把握时机 体验过程

王秀梅



思维训练营/思想方法
CHU ZHONG SHENG SHI JIE

把握时机 体验过程

王秀梅

数学思想和数学方法是数学的灵魂，是在数学研究活动中解决问题的根本想法，是分析问题、解决问题的金钥匙，是数学知识的提炼和升华，是知识转化为能力的桥梁.注重数学思想方法的训练，能提升同学们的数学能力和思维品质，提高分析问题、解决问题的能力，以便于更好地为学生的数学学习服务.统计作为研究、收集、整理、分析数据的一门学科，在实际操作中常会运用以下数学思想方法.

一、把握绝佳时机，渗透分类思想

分类是一种非常重要的思想方法.通过分类可以把复杂的问题化为简单而熟悉的问题进行解决.只是在分类时要注意选择正确的分类标准，力争做到不重不漏.

例1一组数据-1，0，3，5，x的极差是7，那么x的值可能有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】应分两种情况：

（1）当x为最大值时，则x-（-1）=7，解得x=6；

（2）当x为最小值时，则5-x=7，解得x=-2. 故x的值有2个，应选择B.

【答案】B.

【点拨】此题易忽视“x为最小值”这种情况，要注意分类讨论思想的应用.

二、注重过程体验，渗透数形结合思想

数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略.通过抽象思维和形象思维相结合，可以培养思维的灵活性、形象性和深刻性.

例2为了解学生对心理健康知识的掌握程度，某校从800名在校学生中，随机抽取若干名进行问卷调查，并按“优秀”“良好”“一般”“较差”四个等级统计，绘制成如下的频数分布表和频数分布直方图.

程度　　频数　　频率优秀　60　0.3良好　100　a一般　b　0.15较差　c　0.05

请根据图表提供的信息，解答下列问题：

（1）求频数分布表中a、b、c的值并补全频数分布直方图；

（2）请你估计该校学生对心理健康知识掌握程度达到“优秀”的总人数.

【分析】（1）由频数（率）分布表知，优秀的频数60，频率0.3，根据频数、频率和总量的关系可求抽样的总人数，从而求得良好的频率a为0.5，一般的频数b为30，较差的频数c为10.

（2）根据频数分布表可知优秀学生的频率为0.3，该校有800名学生，即可估计出该校学生对心理健康知识掌握程度达到“优秀”的总人数.

解：（1）∵抽样的总人数为60÷0.3=200，

∴a=100÷200=0.5，b=200×0.15=30，c= 200×0.05=10.

根据频数分布表补全分布直方图：

（2）∵800×0.3=240（人），

∴该校学生对心理健康知识掌握程度达到“优秀”的总人数估计为240人.

【点拨】此题主要考查了频数分布表和频数分布直方图的知识，能够读懂图表中的数据是关键，同学们要深刻理解数形结合的思想，并根据各频数之间、各频率之间的数量关系进行解题.

三、建立知识联系，渗透整体思想

已知一组数据的平均数或方差，求与之相关的一组新数据的平均数或方差时，常常需要结合平均数或方差的定义，运用整体思想解决.

例3如果数据x1、x2、x3的平均数是2，那么数据3x1+1，3x2+3，3x3+5的平均数是_______.

【分析】因为x1、x2、x3的平均数是2，所以x1+x2+x3=6，要求数据3x1+1，3x2+3，3x3+5的平均数，只要利用平均数的定义，整体代入求解.

【点拨】本题考查了算术平均数，如果每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同减去一个数，其平均数也有相对应的变化.

四、产生自然需求，渗透统计思想方法

统计是一种数学思想，也是认识客观事物、描述生活现象、解决实际问题的一种方法.由于它与实际生活联系密切，因此也成为中考的热点.其实这类问题并不难，只要把握好概念间的相互联系以及概念的灵活应用，问题就会迎刃而解.

例4某校有21名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前11名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需再知道这21名同学成绩的（）.

A.最高分B.中位数

C.极差D.平均数

【分析】一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.小颖想知道自己能否进入决赛，只要知道她的预赛成绩所在的位置是在第11位之前或之后即可.而排列以后的第11位同学的成绩正好是这组数据的中位数.故她只要知道这21名同学成绩的中位数即可.

【答案】B.

【点拨】本题考查了统计学最基本的定义，涉及数据的平均水平等相关的内容.

例5在某项针对18～35岁的青年人每天发微博数量的调查中，设一个人的“日均发微博条数”为m，规定：当m≥10时为A级，当5≤m＜10时为B级，当0≤m＜5时为C级.现随机抽取30个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查，所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下：

（1）求样本数据中为A级的频率；

（2）试估计1 000个18～35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数.

【分析】（1）先将数据分组整理，再计算频率；

（2）根据（1）中求出的频率，乘总人数便求得答案.

解：（1）将30个数据分组整理如下表：

分组　　频数　　频率A级（m≥10）　15 B级（5≤m＜10）　11 C级（0≤m＜5）　4合计　30

由15÷30=50%，得样本数据中为A级的频率为50%.

（2）1 000×50%=500（人），所以估计1 000个18～35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数为500人.

【点拨】统计与概率问题是中考试题中的必考题型之一，对于统计类问题，关键是数据的整理、描述与分析，常见的问题是统计图表，本题一改常态，没有考查图表，但解题时，自己列表整理数据，能使数据更容易统计计算.

（作者单位：江苏省宿迁市宿豫区实验初级中学）