基于PFC2D岩石颗粒破碎强度和能量的分形模型*

冯兴波　奚　悦　宋丹青　徐永福

(上海交通大学土木工程系　上海　200240)



基于PFC2D岩石颗粒破碎强度和能量的分形模型*

冯兴波奚悦宋丹青徐永福

(上海交通大学土木工程系上海200240)

颗粒的破碎强度随着粒径的增大而减小，即颗粒破碎的尺寸效应，分形模型为解释固体颗粒破碎的尺寸效应提供了可行的方法。根据岩石颗粒破碎时的分形特征，采用Sammis破碎准则，通过模拟分析得出岩石颗粒破碎能量和强度的分形模型，建立和验证用分维D来表示岩石颗粒破碎的能量和强度准则，得出并验证了岩石颗粒破碎分维的确定方法。利用离散元软件PFC2D的黏结颗粒模型BPM(Bonded Particle Model)模拟了小孔隙率n=0.12和大孔隙率n=0.3，即密实和松散两种情况。其中小孔隙率采用在模型上添加小颗粒的新方法，分别做了400组粒径不等的数值模拟试验，从粒径与破碎强度、破碎能量之间的关系和应力-应变曲线3个方面进行了统计，验证了岩石颗粒破碎强度与分维D的理论关系为σf∝dD-3，并得出颗粒破碎时的能量和与分维D之间的关系为Ef∝dD-1。验证了分形理论在分析颗粒破碎的尺寸效应中的较好应用，为确定岩石颗粒的破碎强度和岩石堆砌体剪切强度提供新的方法和参考意见。

PFC2D岩石颗粒破碎强度破碎能量分维

0　引　言

岩石颗粒是路堤、地基、路面结构等的重要组成部分，在外荷载的作用下，当外力超过岩石颗粒的破碎强度，岩石颗粒就会发生碎裂。岩石堆砌体结构的剪切强度会因颗粒破碎而降低(Lade et al.，1996)，颗粒破碎通常会使材料的压缩性变大进而产生大的变形(尹振宇等，2012)，因此寻找确立岩石颗粒破碎强度的简易方法十分重要。从已有的研究成果表明颗粒破碎后的分布可以用分形模型来描述(Sammis et al.，1985; Steacy et al.，1991)。分形中最重要的概念是分维，Sammis et al.(1985)通过设定立方体破碎时的准则，即原一级大颗粒破碎生成次一级小颗粒的准则固定不变，那么颗粒最终会形成分形分布且得出分维的理论值为2.58。Turcotte(1986，1992)将Allègre et al.(1982)的破碎模型修改后应用到颗粒破碎模型，将分维值计算表示为：

D=ln(8pf)/ln2

(1)

其中，pf是原一级颗粒碎裂成次一级8个颗粒的概率。Palmer et al.(1991)通过分析冰粒破碎特点，建立了冰粒等固体颗粒破碎的分形模型，得出分维值D=2.50。McDowell(2002)用等边三角形模拟平面颗粒破碎的分形特性，得出颗粒分布分维为2.50。Xu(2005)通过对冰粒和岩石颗粒破碎的分维统计，得出颗粒分布的分维值在2.3～2.6之间。其他对不同种类颗粒的破碎分维进行的统计，都满足在三维条件下D值在2.0～3.0之间(Steacy et al.，1991)。岩石颗粒的破碎可以用DEM(Distinct Element Method)来模拟(Sebastian et al.，2005)，且BPM模型可以较好的表现出岩石的真实力学性质(Potyondy et al.，2004)。运用PFC2D的BPM(Bonded Particle Model)模型来模拟岩石颗粒的破碎过程，BPM模型通过将许多小颗粒联结在一起，即在小颗粒间设置联结力，这样所有的小颗粒组成的大颗粒可以看成具有孔隙的颗粒集块，当在外荷载达到一定强度，联结键断开，小颗粒从大集块上脱落，即相当于大颗粒碎裂成小颗粒。单个岩石颗粒在单轴压缩下的破碎强度具有尺寸效应(徐永福等，2014)。采用Sammis破碎准则模拟分析得出岩石颗粒破碎强度和破碎能量的分形模型，建立和验证用分维D来表示岩石颗粒破碎的能量和强度的准则。

