高中数学教学中培养学生的逆向思维

孙瑾

逆向思维是数学思维的一个重要原则，是创造思维的一个组成部分，也是进行思维训练的载体.培养学生逆向思维的过程，也是培养学生思维敏捷性的过程.如果学生有逆向思维的能力，从问题的反面去剖析、理解、应用、推理、设想，就能克服思维定式的弊端，找到解题的突破口，寻找到解题方法和恰当路径，使解题过程简捷明了，或许会创造出更好的方法，从而提高学生的辩证思维能力.

教学研究表明，有些学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等，并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神.为全面推进素质教育，教师要重视培养学生的逆向思维.

一、理解数学概念时，培养学生的逆向思维

概念是经过长期实践积累在人们头脑中反映出来的客观事物的本质属性.因此，数学课程中的所有概念都是人们头脑中形成的现实世界的数量关系和形式的本质属性.概念通常是一句话的总结形式.在讲解概念时，教师往往直接把概念的内容写在黑板上，让学生记住一个概念的文字意义.在认识数学概念的时候，教师要引导学生从“逆向”的角度去思考，挖掘概念中所包含的隐性条件和性质，促使学生深层次地理解概念的本质.例如，在讲“映射”时，教师可以这样引导学生：假设A→B是集合A到集合B的映射，则集合A与集合B中的各个元素的对应情况会是什么样？经过教师的引导，学生可以得出结论，即集合A中所有的元素没有剩余，其中的每一个元素对应到集合B中都有唯一存在的一个像，而集合B中的元素还可能有剩余，即集合B中的元素在集合A中找不到原像.因此，映射的对应的形式可能是“一对一”，或者“多对一”，但绝不会是“一对多”的形式.

二、在数学公式中注重逆向思维

在数学教学中，一般数学公式都是从左到右进行运算的，也有从右向左运用的时候，可以说是正向思维转变为逆向思维的方式.在数学习题解答过程中，有时要求转换公式和法则进行解题，然而学生大都缺乏相应的自觉性和基本功.在数学教学中，教师要培养学生的逆向思维，让他们学习逆向应用数学公式和法则.在讲解一个应用题或者公式后，教师可以紧接着寻找一些关于公式逆向应用的例题给学生练习，使他们在练习中掌握逆向应用的方法，给学生留下深刻印象.下次学生再遇到类似的问题时，可以自己独立解决.比如，在三角公式中，逆向应用所涉及的方面很多，如诱导公式的逆应用、三角函数关系公式的逆应用等.例如，在运算工程中， 这些公式使用逆运算能够充分解决问题.因此，逆向思维在数学公式中的作用是非同小可的.它可以培养学生的思维能力，激发他们的学习兴趣，使学生的主观能动性得到发挥.

三、灵活运用数学方法，培养学生的逆向思维

分析法是从结论出发“执果索因”，步步寻求结论成立的充分条件，它只要求每相邻的两个论断中，后一个是前一个的充分条件（不一定等价）.用分析法思考，要论证的结论本身就是出发点，学生知道了应从什么地方着手，自觉地、主动地去思考，能增强解决问题的信心.“由因导果”的方法通常称为综合法.分析法和综合法各有千秋，可以互相弥补对方的不足.在实际论证一个命题时，先用分析法思考发现可以作为论证出发点的真命题，再用综合法表达出证明过程，两者配合起来，在教学中运用十分广泛，且分析法常用于不等式和恒等式的证明.

逆证法虽然也是从结论出发，但它与分析法还是有区别的，逆证法要求推理过程中，任何两论断都互为充要条件，逆证法首先对不等式或恒等式进行变形，逐步推出一个已知的不等式或恒等式.这比较直截了当，检查这些变形是可逆的并不困难，但在一般情况下使用逆证法并不省事，应让学生重点掌握分析法.

四、加强举反例训练

用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，只要举出一个满足命题的条件，但结论不成立的例子，就足以否定这个命题.这样的例子就是通常意义下的反例.学生学会构造反例，不仅对加深记忆，深入理解定义、定理或公式等起着重要作用，也是纠正错误的常用方法，是培养逆向思维能力的重要手段.例如，命题“若两多边形的对应边成比例，则必相似”为假命题，只需举一个菱形和一个正方形即可判其为假；说明“一组对边平行，一组对边相等的四边形为平行四边形”为假命题，只需举一个等腰梯形即可.

总之，在高中数学教学中，教师引导学生有意地去做与思维方法完全相反的研究，能够培养学生的思维能力，提高学生的解题能力.在高中数学教学中，培养逆向思维的方法还有很多.这就需要教育工作者去发现、去探究.我相信在不久的将来，高中数学教学形式会越来越丰富，从而使教学质量得到提高.