷控忆阻器初始状态变量变化的非线性动力学特性。Matlab数值仿真结果验证了理论分析的正确性。

混沌电路；相图；动力学；荷控忆阻器；非线性系统；数值仿真

忆阻器是继电容、电感和电阻之后的第四种基本无源双端口电路元件[1-2]，作为一种具有记忆功能的非线性元件[3-5]，其构成的电路具有易产生混沌振荡信号的优点[6]，因此含忆阻的混沌电路研究广受关注[7-10]。目前，对忆阻器的研究主要集中在含一个忆阻器的混沌电路[11-12]，对含有两个或多个忆阻器的混沌电路研究较少。由于含有两个或多个忆阻器构成的混沌电路具有更加复杂的拓扑结构并拥有更丰富的混沌动力学行为，因此在图像加密[13-15]和保密通信[16-17]等工程应用领域具有潜在的应用价值。针对多忆阻器混沌电路中的研究，包伯成等[18]于2011年首次提出了含两个三次光滑模型磁控忆阻的混沌电路设计，利用电容与磁控忆阻的并联，得到一个五阶混沌振荡电路；Buscarino等[19]采用两个互相并联的磁控型忆阻替换蔡氏二极管得到新混沌电路；Hong等[20]提出了利用惠普实验室荷控和磁控两种忆阻器模型设计了一个五阶混沌电路，通过数值仿真与电路仿真分析表明其相对于只含有一个忆阻器的混沌振荡电路具有更加丰富的动力学行为。

针对现有多忆阻器混沌电路研究大都是基于蔡氏电路以及分段型磁控忆阻器展开的，且电路形式以忆阻器与电容并联设计为主，电路结构较为单一[21-23]。笔者利用两个三次光滑模型荷控忆阻器设计了一个具有不同于蔡氏电路的新型五阶混沌电路，结合荷控忆阻器与电感的串联、电阻的并联两种形式。并将分别研究系统在随参数变化和忆阻器初始状态变化情况下的动力学行为，用数值仿真验证理论分析的正确性。

1 荷控忆阻器模型

为了研究忆阻器、忆阻器振荡电路的规律，以及对忆阻器电路仿真，需建立忆阻器模型。常用的忆阻器模型有分段线性型、二次或三次光滑型[24-26]，其中分段线性模型的忆导值是不连续的，从物理上实现这种类型的忆阻器不太现实，因此本文采用三次光滑荷控忆阻器模型。忆阻器作为一个二端口元件，定义表达式为：()=()/d，端口伏安特性表达式为：=()，其中()为忆阻值，为忆阻器内部磁通，为流经忆阻器电荷。

本文的荷控型忆阻均采用光滑非线性三次连续的单调上升函数来描述，表达式如下：

忆阻为：

式中：、为常量，且>0，>0，因此为无源二端口忆阻器[27]。

2 利用两个荷控忆阻设计的混沌电路

利用经典蔡氏电路[28]进行拓扑对偶，得到其拓扑对偶电路如图1(a)。在此基础电路上用一个荷控忆阻，同时将另外一个荷控忆阻器与电阻R并联处理，忆阻器替换蔡氏二极管并且在此支路串联一个负电阻得到图1(b)所示电路。新电路由五个动态元件构成，内部状态变量分别为1、2、1、1和2。此处1和2为两个荷控忆阻12内部状态控制变量。

图1 两荷控忆阻振荡电路

根据基尔霍夫电流定律、电压定律，可推出图1(b)电路中五个动态元件各自对应的状态方程：

式中两个忆阻器的忆阻分别为：1=1+312，2=1+322。

将上述(3)方程组进行无量纲归一化，设=1，=2，=1，=1，=2，=1/1，=1/，=1，=1/，1/2=1，代入方程组(3)，方程组归一化的无量纲状态方程可写为：

式中：、、、、为系统状态变量；、,、、为电路参数；1=1+32，2=1+32。

给定电路参数=8，=–10，=2，=0.25 ，初始状态（0.1, 0.0001, 0, 0, 0），利用龙格库塔算法得到系统在各相平面产生的投影相图如图2所示。

利用Jacobi方法计算李雅普诺夫指数谱得1=0.386 42，2=0.000 35，3=–0.000 11，4=0.000 45，5=–6.126 30，李雅普诺夫维数L=4.063随时间变化的系统整体李雅普诺夫指数谱如图3(a)所示，两者指数基本吻合，验证了Jacobi方法所得结果的正确性；、、、四个状态量在时域下波形如图3(b)，波形是非周期的。因此从五阶荷控忆阻振荡电路的相图、李雅普诺夫指数谱与维数以及时域波形分析，可以体现该电路确实是可以产生丰富混沌动力学行为的混沌电路。