1　颗粒破碎的分形模型

分形中最重要的概念是分维，分维定义为(Mandelbrot，1982)：R(X)是d-欧氏空间中(X，d)的非空子集，对于集合A∈R(X)能被有限个(N(A，r))r>0的集合覆盖，令D=limr→0﹛ln[N(A，r)]/ln(1/r)﹜，则集合A的分维D由此确定。分形颗粒破碎的自相似准则(图1)，图中表面无网格划分的颗粒(大于基本小颗粒)代表颗粒破碎后的裂缝部分(不同大小表示碎裂的层级不同)，其余为固体部分。假设初始边长为h的立方体颗粒，碎裂成边长为h/2的次一级立方体颗粒，若颗粒是三维Euclidean块体，为使质量等保持不变大颗粒破碎后应生成8个小颗粒，但由于分形块体的破碎准则，颗粒内部存在裂隙等的缺陷，因而不能碎裂成全部8个小颗粒，而是每次破碎后小颗粒与裂隙总数保持8个不变。Sammis颗粒破碎的分形模型假设原一级的颗粒碎裂成6个次一级的小颗粒，相当于其余两个被裂隙占有，依此规律大颗粒不断碎裂成小颗粒，可得碎裂后的颗粒数N与尺寸d的关系：N(d)=d-2.58。颗粒若以图1准则不断破碎后的最终分布就是分形分布，且N与d的关系满足(Mandelbrot，1982)：

(2)

图1　分形颗粒的破碎模型Fig.1　Self-similar gouge of cubic particle

式中，D介于2.0～3.0之间(Steacy et al.，1991)。N与d的一般关系为(徐永福等，2014)：

(3)

则颗粒的分维为：

D=w+lnP/lnb

式中，b为次一级颗粒的尺寸与原一级颗粒尺寸的比值；i为颗粒碎裂i次；P相当于颗粒破碎后的生成几率；w是常规欧式维数。

2　数值模拟的BPM模型

颗粒离散元法的应用和研究为地质工程领域的岩石颗粒破碎研究提供了参考意见(徐佩华等，2012)。数值模拟的BPM模型采用PFC2D中的Brazilian Test，即在矩形试样生成后将试样删掉一些边角小颗粒，使其变成圆盘状的颗粒(厚度为单位1)，然后通过控制外墙的速度来给颗粒施加压力，最终使其破碎，来模拟岩石颗粒的破碎。建模的过程是先生成矩形试样；然后通过cycle命令使颗粒达到压紧的状态，即达到所需的孔隙率，本文为0.12和0.3；然后通过均匀减小所有颗粒的半径来使试样达到指定的压应力状态σ0；然后删除浮点颗粒(Floating particles)即与周围小颗粒接触小于3个的颗粒；然后给颗粒之间设置联结强度(法向σn和切向σs)，之后使试样达到指定的围压σc状态，并通过PFC2D中的伺服控制程序保持围压不变；最后删掉边角小颗粒后通过外墙对颗粒施加压力，最终使颗粒发生碎裂破坏。采用在大孔隙率试样上均匀添加小颗粒以减小孔隙率的新方法，保证试样更接近岩石颗粒的孔隙率。图2表示了孔隙率为0.12的试样生成结果和破碎过程，试样参数(表1)。

图2　BPM模型在模拟中的变化Fig.2　Shapes of BPM during the numerical simulation processes

表1　BPM模型参数

Table 1　Parameters for BPM

参数数值密度ρ=2630kg·m-3围压σc=0.1MPa压缩模量Ec=88GPa初始围压σ0=0.1MPa法向联结强度σn=200±50MPa切向联结强度σs=200±50MPa颗粒的刚度b_kn=2ECt墙的刚度w_kn=1.1b_kn

3　岩石颗粒破碎的尺寸效应

分形理论是基于研究对象的几何尺寸的变化而提出的，而岩石颗粒破碎强度具有尺寸效应，因此分形理论可以解释岩石颗粒破碎的尺寸效应。颗粒的破碎强度：

(4)

