论数学教学和学习策略

申淑波



论数学教学和学习策略

申淑波

（绥化市第四中学，黑龙江 绥化 152054）

基于学生反馈初高中数学衔接不好，大部分初中数学成绩优异的学生到高中数学成绩一落千丈，导致学生的学习状态不佳，情绪低迷，信心不足。与学生们系统地研究了学习方法、解题方案、学习信念，并结合自身教学经验，提出指向“方法”的学习和“思维”的训练，优化解题方案，重“基础”、识“陷阱”，形成知识网络系统。

数学教学；学习策略；学习兴趣

1　指向“方法”的学习和“思维”的训练

重“方法”。常言道：学习有法但无定法。学习数学，不是教授学生怎么去解一道题、记下解题步骤，而是教会学生学会这道题的思维方法，并能将其运用于同种类型的解题上，甚至能将其补充，拓展出去。单纯学解题步骤，那是学不尽的，因为题目千变万化，而学会一种思维方法，便能将它运用到千万道数学题中去。还要补充的是，解题的最好方法是能够自己得出来的，因为别人教你的方法容易忘记，而自己得出的方法却记忆深刻。如果自己实在得不出方法，一定要将别人的方法在题中多揣摩几遍，以确保自己完全掌握。

重“思维”。高中数学与初中数学的学习有着巨大的不同，高中数学更讲究灵活性和延伸性，题目灵活，需要思维的发散性。我认为在学习数学上应有一套完整有效的方法，即归纳整理的方法。每周学完整理这一周所学的知识，将作业中应该重点掌握和做错的题目整理出来，且每次考试结束后，都将扣分题或有多种解题方法的数学题进行整理。由此，长期累计，把典型题或一类题归纳，在考前复习的时候就会轻松很多。而且这种方法也利于平时思路的清晰，避免拿到题后思路混乱，出现无从下手的情况，这种方法我认为是十分有效的。除此以外，在做题过程中应当先独立思考，再相互交流。独立思考自己有什么方法能解题，之后再相互交流，取他人之长补自己之短，应当发散思维，尽可能在平时的做题过程中多积累方法、技巧，以此来训练自己的思维方式。

例如在椭圆的性质教学中，除了研究椭圆的“范围”、“对称性”、“顶点”三条性质外，还要继续研究椭圆的“焦半径”及“焦点弦”的最值问题，下面仅以“焦半径”为例来说明如何探讨解题方法、拓展学生思维的问题。

解：

由于教材中没有涉及椭圆的第二定义，因此，学生只能想到两点间的距离公式，只有少数学生能应用椭圆的标准方程把y用x代换，但化简不到完全平方这一步，个别学生化简到一次函数形式，并求出最值。学生的思维在“受阻”、“前进”，“再受阻”、“再前进”中得到了良好的训练。

2　优化解题方案

数学是进行一种逻辑思维的学习与锻炼，有时上课时虽然听懂了，但做习题时也不能如鱼得水，成绩也不高。学习数学最主要的是运用的问题，用正确的思维去解决实际问题，所以，在课堂上进行经典问题的研究，研究同一问题的多种解法，从中优化解题方案，再以必要性的习题辅助训练，就能达到训练思维的目的，使之灵活而不呆板，做题也会越来越顺。学习数学最主要的问题是有些公式定理虽然记住了，但却不能灵活运用，所以要对每一个定理、公式进行自我的推理过程，搞清这些定理，公式的本质，自然会事半功倍，所以，一定要理解数学的本质。

下面以点到直线距离公式的推导为例研究如何优化解题方案，点到直线距离公式有多种推理方法，这里写出三种方法，供优化解题方案参考。

方法一：直接法。作直线PQ 直线l，垂足为Q，解直线l与PQ的联立方程组，求出Q点的坐标，再应用两点间的距离公式求出PQ的长，此种方法容易入手但计算很复杂，学生不易接受，不可取。

（直线L的斜率不存在或为零时仍然成立），此法学生欣然接受。

A资助方法三：向量法（1）

向量法（2）

同学们还发现了很多证法，课堂气氛十分活跃，激发了大家的学习兴趣。针对上述问题的研究，学生自然得出了最佳的解题方法，从而优化了解题方案。

3　重“基础”、识“陷阱”，形成知识网络系统

注重“基础”。何为基础，基础是一切之本。有些人忽视基础知识，一是因为它简单，二是因为考试一般不会直接了当去考它。但是基础知识是最重要的，学好基础知识才能学好更难的东西，基础打扎实了，再学习才不会吃力。另外，解题时不是一下子能想出巧妙、简单个基础上得出好的方法。同时要特别注意，遇到难题时不能慌张，运用基础知识，一步步仔细去分析，定能解决问题。因此，上课一定要认真听讲，将基础的东西牢牢地掌握好。

