无穷个数相加，结果会无穷大吗？

一个人从A点走到B点，先走完路程的，再走完剩下路程的，再走完剩下的……如此循环下去，他永远不能到达终点。

“A点到B点的距离是一定的，为什么无法走到终点呢？”你开始这样自言自语。先别急，请听我慢慢道来。路程是固定的，如果行走的速度确定，通过时间=路程÷速度，那么从A点走到B点所需要的时间就是固定的。先走完全程的，则用时为总时间的；再走完剩下路程的，则用时为总时间的；再走完剩下路程的，则用时为总时间的……每次都需要花费一定的时间，虽然时间越来越少，但是会被无限细分，无穷无尽，没有尽头。

这时，问题来了。这些时间的总和会无穷大吗？下面，我们用1秒时间来进行验证。先过完一半，即秒；再过完剩下时间的一半，即×=（秒）；再過完剩下时间的一半，即×=（秒）；再过完剩下时间的一半，即×=（秒）……时间被无限细分，但这些时间的总和没有超过1秒。

为了更清楚地解决上述无穷个数相加的总和问题，我们把计算转化为面积求和。

先画出一个边长为1的正方形，然后在这个面积为1的正方形里依次可以得到面积为、、、、、……的矩形，虽然个数有无限多个，但是它们的面积和却不可能超过1。

乌龟会一直领先吗？

让跑得慢的乌龟先行一段路程，那么阿基里斯将永远追不上乌龟。这是芝诺给出的结论。因为他认为阿基里斯为了追赶乌龟，必须要先到达乌龟的出发点，但在阿基里斯前进的同时，乌龟也前进了一段距离，阿基里斯又必须跑过这一小段路，而此时乌龟又向前走了一段距离。这样，阿基里斯和乌龟的距离虽然越来越近，但是他却不能追上乌龟，跑得慢的乌龟永远领先。

芝诺的结论，听起来似乎是这么一回事。可是仔细一想，又觉得这个结论是错误的。因为依据芝诺的意思，难道连刘翔、博尔特这样的飞人也追不上乌龟？想想都觉得不太可能。这其实就是数学上的追赶问题，为了解决疑问，我们不妨用数学方法来验证。

假设阿基里斯的速度是10米/秒，乌龟的速度是1米/秒，两者距离为100米，那么我们根据追及时间=路程差÷速度差，计算得到100÷（10-1）=（秒），即阿基里斯只需要秒便可追上乌龟。我们还可以用列方程的方法解决这个问题。设阿基里斯追上乌龟需要的时间为t，则有10t=100+t，得t=（秒），也就是说当阿基里斯跑过米的时候，他追上了乌龟。

当阿基里斯在A点时，乌龟在B点；他追到B点，乌龟爬到C点；他追到C点，乌龟爬到D点……阿基里斯离乌龟越来越近，但距离不是0，当阿基里斯按这样的过程去追乌龟，在任何有限次内他是追不上乌龟的。但由于距离越来越短，阿基里斯跑完这些距离所用的时间越来越少。最后，时间总和为秒。

事实证明，阿基里斯能追上乌龟，任何速度快于乌龟的物体，都可以追上在前面的乌龟。这既可以用常识判断出来，也可以通过计算来验证。芝诺的推理把时间分成无限多份，但所有时间加起来是有限时间，而不是无限长，可芝诺却将无限份时间换成了无限长时间。

看吧，我刚说什么来着，飞毛腿肯定能追上乌龟。龟兔赛跑中，乌龟能胜，纯属意外，谁让兔子半路睡大觉。

阿基里斯的飞毛腿称号总算是保住了啊！