式中，Areal为颗粒之间的实际接触面积，徐永福等(2014)将颗粒破碎强度与颗粒粒径之间关系表示为：

(5)

图3　岩石颗粒破碎强度-粒径的关系Fig.3　Size effect of rock particles crushing strength

图4　岩石颗粒破碎强度-粒径的关系Fig.4　Size effect of rock particles crushing strength

从图3中可知在n=0.12时-β=D-3=-0.193，在n=0.3时-β=D-3=-0.523，即两种情况下分维值D分别为2.807和2.477。根据式(1)分维值D的计算定义，pf即相当于颗粒的非孔隙部分体积与整个颗粒部分体积的比值，即固体颗粒的部分体积与整个颗粒体积的比值，也即相当于1-n的值，那么此时：

D=ln8(1-n)/ln2

(6)

岩石颗粒破碎的分维值按此式计算。按照这个计算式，在n=0.12和n=0.3时，D分别为2.8156和2.4584，则误差分别为0.31%和0.34%，分形模型可以解释岩石颗粒破碎强度的尺寸效应。

4　岩石颗粒破碎的应力-应变曲线

图5和图6分别对应孔隙率为0.12和0.3时岩石颗粒破碎不同粒径的应力-应变曲线，因为本文所研究的是颗粒的破碎强度，且在应力-应变曲线出现第一个峰值时颗粒就会发生破碎，所以将第一峰值强度定义为颗粒的破碎强度，因此本文所示的应力-应变曲线是在第一峰值强度出现后的一定范围内，因此没有出现多峰值的现象(图5)。

图5　应力-应变曲线Fig.5　Stress-strain curves

图6　应力-应变曲线Fig.6　Stress-strain curves

图6中很直观的表明颗粒的破碎强度随颗粒的粒径增大而减小的尺寸效应。在孔隙率较小的情况下，颗粒破碎时达到峰值强度之前应力-应变曲线基本没有什么波动，呈现出近似直线的趋势，这可能是由于PFC中的基本粒子是采用圆形颗粒，在小孔隙率下BPM模型内部结构并不是很不均匀，且在一定围压下也会使不均匀程度降低的缘故。在达到峰值之后波动开始出现，呈现出剪切软化的特征。相比较之下，在较大孔隙率时，颗粒破碎时达到峰值强度之前的应力-应变曲线就有很明显的波动，表明BPM模型内部在大孔隙率下相对小孔隙率内部结构的不均匀性，且在外荷载作用下，随着压应力的增加，BPM模型内部的结构变化比较大，且在达到峰值强度时的应变明显大于小空隙的情况，呈现出剪切硬化的特征，这与实际情况比较符合。

5　岩石颗粒破碎的能量

目前对岩石破坏过程中能量变化规律的试验研究已取得了很多有价值的成果(杨圣奇等，2007；刘新荣等，2013)。研究表明，在岩石变形破坏过程中，能量起着根本的作用，即是能量驱动下的一种状态失稳的现象(谢和平等，2005)。颗粒破碎本质上是颗粒变形能向表面能转换的过程。颗粒在荷载作用下将产生一定的弹性变形，当荷载值超过塑性变形强度界限后，颗粒发生的塑性变形使内部产生微裂缝并不断扩展，最终使颗粒破坏，在这个过程当中，荷载所做功转化为相应的表面能。由于岩石强度的离散性，仅仅依靠应力-应变曲线是很难建立适合岩石强度准则的。因此，如能通过分析得出岩石颗粒在变形和破碎过程中的能量耗散特性，建立以颗粒破碎时的能量为强度准则，就有可能反映岩石颗粒的破碎规律。

岩石颗粒破碎过程中外力对颗粒所做的功可表示为：

(7)

其中，δf为破碎强度σf对应的径向尺寸变化值；F为作用在颗粒上的外力。上式进一步可转化为：

(8)

式中，SA为外力作用在颗粒上的面积。则Ef可近似表示为：

(9)

因为εf∝d，则再结合式(5)可得：

(10)