图3 李雅普诺夫指数谱和时域波形图

3 电路动力学特性分析

3.1 系统平衡点与稳定性分析

令(4)式各微分方程右边为零，即：

可得系统平衡点集：

即在-平面上的任一点都是该系统的平衡点，(6)式中1，2为实常数。给定电路参数=8，= –10，=2，系统初始状态（0.1, 0.000 1, 0, 0, 0），选择1，2和作为可调参数，得(4)式在平衡点集合处的Jacobi矩阵S为：

平衡点集合对应的特征根方程为：

式中：

根据特征方程(8)可以得到：系统(4)含有3个非零特征根与2个为零的特征根。(8)式中，括号内的三次多项式方程系数均是非零实常数，依据Routh-Hurwitz稳定判据，该三次多项式方程所有根均具有负的实部的充要条件为：

(10)式中，=1，2，3时，则有：

令1=0，则在1-2构成平面的2坐标轴上对应不稳定的范围是：

|2|<0.275 3 （12）

令2=0，则在1-2构成平面的1坐标轴对应不稳定的范围是：

|1|<0.267 4，0.410 5<|1|<0.585 6 （13）

选取相应电路参数=8，=–10，=2，=0.25，以及系统初始状态取值为(0.1，0.000 1，(0)，(0))，其中(0)与(0)是取定的两个可变参数。当取(0)=0时，五阶系统(公式(4))随初始值(0)=1变化的李雅普诺夫指数谱如4(a)图所示；当取(0)=0时，五阶系统随初始值(0)=2变化的李雅普诺夫指数谱如4(b)图所示，图4(a)考虑到图片的清晰度，故舍去了部分曲线。

对于含有两个忆阻器的混沌振荡电路，混沌电路系统的稳定性不仅受平衡点集合的三个非零特征根影响，而且其另外两个取值为零的特征根在一定的电路参数取值下也会对两荷控五阶忆阻器混沌振荡电路的动力学特性产生一定的影响。如图4中所示李雅普诺夫指数谱仿真结果和上所论述分析结果在区间0.56<1<0.575以及区间–0.575<1<–0.56不同，在这两个区间内系统为稳定的汇，系统(4)平衡点集存在两个零特征根的影响是造成该差异的原因。

图4 随初始状态k1、k2变化的李雅普诺夫指数谱

3.2 电路参数的影响

对混沌振荡电路动力学行为，采用李雅普诺夫指数谱和系统分叉图等常规系统动力学分析方法，对图1所示两荷控五阶忆阻混沌电路随电路参数变化的动力学行为进行研究与分析。

选取参数=8，=–10，=0.25，系统(4)初始状态(0.1, 0.000 1, 0, 0, 0)，其中作为可变参数，即通过调节电阻阻值1研究系统动力学行为的变化。随参数在[1.9,2.9]区间增加变化时的状态变量分叉图和李雅普诺夫指数谱分别如5(a)、5(b)图所示。

图5(a)中为了更清晰地呈现非负李指数，因此绘图时第五根Lyapunov指数曲线舍去，没有绘出。同时为了更精准观察分叉特性，给出∈[1.9,2.1]较小范围的分叉图，如图5(c)所示。

观察图5随电路参数变化的李雅普诺夫指数谱和分叉图，图5(a)图和(b)图中各自运行轨线所体现系统稳定与不稳定状态区域是互相吻合的。需要指出的是，两荷控忆阻振荡电路在周期振荡时，其最大李指数并不是一个负值，而是一个接近零的正值。图5(b)可以观察到，混沌系统(4)通往混沌的整个过程。系统由一个有界点转变为不稳定的周期轨，经过倍周期分叉由周期轨走向混沌轨，最终成为一个有界点。从图5(c)中，系统很明显存在若干周期窗口，随参数变化的动力学分析于表1列出。

=图5 随电路参数κ变化的李雅普诺夫指数谱和分叉图

表1参数在区间[1.9，2.9]的系统动力学行为分析

Tab.1 The analysis of dynamics behaviors with κ in the interval [1.9, 2.9]

系统(4)产生的周期轨和混沌轨在平面的投影如图6所示。其中各个子图对应的相图和电路参数分别是：图6(a)为周期一极限环（=1.925），图6(b)为周期二极限环（=1.935），图6(c)为单涡卷混沌轨（=1.969），图7(d)为单涡卷混沌轨向双涡卷混沌轨过渡阶段（=1.969 6），图6(e)为双涡卷混沌轨（=1.969 7），图6(f)为周期五轨道（=1.995 9）。图6(a)与(b)周期一、周期二极限环与分叉图中系统倍周期分叉行为完全吻合，图6(c)、(d)分别出现单涡卷与双涡卷混沌轨道与图5(a)中呈现的具有两个正的李指数区间相对应，比具有一个正的李指数时动力学行为更加丰富。图6(f)体现出了周期五混沌轨迹。

