函数在教材中的特点及教学建议

王婷婷　张凌梓

摘 要：函数是数学中最基本的概念之一，是微积分、级数理论、解析几何、实变函数、复变函数等数学分支的主要研究对象，是中学及中学以上学生必修的内容。在实际生活中函数应用十分广泛，解决了很多领域中的难题并推进其发展。教材是学生学习的主要材料，是教师进行教学的主要依据。本文通过对初中、高中及大学三个阶段数学教材中所涉及的函数内容进行分析，总结了函数的概念、性质、发展在三个阶段中的变化，并依此对教师如何开展函数教学提出了切实的建议。

关键词：函数；教材；教学建议

函数是数学中最基本的概念之一， 函数论①更是数学的基本组成部分，欧拉在《无限小分析引论》中明确指出 “数学分析②是关于函数的科学”。在笛卡尔正式引入变量以后，变量和函数等概念就日益渗透到解释宇宙、光和热的传导、电磁揭秘以及探索天体运行规律等科技领域，仅仅一个高斯函数，在数学、自然科学、社会科学以及工程学等领域就都能看到它的身影。函数如此重要，其性质、种类之多，内容本身之抽象，应用之广泛，决定了函数内容在数学学习中的绝对重要地位。要想学好函数知识，相应的教材质量无疑处于举足轻重的地位。教材是根据课程计划、课程标准和学生接受能力编写的教学用书，是课程标准的具体化，是学生自学的有力辅助工具，更是教师进行教学的主要依据。优质的教材可以减轻师生课业负担，可以为师生的教与学提供基本依据和规范，可以为学好函数知识打下良好的基础。

一、函数在初中、高中、大学三阶段教材中的特点

本文选取人民教育出版社的初中《数学》[1]、高中《数学：必修一》[2]

和同济大学出版社的《大学数学：理工类》[3]这些运用广泛的数学教材，对其函数内容进行分析，归纳出以下特点。

1.概念界定不同

任何一门学科的知识都是由比较精确的概念构成，概念的精确程度是学科成熟程度的标志。函数概念的发展是个漫长的过程，从古希腊时期阿基米德在《论数砂》中研究数列关系引出“变量”的观念开始，到1673年德国数学家莱布尼茨首次提出“函数”（Function）概念，再到1837年德国数学家狄利克雷给出简明精确、突出函数本质的经典定义③，众多学者付出的艰辛与努力是不言而喻的。以下是上述三个阶段教材中函数的概念：

初中：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量（independent variable），y是x的函数（function）。

高中：一般的，我们有：设A、B是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一 个数x，在集合B中都有唯一确定的数

f（x）和它对应，那么就有f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f（x），x∈A。其中，x是自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；它所对应y值叫函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

大学：一般的，设x，y是两个变量，当x在某个数集D（即x的取值范围）内取任意一个确定的值，按照某个确定的对应关系f，y都有唯一的值与x对应，那么我们就说x是自变量，y是变量x的函数，数集D是这个函数的定义域。我们通常将y是x的函数记作y=f（x），x∈D。当自变量x在定义域中去确定的值a时，它所对应的函数值记作f（a），所有函数的值组成的集合叫做函数的值域。

从上述概念中我们可以看到，三个阶段的概念都突出了函数的本质，即变量之间存在一一对应的关系。初中阶段的函数概念为传统定义，仅提到两个变量间的简单对应；学习了集合概念后，高中和大学阶段的概念用的是现代定义，即两个非空集合或某个数集间的对应。

2.自变量的个数及次数逐步增加

不管是自变量的个数还是次数发生变化，函数的本质都没变，依然是两个变量之间的对应关系。对于自变量的个数，体现为依次增加。初、高中阶段常见的有一元函数与二元函数。到大学阶段，涉及自变量的个数超过两个的函数我们称之为多元函数；对于自变量的次数，同样依次增加，常见的有一次函数和二次函数。可见，在函数本质保持不变的情况下，自变量的个数和次数都在逐步增加。

3.内容渐趋复杂且由具体变抽象

内容的复杂程度增大：变量的个数与次数逐步增加也体现函数的复杂程度在增大。初中八、九年级我们只是简单学习一次函数、二次函数、正比例、反比例的概念及解决相关变量之间对应关系的问题。到高中阶段，除了学习相关概念，又认识了基本初等函数，接触了函数的一些重要基本性质。到大学阶段，在前两者的基础上对函数的认识更深一步：认识了更多的初等函数，变量由一元变为二元，函数的性质也被挖掘的更深更广。在此过程中最重要的变化，毋庸置疑就是根据对解析几何、物理等的直观问题的需要，引出了人类智慧最伟大的成就之一[4]、人类精神的最高胜利——微积分的概念。

