基于西原模型的非线性损伤蠕变模型

付腾飞，付宝杰

（安徽理工大学能源与安全学院，安徽淮南232100）



基础研究

基于西原模型的非线性损伤蠕变模型

付腾飞，付宝杰

（安徽理工大学能源与安全学院，安徽淮南232100）

针对传统的西原模型不能较好地反映岩石蠕变非稳定阶段，且多数学者对西原模型的修正是通过屈服强度阈值来界定非稳定阶段，而通过时间阈值考虑非稳定蠕变阶段界定的研究相对较少。在西原模型的基础上，引入Kachanov损伤理论及时间损伤阈值，建立了一种同时描述3个阶段的非线性损伤蠕变方程式。通过灰岩蠕变试验得到试验数据，对新的非线性损伤蠕变模型的参数进行反演，并进行曲线拟合，分析岩石的蠕变损伤过程和对应阶段的稳定性，证明了该模型的正确性和合理性，为岩石流变失稳现象提供理论依据。

西原模型；损伤；非线性；加速蠕变

岩石流变在岩石工程（如隧道工程、煤矿巷道支护）中普遍存在，其中许多破坏都因岩石流变破坏而引起，如:边坡的突然滑动、巷道的岩爆等，对岩石工程的长期稳定性和安全性有显著影响［1］。对于岩石流变的研究，现有的经典流变模型都只能描述岩石的线性衰减蠕变和稳定蠕变，不能同时描述岩石的加速蠕变和表现岩石的破坏特性，因此更多的研究人员建立能反映加速蠕变阶段的非线性流变方程，以进一步研究岩石的流变破坏。可以通过增加新的非线性元件或用非线性元件代替现有流变模型中的基本元件来建立非线性流变方程，如:胡波［2］等将可阶跃函数表示的开关元件和损伤元件引入CVISC蠕变模型研究了岩石蠕变特性；陈沅江［3］等考虑裂隙塑性体和蠕变体，并将它们和虎克体及开尔文体相结合得到了一种能描述加速蠕变阶段的新的复合流变力学模型；袁林［4］等引入非线性TN体与传统西原模型组合为非线性黏弹塑性流变模型，更有效地描述了岩石的流变特性。也可以通过考虑经典流变模型中元件模型参数为非常定值串并联组合成来描述岩石蠕变全过程的新模型，如:丁志坤［5］在考虑参数为非定常的情况下，采用H-K体的三元件模型更为准确地反映了岩石不同应力水平下的黏弹性变形性能；曹树刚［6］在分析岩石的全应力-应变曲线和蠕变曲线基础上，修正西原模型中的黏滞系数，建立了参数非线性蠕变型。

而在工程应用中，岩石材料的强度与该材料的流变特性和内部损伤机理是密切相关的［1］。不仅岩石材料本身非均匀性会导致加速蠕变，在外载荷作用下岩体内微观裂纹和空洞的发展而形成的损伤也同样会导致加速蠕变。事实上所谓岩石损伤就是外荷载作用下岩石内部微观结构的不断变形和调整，当结构变化到一定程度就会表现为岩石宏观上的失稳破坏。因此，很多学者将损伤引入蠕变研究中。如:张强勇等［7］考虑岩体的流变损伤劣化效应，建立了变参数的蠕变损伤本构模型，反映岩体逐渐损伤劣化引起的蠕变参数改变对流变特性的影响；刘桃根［8］等应用损伤力学，建立了3种蠕变损伤本构模型，都很好地描述了砂岩的流变特性。

岩石的非线性蠕变是其内部结构调整在蠕变过程中的综合表现。本文以西原模型为基础，在蠕变本构关系的推导中考虑蠕变损伤和时间阈值的影响，构造岩石非线性蠕变损伤机制解释岩石蠕变过程中所显现的非线性变形特征。结合试验数据，利用Matlab软件反演出新蠕变方程中的参数，将拟合曲线与实际试验曲线进行对比分析，结果具有较高的准确性，为岩体流变的非线性研究提供一定的理论参考。

1　流变模型的建立

1.1西原模型

根据应力水平的不同，岩石蠕变曲线有3种情况:较低应力水平下初始蠕变后进入速率为零的衰减蠕变曲线；低应力水平下初始蠕变后进入速率为常数的定常蠕变曲线；高应力水平下岩石进入具有初始蠕变，稳态蠕变和加速蠕变的蠕变全过程曲线［9］。传统的西原模型所含元件少、能全面反映岩石弹-黏弹-黏塑变形特性，在岩石材料研究中得到广泛应用，其模型如图1所示。但其一般只能描述第一、第二阶段的蠕变，并不能反映加速蠕变阶段。

