一类变系数非齐次电报方程的数值解法*

任佰荟, 苏令德, 姜自武

(1. 临沂大学理学院, 山东 临沂 276005; 2. 山东师范大学数学科学学院, 山东 济南 250014; 3. North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia)



一类变系数非齐次电报方程的数值解法*

任佰荟1,2, 苏令德3, 姜自武1

(1. 临沂大学理学院, 山东 临沂 276005; 2. 山东师范大学数学科学学院, 山东 济南 250014; 3. North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia)

利用特解方法数值求解一类变系数非齐次电报方程. 首先用有限差分方法对时间方向进行离散, 进而转化为在空间方向上利用特解方法进行近似, 最终利用待定系数法逐步求出在不同时刻的方程的数值解.利用 Matlab 程序对给定的方程进行数值求解并进行误差估计. 通过数值算例, 可见所采用的数值方法具有较高的近似精度.

变系数; 非齐次电报方程; 数值解; 径向基函数; 特解法

引言

本文考虑下述一维非齐次电报方程[1]的数值解

utt+aαut=bf1(x)Δu+cαu+f2(x,t)

式中： α, a, b, c是常数, f1(x), f2(x,t)是连续函数.

电报方程[2～4]是一种非常经典的数学物理方程, 它最初是在研究电报线上电压电流的变化规律时推导出来的.由于它具有很强的实际背景, 因此关于电报方程的研究得到高度重视.随着国内外专家在理论上的研究, 以及在实际问题的操作, 电报方程得到了快速的发展.在铺设大西洋电缆时在电报方程的基础上,发现了新的方程并命名为非齐次电报方程[5,6].

近年来, 基于径向基函数的无网格方法得到了迅速的发展, 特别是在解决偏微分方程上, 有方便、快捷计算精度高等优点, 逐渐被广大专家学者所接受[7～11]本文将针对文献[1]中涉及的变系数非齐次电报方程给出新的数值算法, 即基于径向基函数插值的无网格配置方法中的特解方法(MPS), 数值求解此类方程.

1　径向基函数

(1)

(2)

是可解的.

下面列举部分国际通用的径向基函数:

多元二次(MQ)

多元二次逆(IMQ)

二次逆(IQ)

薄板样条模型(TPS)

高斯(G)

大多数径向基函数不能保证插值矩阵Aφ的非奇异性, 因此将对应方程组进行处理, 即为了保证插值问题的唯一性, 在式(2)的右面添加多项式项P(x):

满足条件

(3)

式中: α=(α1α2…αN)T, β=(b1b2…bM)T, f=(f1f2…fN)T.

2　方法论述

本节借助有限差分方法及径向基函数的理论, 对方程求解过程给出特解方法的一种理论模型. 函数u(x,t)满足如下的非齐次电报方程:

utt+aαut=bf1(x)▽2u+cαu+f2(x,t),

(4)

x∈Ω∪Γ=[a1,b1]⊂R,0

初始条件为:

u(x,0)=g1(x), x∈Ω，

ut(x,0)=g2(x), x∈Ω

(5)

狄利克雷边界条件为:

u(x,t)=h(x,t), x∈Γ, 0

(6)

式中: α, a, b, c是常数, f1(x), f2(x,t), g1(x), g2(x), h(x,t)是连续函数, 函数u(x,t)是未知函数.

下面利用θ加权法来离散式(4), 令tD=tn+1-tn为时间步长, 对任意的tn≤t≤tn+1和0≤θ≤1, 则式(4)中的u(x,t)可以被近似成如下形式:

u(x,t)≈θu(x,tn+1)+(1-θ)u(x,tn),

相应的有

Δu(x,t)≈θΔu(x,tn+1)+(1-θ)Δu(x,tn)

(7)

及

(8)

为方便起见,记un(x)=u(x,tn), 将上式(7)(8)代入到式(4)～(6), 得到如下方程:

(9)

整理得:

即：

(10)

式中: un+1(x,t)为待求的偏微分方程的解, 可以将式(10)的右半部分设为一个函数F(x), 则式(10)转换为一个标准的Poisson方程

▽2un+1=F(x)．

(11)

如果这个虚拟的函数F(x)是已知的, 在同一边值条件下式(10)和式(11)是等价的. 假设共有N个差值点, 则F(x)近似如下

(12)

式中Φ(x)满足ΔΦ(x)=φ(x).