识别“陷阱”。现在的考试题，特别是高考题中，许多题目都不难，一张考试卷，百分之八十都是基础，但很多题目会设下陷阱，虽然你会做，但一不小心还是会错，因此，在审题中要格外小心；另外，还可以总结一下哪类题目会设“陷阱”，大多会出现怎样的“陷阱”。如果掌握了这些，那么看到题目就大致能猜到可能会有什么样的陷阱出现，错误率就会大大地减少。

学习数学在夯实“基础”、认清“陷阱”的前提下，就会在头脑中逐渐形成自己的知识网络系统。这个知识系统应该像一个网络一样，网络的交汇点往往是激发学生思维的关键之处，又常常是考试出题的关键所在。例如在代数、几何、三角这三大体系中，解析几何中的直线、圆、椭圆、双曲线都可用三角代换法转化为三角函数来求解问题。关于“基础”和“陷阱”的例子比比皆是，这里不再赘述，只举例说明知识网络的问题。

例1：设实数x、y满足3x2+2y2≤b，求2x+y的最大值。

例2：设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求：a+b及log2a+2b的值

解：在直角坐标系中分别作出函数y=2x和y=log2x的图像，再作出直线y=x和y=-x+3

多年来，我一直关注萨尔加多（Sebastião Salgado）和史蒂夫·麦凯瑞的职业生涯。虽然他们有着完全不同的创作风格，但我从他们身上获得了灵感：萨尔加多对于拍摄有着影像记录和社会学式的工作方法，史蒂夫·麦凯瑞则善于制造鲜明的色彩和醒目的构图。

由于y=2x和y=log2x互为反函数，故他们的图像关于y=x对称

方程log2x+x-3=0的根a就是直线y=-x+3与对数曲线log2x的交点A的横坐标

方程2x+x-3=0的根b就是直线y=-x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标

故有中点坐标公式得：a+b=3；log2a+2b=3

例1说明了椭圆和三角函数的性质在求函数最值上的应用，例2充份体现了函数与方程以及数形结合的数学思想，反映了指数函数对数函数与直线方程之间的内在联系。通过研究知识之间的内在联系，学生会对三角与几何之间知识的交汇点产生极大的兴趣，会产生刻骨铭心之印象，数学开发思维的目的也会达到。

4　“兴趣”是确立学习信念的关键

丢什么都不能丢兴趣。数学是一门严谨的学科，需要高度严密的逻辑，且必须源于其扎实的基础。我学习和教数学的心得是必须踏踏实实的研究每一个问题，并总结解题方法和解题技巧，遇到难题绝不能放弃，要仔细审题，一步一步，由浅入深，直至问题解决，从中体会解决数学问题的乐趣，逐步培养学生的学习兴趣。数学教学兴趣最重要，丢什么都不能丢兴趣，这是学习数学的底线，很多学不好数学的人，往往是从对数学没有兴趣开始的，逐渐产生恐惧心理，这种心态绝对要克服，其根本方法就是有意识培养自己对数学的兴趣，正视数学，调整好自己的心态，上课认真听讲，把基础知识和解题结合起来，尤其掌握解题思路，毕竟题目都是万变不离其宗的。研究问题时要静心，平心静气的去读题，分析题设条件，研究解题的思维方法，使难点一一化解，使问题由复杂变简单。确切地说，数学教师就是学科教学中使数学由复杂到简单的探索者和领路人。下面看一道趣味数学。

两个男孩各骑一辆自行车，从相距20英里（1英里合1.6093千米）的两个地方，开始沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间，一辆自行车车把上的一只苍蝇，开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车车把，就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返，在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到两辆自行车相遇为止。如果每辆自行车都以每小时10英里的等速前进，苍蝇以每小时15英里的等速飞行，那么，苍蝇总共飞行了多少英里？