内容由具体变抽象：初中和高中涉及得的章节都会有相应的实际问题与所学函数内容相对应，比如，学习了三角函数知识就可以帮助解决如何把自己的庭院合理规划的问题；学习了一元二次函数，就可以找出最值，当涉及利益时，就可以找到最优值得到最大利益。而大学的重点在于对概念弱抽象①、性质深化和内容抽象化上，比如，在初中的概念中只是简单点明函数的本质，定义域或值域都没有涉及，而在大学中明显感觉接触到了目不暇接的函数：桥函数、整函数、库函数、波函数、罚函数、解析函数、广义函数、半纯函数、椭圆函数、格林函数、哈尔函数等。

4.应用更广泛

函数的发展在很大程度上是基于物理、天文等学科上众多问题的出现，这些学科重在揭示世界奥秘、解决社会实际问题，所以随着各种难题的出现与解决，函数实际应用越来越广泛。比如，初高中阶段的函数知识可以帮助商人求得最大利润、最佳实施方案，可以帮助建筑师求得最佳建地面积等；在大学阶段我们学习得知，定积分、反常积分以及级数被应用到诸多领域：无穷积分在天体运动中的求解、定积分在物理学中求物体的做功以及傅里叶级数在信号的处理与传输方面的应用。随着我们对函数的不断深入学习，其涉及的领域愈加广泛，应用领域逐渐拓展。

二、对教师教学的建议

函数知识在不断发展，对应的教材也在不断变化。如何使学生更好地掌握教材中的函数知识是教师教学的重难点。基于此，探究教师开展高效函数教学的路径就显得尤为必要。

1.需有扎实深厚的函数知识储备

教师的知识储备直接反映学科知识结构的内在逻辑，教师如果掌握了函数的整个知识体系、知识本质、知识来源和知识的发展情况，以及知识获得的途径和方法，对教材中函数内容的整合、知识的筛选、及时发现缺陷并弥补缺陷将变得游刃有余。美国联邦教师职业标准评定委员会规定，教师应该“对他们所教的科目有着丰富的理解，懂得该科目的知识体系是怎样组织，怎样发展起来，怎样与其他科目相联系，以及如何用到现实世界中去”。教师扮演着不可替代的角色，教师扎实深厚的函数知识储备可以优化教学效果，可以促进学生更好地学习。

2.需灵活处理教材中的函数知识

教师以教材为基础教授学生知识，最基本也最重要的就是要领悟教材的编写意图、掌握教材的基本内容，然后在此基础上更优化、更具创造性地使用教材。对于教材中的关于函数的内容，任课教师通常会第一时间发现其中存在的问题或特殊现象，比如，发现初中阶段教材和大学阶段教材中出现内容重叠的问题，发现初中、高中、大学三阶段中皆多次提到信息技术与函数知识的结合的现象，发现有关函数的知识点在中学阶段是重中之重。毋庸置疑，老师应该集思广益，思考如何把函数与其他学科知识更好地融合在一起，如何把高深的知识简单化以便让学生们更好地理解、吸收，如何解释教材中出现的重复内容和额外教授学生如何运用信息技术处理函数图像等。

3.需注意采用多种方式开展函数教学

函数内容无疑越来越抽象、复杂，为了提高学生学习函数的兴趣，教师也可使用多种方式开展函数教学。例如，体验式教学。可让学生自己亲身经历“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的解决问题的方式，体验自己动手、自主探索及与他人共同合作交流的学习过程，主动去发现、探索函数奥秘，不仅可以锻炼思维能力，而且可以获得研究问题的经验和技能，增强自信心。情景式教学。教师可模拟现实生活中话费套餐推销员与顾客交谈场景，教会学生如何利用所学函数知识找出最适合自己的话费套餐。翻转课堂式教学。同学们提前利用互联网上的各种优质资源对函数知识进行初步了解，然后在课堂上作为主体与老师互动，老师则根据学生遇到的学习困惑有针对性地进行教学、指导，进而提高教学效率。简而言之，教师应多鼓励学生在生活中主动收集有趣的、有意义的、富有挑战的、与函数相关的材料，让其从中真切体会函数在生活中的运用。

函数在自然科学领域和生活中都扮演着很重要的角色，教师既是教育实践活动的主体又是学生学习的主要指导者，希望教师通过扎实深厚的函数知识功底，灵活运用多种教学方式和灵活处理教材中的函数知识，多方面提升学生学习函数的兴趣，使学生更好地掌握函数知识。

参考文献：

[1]课程教材研究所.数学教材教科书[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2]课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书数学必修一[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]陈光曙.大学数学（理工类）[M].上海：同济大学出版社，2010.

[4]恩格斯.自然辩证法[M].北京：人民教育出版社，1971.