可将式(12)改写成矩阵的形式:

(u)n=A(λ)n,

(13)

A=(aij, 1≤i, j≤N+2), 即：

Ad=(aij, 1≤i≤p, 1≤j≤N+2, 其它为0),

Ab=(aij, p+1≤i≤N, 1≤j≤N+2, 其它为0),

(14)

Ae=(aij, N+1≤i≤N+2, 1≤j≤N+2, 其它为0).

(15)

C=[2+cα(1-θ)(tD)2]Ad+b1f1(1-θ)(tD)2ΔAd,

计算步骤如下:

1)当n=0时, 利用函数的初值条件u(x,0)=g1(x), x∈Ω, 可以直接算出u0(x);

2)当n=1时, 由于式(15)无法求得u1(x), 所以利用方程的初值条件ut(x,0)=g2(x), x∈Ω, 采用欧拉方法来求解u1(x), 即u1(x)=tD·(g2)+u0(x);

3)当n≥2时, 可以利用式(15)进行迭代得到un(x);

其中, (g2)=(g2(x1)g2(x2)…g2(xp)0…0)T.

通过上述分析可知, 求非齐次电报方程(4)的解就等价于求解矩阵方程(15)的解的问题.

3　数值例子

以下将给出二个数值例子, 以检验该方法的精确度, 说明该方法的有效性.

首先给出三种误差的定义如下:

例 1 考虑非齐次电报方程

utt=(x2+1)uxx+[1+π2+π2x2]e-t, 0≤x≤1 , t>0,

边界条件:

u(0,t)=0, t>0,

u(1,t)=0, t>0;

初值条件:

u(x,0)=sin(πx),0≤x≤1,

ut(x,0)=-sin(πx),0≤x≤1

精确解为 u(x,t)=e-tsin(πx).

选取TPS径向基函数来得到精确解与数值解的误差估计, 得到误差结果, 见表1.

表1　不同时刻的用TPS作为径向基函数的误差结果

在这个例子中dx=0.005, tD=0.001, 以及利用的是m=1时的TPS径向基函数, 得到t=0.1,0.2,0.5,1,2时的误差值.下面给出t=1的精确解和数值解的图像(见图1)，以及误差的图像(见图2).

图1　在区间[0,1]上方程的精确解和数值解

图2　方程的精确解与数值解误差的图像

例 2 令方程(4)中的常数如下α=a=b=1, c=-1, 则得到方程为:

utt+ut=f1(x)uxx-u+f2(x,t), 00,

式中： f1(x)=e-x(sin(πx)+1), f2(x,t)=(1+x2)lg(x+1)e-t2ex2.

边界条件

u(0,t)=0, t>0,

u(1,t)=0, t>0;

初值条件

u(x,0)=sin(πx), 0≤x≤1,

ut(x,0)=sin(πx)cos(πx), 0≤x≤1.

由于该方程求解精确解非常的不易, 所以利用TPS径向基函数对方程的数值解进行模拟估计. 其中时间t∈[0,3], 得到的图像如图3所示:

图3　方程的在区间[0,1]上, t=3时的数值解

4　结论

本文借助在有限差分方法和径向基函数的无网格法中的特解法, 对于一维的变系数非齐次电报方程给出了数值解, 得到相应的数据以及模拟图形, 取得较好的结果, 说明该方法对求解一维的变系数非齐次电报方程的数值解是非常有效的.

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Numerical Method for Non-homogeneous Telegraph Equation with Variable Coefficient

REN Bai-hui1,2, SU Ling-de3, JIANG Zi-wu1

(1.Department of Mathematics, Linyi University, Linyi Shandong 276005, China ; 2.Mathematical Sciences, Shandong Normal University, Jinan Shandong 250014, China; 3.North-Eastern Federal University, 58 Belinskogo Yakutsk, Russia)

This paper solves the non-homogeneous telegraph equation with variable coefficient using the method of particular solution. Firstly, finite difference formulation is used to discrete the time. Secondly, the particular solution method is employed to approximate the solution in space. Lastly, undetermined coefficient method is selected to calculate the numerical solution step by step. Matlab is used to get the numerical solution of equation and the error estimate of equation. Combining with numerical examples, it is declared that the method of particular solution has high approximation accuracy for this kind of non-homogeneous telegraph equation.

variable coefficient; inhomogeneous telegraph equation; numerical solution; radial basis function; special solution

1673-2103(2016)02-0001-07

2015-11-05

国家自然科学基金青年基金资助项目(11301252)

任佰荟(1990-), 女, 山东日照莒县人, 在读硕士研究生, 研究方向: 物理学中的数学方法.

O241.82

A