答案：每辆自行车运动的速度是每小时10英里，两者将在1小时后相遇于2O英里距离的中点。苍蝇飞行的速度是每小时15英里，因此在1小时中，它总共飞行了15英里。

许多人试图用复杂的方法求解这道题。他们计算苍蝇在两辆自行车车把之间的第一次路程，然后是返回的路程，依此类推，算出那些越来越短的路程。但这将涉及所谓无穷级数求和，这是非常复杂的高等数学。据说，在一次鸡尾酒会上，有人向约翰——冯·诺伊曼（John von Neumann，1903——1957年，20世纪最伟大的数学家之一）提出这个问题，他思索片刻便给出正确答案。提问者显得有点沮丧，解释说，绝大多数数学家总是忽略能解决这个问题的简单方法，而去采用无穷级数求和的复杂方法。冯·诺伊曼脸上露出惊奇的神色：“可是，我用的是无穷级数求和的方法”。

学生自己或通过老师的启发引导对趣味性数学题目给出圆满的解答，他（她）们会产生对数学的极大兴趣和成功的感觉，会激发学生学习数学的积极性，意义非同一般。

数学是一门锻炼思维的学科，也是学习其他学科的基础和前提，要学好数学与平时是否勤于思考和是否多做难题有关，也与有没有扎实的基础有关。当然，有好的基础是学好数学的必要条件，却不是充分条件，会不会做适量难题是关键。一个人如果习惯了在山路上奔跑，在平地上跑起来就易如反掌了。平时做惯了适量的难题，一般的题目还有什么难度呢？对于优秀学生来说，平时一般的题做多了，只是掌握了知识点，要拔尖儿的话就必须做适量的难题，当然这个过程是很辛苦的，但对于喜欢思考的学生来说，数学就不再是一件苦差事，反而是一件乐事了。我得出一个结论，要想学好、学活数学，关键是要热爱思考。面对较难的数学题目，更应该刻苦去做，认真分析已知条件和未知结论间的联系，就像高明的侦探破案一样，抓住一点蛛丝马迹分析判断直到解决问题，将所有的知识融汇贯通，当所有的知识都了然于心，数学水平才会达到一个高度。当然，数学学习的过程也不是只做难题，它是一个循序渐进的过程，不可能一日求成，最重要的在于学习思考的过程，这个过程是不容忽视的。我们往往有这样的机会，做同样一道题目，却有几种不同的解法，难易程度也不尽相同，在做练习时非常重要的是要学会思考。在思考的过程中，你或许会想出多种解题方法，从多种方法中筛选出最简单的方法，久而久之，经过这种长期的思考后，解题技巧就学会了，解题思路也就有了，由此，可训练学生思维的敏捷性和全面性，从而使学生学到数学学习的真谛——训练思维的敏捷性，使学生受用终生，我想这也是数学教学的终极目标吧。

在数学活动课中，我和学生们研究了下列问题的简单解法：

例：已知圆内接正n边形的中心为o，A1、A2、...、An.

证明：

成立。

此题也可应用三角中的积化和差公式，这里不再证明。两个方法应用下来，学生对向量与复数以及数列、解析几何之间的关系感悟颇深，大大提高了学生对数学的感悟能力。

学习信念绝不容忽视。何为学习信念？我个人认为对学习数学的认识、目的。现代的中学数学教学是很功利的，问学生为什么学习数学，学生会毫不犹豫的回答为考大学、考名牌大学，家长老师以及学校领导大多都是这个观点，这也无可非议。我认为应该把眼光再放远一点：学习数学是为了使人的头脑更灵活，使人的思维更灵活、更严密、更全面，即使学生参加工作时不从事数学方面的工作，哪怕是将数学公式忘得一干二净，可数学思维的灵活性、严密性和全面性会在无意之间指导他们的工作，这才是数学教学的精髓。

Discussion on mathematics teaching and learning strategies

SHENShu-bo
（Suihua Fourth school，Suihua 152054，China）

The convergence of mathematics from middle school to high school is not good from the feedback of students，which makes the performance of excellent students in math plummeted in high schools，resulting in poor learning state，depressed mood and lacking of confidence.Combining own teaching experience with study of learning method，problem-solving programs and learning faith，this paper proposed to have oriented-learning method and thinking training，optimize problem-solving programs，emphasize on basis and formknowledge network system.

Mathematics teaching；Learningstrategy；Learninginterest

G633.6

B

1674-8646（2016）15-0070-04

2016-06-14