于是建立了颗粒破碎时的能量与分维之间的关系。图7和图8是颗粒破碎过程中粒径与破碎能量在双对数坐标下的关系。

图7　岩石颗粒的破碎能量-粒径关系Fig.7　Particle-crushing power size distribution

图8　岩石颗粒的破碎能量-粒径关系Fig.8　Particle-crushing power size distribution

从图7和图8中可知在孔隙率为0.12和0.3时，由式(10)颗粒破碎能量与粒径关系得出分维值D分别2.7902和2.4781这与颗粒破碎强度-粒径关系得出的分维值D=2.807和D=2.477基本一致，与式(6)理论值D=2.8156和D=2.4854也十分吻合，误差分别为0.9%和0.3%。可见从能量的角度分析岩石颗粒破碎与分维之间的关系也得到了很好的效果，得出了岩石颗粒破碎时的能量与粒径之间的关系，反映了岩石颗粒破碎的规律。

6　结　论

岩石颗粒破碎的强度一般是通过室内劈裂试验获得，其过程费时、费力，且由于岩石颗粒强度的离散型，岩石颗粒的破碎强度不易确定。本文通过数值模拟的方法研究了岩石颗粒破碎时的强度与粒径之间的尺寸效应，并验证了颗粒破碎强度、粒径和分维值D之间的理论关系，另外还研究了岩石颗粒破碎时的能量、粒径与分维值D之间的理论关系，并通都过模拟数据得到了比较好的拟合效果，得出以下结论：

(1)用颗粒破碎的分形模型来分析岩石颗粒破碎的尺寸效应，验证岩石颗粒破碎强度、粒径与分维值D之间的关系，得出岩石颗粒破碎强度的尺寸效应理论是可靠的。

(2)在颗粒破碎过程中，孔隙率较小的岩石颗粒相对于孔隙率较大的岩石颗粒的应力-应变曲线在达到第一峰值强度之前的波动性小很多，即内部结构变化相对较小，且岩石颗粒破碎的分维值跟颗粒的孔隙率大小有关，可以通过孔隙率的值来计算。

(3)分析了颗粒破碎时的能量与粒径和分维D之间的理论关系即：Ef∝dD-1，建立以颗粒破碎时的能量为强度准则，即岩石颗粒的破碎能量将随着粒径增加，反映了岩石颗粒破碎的规律。

(4)将分形理论应用于岩石颗粒破碎是十分有效的，为确定岩石颗粒的破碎强度提供了新的方法和参考意见。

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PFC2DBASED FRACTAL MODEL FOR TENSILE STRENGTH AND BREAKAGE ENERGY OF ROCK PARTICLE CRUSHING

FENG XingboXI YueSONG DanqingXU Yongfu

(School of Civil Engineering and Mechanics，Shanghai Jiaotong University，Shanghai200240)

The tensile strength is not independent of fragment size，but decreases with increasing size known as“size effect”.Recent developments in fractal theory suggest that fractal model may provide a more realistic representation of solid particle crushing.A fractal model for crushing of rock particle is constructed using the Sammis model.The relationship between crushing strength and diameter and the relationship between crushing power and diameter of rock particle are simulated respectively.The porosity equals to 0.12 and 0.3 of rock particles，which are simulated using the bonded particle model(BPM)in particle flow code(PFC2D).The relationship between crushing strength and diameter of particle is verified and can be expressed byσf∝dD-3.A relationship between crushing power and diameter of rock particle is expressed by Ef∝ dD-1.The good application of fractal theory in the analysis of particle size effect in fractured rock is verified and the results provide a reference for determination of crushing strength．

PFC2D，Rock particle，Crushing strength，Breakage energy，Dimension

10.13544/j.cnki.jeg.2016.04.019

2015-04-28;

2015-11-24.

国家自然科学基金项目(No：41272318、41472251)资助.

冯兴波(1988-)，男，硕士，主要从事颗粒破碎的理论和数值模拟研究.E-mail：344190721@qq.com

简介：徐永福(1967-)，男，博士，教授，博士生导师，主要从事非饱和土、地下工程、地基处理等教学与科研.Email: yongfuxu@sjtu.edu.cn

P642.3

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