图1　西原模型

传统西原模型的本构、蠕变方程为:

式中，σ0为初始应力；σs为临界应力；εc为传统西原模型中的应变；E为弹性模量；η为黏性系数；t为时间。

1.2非线性损伤蠕变模型

岩石的蠕变过程与其内在损伤机理有密切关系，其非线性蠕变是其内部结构变化在蠕变过程中的综合表现，本文引入损伤变量，同时考虑加载时间因素对流变特性影响，建立非线性蠕变模型，修正西原体蠕变方程。

岩石材料的损伤是指在外载环境作用下，由于微观结构的大量微裂纹、微孔洞的产生、扩展和连接，导致该材料的力学性能的劣化过程。其中已经破坏材料微元与微元总体的比值即为损伤变量。文中设岩石材料微元总体面积为1，微元受损面积为D，则未受损部分的面积为1-D。假设无损岩石的应力和应变分别为σw和εw，其中εw与式（2）中εc的意义是一致的，已破坏岩石材料的应力和应变分别为σf和εf，则此岩石的总应变［10］为:

在忽略弹性变形，考虑损伤情况下，蠕变率假设为指数率耦合:

取初始条件t=0时，εf=0得:

依据Kachanov提出的损伤变量，其演变方程为:

式中，a，b，m，n是材料常数，均由试验确定。

取初始条件t=tb，D=0，其中tb为蠕变损伤临界破坏时间（损伤时间阈值），由（6）得:

对式（7）整理得:

将式（8）代入式（5）得已破坏岩石材料的应变表达式为:

所以，将式（2）和（9）代入式（3）得到考虑损伤的蠕变方程为:

根据应力水平条件和加载时间的不同，可以分别得到相应的蠕变方程:

（1）当σ＜σs时，模型表示为广义Kelvin体，可以描述衰减蠕变，岩石处于稳定状态，此时蠕变方程为:

（2）当σ≥σs，t＜tb时，模型表达为经典的西原模型

（3）当σ≥σs，t≥tb时，模型为非线性蠕变模型，可以描述蠕变全过程曲线，反映岩石非稳定阶段，这一阶段将导致岩石失稳破坏，此时蠕变方程为:

1.3确定时间阈值

岩石材料流变破坏荷载和时间的关系如图2所示，伴随时间增加，破坏荷载呈减小趋势，即流变时间趋向无穷大对应的强度为长期强度σ∞。岩石从开始进入加速蠕变阶段到岩石流变破坏经历的时间可定义为加速历时。

图2　σ与t的关系

假定岩石的破坏荷载和时间的关系、破坏荷载和加速历时的关系用如下指数函数来表示:

式中，σ0为岩石瞬时强度；σ∞为长期强度；t为破坏时间；Δt为加速历时，α，β为模拟参数。

则岩石加速流变的起始时间［11］可表示为:

2　算例分析

2.1灰岩蠕变试验

本次试验灰岩岩样采自潘北煤矿，其主要组成为碳酸盐岩，掺杂有黏土和粉砂，密度2210kg/m3，砂岩的波速为2672～3570m/s。岩样取芯制成高×直径为100mm×50mm的标准尺寸。采用安徽理工大学液压伺服加载试验系统对灰岩试件进行蠕变试验，将岩样分为6组，分别进行加载，得到如图3所示的灰岩蠕变曲线:

图3　不同应力水平下灰岩的蠕变曲线

由图3可知，分级加载岩样具有如下特征:

（1）瞬时施加应力后，每级荷载都会产生瞬时应变，然后为蠕变变形，其蠕变变形表现出非线性，应变率也有增加的趋势。岩样存在一个蠕变应力阈值31.2MPa（该阈值为岩样长期强度），阈值右侧整体斜率小于阈值点左侧并整体偏向于应力轴，当应力小于阈值时蠕变很快衰减趋于零，即只有稳态蠕变。

