维度的基础问题

查理德·韦伯

维度是什么

你可能认为如此基础的问题应该早就有一个简单的答案了，可惜并非如此。事实上，给维度下定义是一个非常棘手的事情。

对维度最直观、最古老的描述是：一个系统所拥有的维数是物体能够移动的独立方向的数目。上和下是一个维度，因为上和下是一个硬币的两面，向上走就是远离下方。左和右、前和后也一样，但上和右、下和后等之间就没有这种关系。所以古希腊几何学家说：我们生活在三维世界中。

到目前为止，一切还很简单，但接下来马上就要失控了。我们需要同时使用空间和时间来定义我们在宇宙中的位置。早在18世纪末，法国人达朗贝尔和拉格朗日就发现用于描述时间的数学语言和用于描述空间的非常相似。所以，当时的数学家很快得出结论：时间就是第四维度。

将时间看作第四维度这种新的观念远超出维度的原始定义，大大地扩充了维的概念。从那时候开始，维不再仅仅是描述物理的空间坐标，而成为描述确定物体状态的独立坐标或变量。

这一手实在高明，从此数学家可以运用几何分析这一利器去处理他们想研究的任何事情。例如，现在一个经济学家可以将整个经济活动看作一个巨大的多维度客体。面包和黄油的价格升降可以被描述为价格坐标在多维空间中的运动，与我们在前后或上下方向上的运动完全类似。当然，这仅是描述经济状态的数百万个维度中的两个。

理解维度

现在，请看本句末尾的这个小黑点（英文中的句号，“.”），然后盯着它看。恭喜，你已经目睹了零维空间。现在用你的手指沿着纸边移动，然后再看看这整张纸，它们分别是一维和二维空间，也挺容易吧？但现在，尝试想象超过三维的空间。

很费解？别担心，很多人跟你一样。“我个人无法想象超过三维的空间。”伦敦国王学院的弦论学者迈克尔·杜夫说。事实上，在工作中，他时常要处理十维或十一维的研究对象——自己都不能想象，理论物理学家为何还能对他们的理论充满信心？

17世纪的法国数学家笛卡儿把真实的几何空间转换成抽象的代数方程。例如，你可以用一个方程描述一个长度不变的线段围绕自己的一端在二维空间里旋转形成的图形。这个方程实际上描述了线段旋转时x坐标和y坐标满足的关系，这就是一个圆的代数表达。

这种想法非常了不起，从此以后，数学家只要通过引入更多的坐标，就能够随心所欲地增加维度。比如，通过引入新的坐标轴z就可以像刚才描述二维空间中的圆形一样来描述三维空间中的球体。

1854年，数学家黎曼将立体几何（三维）推广到了任意维数，写出了四维、五维和六维空间中的“超球体”的方程。普林斯顿高级研究学院的弦论学家威顿说：“（这种高维方程）结果处理起来不算困难。”

从数学上看的确如此，但我们总不免好奇，那些高维数的物体实际上看起来是什么样的。纽约大学物理学家贾·德瓦利认为，这实际上无关紧要，只要你脑子里能够想象出一些管用的图像就行了。他说：“方程的本质通过图像和动画可以非常容易地记在脑子里。”对他而言，牛顿引力定律的图像是一个有质量的物体产生的引力场的力线沿所有方向延伸到无限远处。不管你想象的空间有多少维，这幅图像同样有效。他认为，这种物理图像虽然与实际的额外维空间无关，但是它让我们可以很容易地把定律推广到高维空间。