图6 系统随κ参数变化的动力学行为

3.3 忆阻器初始状态的影响

在含有两个或多个忆阻器的混沌电路系统中，忆阻器初始状态的不同，也会引起系统动力学特性的改变。借助李雅普诺夫指数谱，分叉图和-平面相图，分析系统初始状态改变对混沌振荡电路的影响。

对于系统(4)确定的各电路参数值，选择系统初始状态值为(0.1,0.0001,0,0,(0))，其中选择(0)作为整个系统的控制参数，随初值(0)=在区间[0,0.4]变化的系统的李雅普诺夫指数谱与系统状态变量的分叉图分别如图7(a)、(b)所示。图7(a)从图片清晰度考虑，舍去了数值较小的第5根李雅普诺夫指数曲线。可以观察到李雅普诺夫指数谱和分叉图基本吻合。

图7 系统随初始状态ω(0)变化的李雅普诺夫指数谱和分叉图

图7(a)在0≤≤0.256时，系统李氏指数形式为（+，+，–，–），系统出现两个大于零的李氏指数，1≫2表明电路系统在这个区间段进入了混沌状态；当0.256≤≤0.262时，系统李氏指数形式为（+，+，–，–），系统具有两个正的趋于零的李氏指数，系统处于周期状态；当0.262≤≤0.40时，系统李氏指数形式为（+，–，–，–），系统具有一个正的趋于零的李氏指数，系统同样处于周期状态。图7(b)可以观察到，电路由混沌状态出现反倍周期分叉进入周期态。图8的-平面相图展示了系统(4)随初始状态变化时，系统由混沌状态反倍周期分叉进入周期状态的过程。

图8 系统随初值ω(0)变化的动力学行为

4 结论

采用两个无源二端口具有光滑特性曲线的荷控型忆阻器以及常用的电感、电容、负电阻等线性元件，设计了一个新的五阶混沌振荡电路。对电路各节点电流、回路电压分析，建立了新电路系统的五阶非线性动力学微分方程，进行了系统平衡点集稳定性理论分析，研究表明该五阶系统满足产生混沌现象的特性。选取合适的电路参数和系统初值进行仿真后，显示系统存在奇异吸引子现象并且平衡点集的稳定性由系统初始状态决定，验证了系统的初值敏感性。进一步借助李雅普诺夫指数谱、分叉图以及相轨图等动力学分析手段，详细分析了系统随电路参数与忆阻器初始值状态下系统进入混沌的特性，数值仿真验证了理论的正确性。同时，在分析中发现，含有两忆阻器的混沌振荡电路不同于一般的混沌电路系统，其稳定性不仅由平衡点集的非零特征根决定，在一定的电路参数下，零特征根对含有两忆阻混沌振荡电路稳定性也有很大的影响。本文研究的基于两荷控忆阻器的五阶混沌振荡电路对系统初值与电路参数具有很强的敏感性，故在微弱信号检测、混沌保密通信和电子测量等工程领域具有潜在的应用价值。

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（编辑：曾革）

Analysis of a five-order chaotic circuit with two charge-controlled memristors

WANG Wei1, CHEN Zheng2, LI Xin1, ZENG Yicheng1

(1. Department of Microelectronic Science and Engineering, Xiangtan University, Xiangtan 411105, Hunan Province, China; 2. 75714 Troops, Hengyang 421900, Hunan Province, China)

The memristor is a new nonlinear circuit component with unique memory characteristics, which is used to design nonlinear systems widely. A novel five-order chaotic oscillation circuit was constructed by two charge-controlled memristors and two inductors, a capacitor, a negative resistor. Analysis of equilibria stability, phase diagrams, Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagrams of the system were presented. The nonlinear dynamics of the system with the variation of circuit parameters and initial conditions of charge-controlled memristors were demonstrated by means of conventional methods. The simulation results on Matlab platform are well consistent with theoretical analysis.

chaos circuit; phase diagram; dynamics; charge-controlled memristor; nonlinear system; numerial simulation

10.14106/j.cnki.1001-2028.2016.07.021

TN918

A

1001-2028（2016）07-0091-07

2016-04-04

曾以成

国家自然科学基金资助项目（No. 61471310）

曾以成（1962－），男，湖南涟源人，教授，博士，研究方向为混沌微弱信号检测，E-mail: yichengz@xtu.edu.cn；

王维（1991－），男，湖南湘潭人，研究生，研究方向为非线性电路系统，E-mail: weiwang_xtu@126.com 。

2016-07-01 10:50:54

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1241.TN.20160701.1050.020.html