（2）岩样产生瞬时应变后，微裂纹开始发生随机分布，损伤度逐渐增大，在较高应力水平下随时间增长开始产生非稳定蠕变变形，低应力水平只有瞬态蠕变和稳定蠕变阶段。20MPa载荷仅产生8.1×10-4的瞬时应变，经过5.3h后应变保持恒定；25MPa载荷产生9.0×10-4的瞬时应变，经3.9h后应变发展为1.17×10-3后保持恒定不变。随着应力水平的增大并大于起始蠕变应力阈值，35MPa载荷下产生1.1×10-3的瞬时蠕变，然后进入稳定蠕变阶段，经21h后出现加速蠕变趋势。应力水平较高并大于时间阈值时将出现加速蠕变阶段，40MPa载荷产生1.17×10-3初始蠕变，经过15.4h后进入加速蠕变，此载荷下加速蠕变阶段出现相对较晚；45MPa载荷产生1.2×10-3瞬时蠕变，经过短暂的稳定蠕变阶段，立即进入加速蠕变阶段，并在较短时间内发生破坏，此载荷下加速蠕变阶段出现得较早。

2.2参数反演及验证

通过蠕变试验数据确定流变参数，曲线拟合是普遍适用的方法，其中使用非线性最小二乘法进行曲线拟合应用得最为广泛，即对给定数据点，在取定的函数Φ中，求拟合函数p（x）∈Φ，通过运用最小二乘法使误差的平方和∑［p（Xi）-Yi］2最小。Matlab软件可以用于各种线性或非线性曲线拟合，本文利用其参数反演工具箱，读入轴向蠕变应变、及相对应的蠕变时间，根据公式（11）、（12）、（13）对灰岩蠕变曲线进行拟合。假定Φ是文中提出的非线性蠕变曲线方程，是自变量t和待定参数B的已知函数:Φ=f（t，B），已给出（Φ，T）的n对观测值（εk，tk）（k=1，2，…，n），要求待定参数B，通过使Q=∑nk=［Φk-f（tk，B）］2为最小可得［12］，得到如表1所示的各参数拟合值。取外载荷 σ=40MPa时，σ0=48.3MPa，σ∞=31.2MPa，由公式（16）可以得到:α=0.03，β=1.04，tb=15.7h。

表1　非线性损伤蠕变模型的拟合参数

参数拟合结果显示出:新非线性蠕变模型的拟合结果与实际试验结果的相关性系数R2都较高，为0.95以上，说明新非线性损伤蠕变模型可以较好地描述岩石的3种蠕变情况，拟合结果如图4所示。

图4　蠕变理论曲线和试验曲线

3　结 　论

（1）将岩石材料的强度及蠕变特性与内部损伤机理相联系，考虑微观的影响。引入Kachanov损伤理论到西原模型蠕变表达式中，较准确地解释岩石材料的蠕变本质，从微观结构的岩石损伤考虑对蠕变加速的影响，使材料蠕变特性更符合实际。

（2）从岩石流变破坏载荷与破坏时间的关系考虑，引入反映加速蠕变起始点的时间阈值，当达到时间阈值t＞tb时，岩石开始出现损伤劣化，反映岩石蠕变的加速阶段。

（3）通过灰岩流变试验，运用Matlab软件对建立的非线性损伤蠕变模型进行了反演，得到岩石非线性蠕变模型的拟合曲线。模型能较好地描述不同水平应力下灰岩的蠕变曲线，尤其是描述加速蠕变阶段，该非线性损伤蠕变模型可以为岩石流变失稳现象提供理论依据。

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［责任编辑：李宏艳］

Nonlinear Damage Creep Model Based on Xiyuan Model

FU Teng-fei，FU Bao-jie
（Energy and Safety School，Anhui University of Science&Technology，Huainan 232001，China）

To the problems of instability step of rock creep deformation could not be reflected by traditional Xiyuan model，and as the modified Xiyuan model for most of scholars，instability deformation step was confirmed by yield strength threshold value，but instability creep deformation step was confirmed by time threshold value was less.On the basis of Xiyuan model，Kachanov damage theory and time damage threshold was introduced，nonlinear damage creep formula that explained three steps at the same time was built.The experimental data was obtained by creep experiment of limestone，the parameters of new nonlinear damage creep model were inverted，and curve fitting was analyzed，the creep damage process of rock and its stability of corresponding step，the results proved the model was right and reasonable，it references for rock rheology instability phenomenon theory.

xiyuan model；damage；nonlinear；acceleration creep

TD325

A

1006-6225（2016）04-0001-04

2015-11-30［DOI］10.13532/j.cnki.cn11-3677/td.2016.04.001

国家自然科学基金（51174002）

付腾飞（1992-），男，山西长治人，在读硕士研究生，研究方向为矿山压力与岩层控制。

［引用格式］付腾飞，付宝杰.基于西原模型的非线性损伤蠕变模型［J］.煤矿开采，2016，21（4）：1-4.