开放式信用债券型基金的最优投资策略

卞世博，张 熠

（上海财经大学a.统计与管理学院；b.公共经济与管理学院，上海 200433）

信用债券是债券的一大类，是依靠债券发行者的信用为基础发行的、除国债和中央银行票据之外的、非国家信用的固定收益类金融工具，主要包括：企业债、公司债、中期票据、短期融资券、可转债、可分离债及资产支持证券等。信用债券是企业融资和金融市场投资的重要工具，其特殊的地位与性质已经逐步引起政府的高度重视。在相关政策的支持下，信用债券在中国正步入快速发展的黄金时期，市场规模己经从2000年底的不足500亿扩展到2014 年底的超过10 万亿。随着信用债券市场的迅猛发展，国内相继出现了20 多个以信用债券为主要投资对象的信用债券型基金，如博时信用债券型基金、银华信用债券型基金、招商信用债券型基金、国泰信用债券型基金以及汇添富信用债券型基金等。

目前，关于信用债券的理论研究主要集中在定价领域，对于信用债券最优投资策略的研究尚属于起步阶段。Korn等［1］以及Kraft等［2］率先研究了信用债券的最优投资策略，他们采用Morton［3］的结构化模型对信用债券进行定价，以弹性和久期作为控制变量，通过求解HJB方程，得到了最优投资策略。在文献［1］的基础上，Wise等［4］在投资组合中引入了违约相关性，在离散时间下得到了最优动态投资策略；Zagst等［5］研究了投资者如何对不同国家的主权债券（存在违约风险）进行最优配置的问题；Jobst等［6］考虑了投资者存在负债的情形，利用多情景下的随机规划方法来求解优化问题。

还有学者在Jarrow 等［7］的简约化模型框架下，对此问题进行研究。Bielecki等［8］利用随机控制方法，研究了投资者对单个信用债券、股票及银行存款的最优配置问题，分析了信用债券的跳跃风险溢价与最优投资策略之间的关系。在此基础上，文献［9-12］中从随机跳跃风险溢价、随机利率、随机违约强度以及随机回收率等方面对文献［8］中的研究进行了拓展。文献［13-14］中则利用鞅方法分别研究了固定利率和随机利率下投资者对单个信用债券的最优投资问题。文献［15-18］中放弃了各信用债券之间的违约相互独立的假设，分析了投资者投资于信用债券组合时，信用债券之间的联合违约及违约传染对最优动态投资策略的影响。

此外，Meindl等［19］在投资模型中引入了交易费用，利用滚动时域控制方法和蒙特卡洛模拟求解出投资者对信用债券的最优持有。Biagin等［20-21］采用局部风险最小化方法，求解出了可违约权益的最优动态投资策略。Capponi等［22-23］在信用债券定价模型中引入了机制转换，在此基础上，利用随机控制方法研究了信用债券的最优动态投资策略。

目前，国内的信用债券型基金多以开放式运作［24］。但上述有关信用债券最优投资策略的研究，均是以投资者的投资策略为自融资策略展开的，即假设投资者在投资期限内，除了初始财富外并无额外的资金进出。这一关键性的假设显然不适合开放式信用债券型基金的投资策略。鉴于此，本文放松自融资策略的假设，研究开放式信用债券型基金的最优投资问题，为开放式信用债券型基金的投资管理提供指导，同时丰富和完善信用债券最优投资策略的理论研究。

1 市场投资环境

假设金融市场是一个无摩擦、无套利的完全竞争市场，金融资产可以被连续性交易。在市场上，所有投资者都是价格接受者，即单个投资者的投资决策并不能改变金融资产的价格。假设存在一个完备的概率空间（Ω，G，Q）。Q是真实概率P的等价鞅概率测度（风险中性概率测度）。令τ为概率空间上的一个非负随机变量，表示信用债券的违约时间。假设Q（τ=0）=0，Q（τ＞0）＞0。定义一个右连续过程H，H（t）=1｛τ≤t｝，其中，1｛τ≤t｝为示性函数。

假设开放式信用债券型基金的投资集为信用债券和银行存款。下面将对这两类资产价格的动态过程以及基金的财富动态过程进行描述。

1.1 各资产价格的动态过程

设一个信用债券的到期日为T1，票面价值为1，违约时间为τ。当τ∈（T1，∞）时，债券不发生违约，投资者于到期日收回债券的票面价值。当τ∈（0，T1）时，债券违约，债券的市场价值将变为0，但投资者可以按照债券违约前的市场价值收回部分投资［25］。由此可得概率Q下信用债券的价格为

式中：r为无风险短期利率；h Q为过程τ的风险中性违约强度；ι为违约损失率，假设它们均为常数。

对式（1）利用伊藤定理，可得概率Q下信用债券价格的动态过程：

式中，补偿跳跃鞅过程MQ（t）满足

假设在概率Q下银行存款满足如下动态过程：

1.2 财富的动态过程

假设开放式信用债券型基金的资金净流入为一个随机过程，并满足

式中：κ为期望净流入率；在固定利率条件下，资金净流入的随机性主要受信用债券收益的波动影响，波动率为σ。

基金的初始金额x＞0，投资期限为［0，T］，T＜T1；投 资 策 略π（t）=（πp（t），1-πp（t））′，πp（t）为基金投资于信用债券的份额，1-πp（t）为投资于银行存款的份额。令Xπ（t）表示该投资组合，则Xπ（t）应满足如下动态过程：

将式（2）、（3）代入式（5），可得

式中，Xπ（0）=x。可以发现，由于C（t）dt的存在，使得开放式信用债券型基金的投资策略不再是自融资策略。此时，未来资金净流入的现值期望将会对开放式信用债券型基金的投资策略产生重要的影响［26］。

定义1参照卞世博［27］，定义资金净流入的现值期望为

假设D（0）=d，其中EQ为风险中性概率Q的期望。则D（t）可以表示为C（t）的函数，即

式中，θ=κ-r。

证明见附录A。

对式（7）进行微分，并利用式（4），可得

定义2参照卞世博［27］，定义开放式信用债券型基金的财富过程为

对式（9）进行微分，并利用式（6）、（8），可得

可以发现，折现的财富动态过程是一个鞅过程：

由此可知，

由于开放式信用债券型基金是在真实概率P下进行投资决策的，故需要将概率测度从风险中性概率测度Q转化为真实概率测度P。在无套利市场假设下，由Girsanov定理1）具体证明详见Kusuoka［28］可知，存在一个Radon-Nikodym 密度鞅过程Z（t）=dQ/dP，使得

式中：EP为真实概率P的期望；Z（t）则应满足条件EP（Z（T*））=1。

同时，

其中：μ=h P/h Q，μ为跳跃风险的市场价格；h P为真实概率P的违约强度；

是真实概率P的鞅。

2 最优投资策略

开放式信用债券型基金通过动态调整投资策略，以实现基于最终财富的期望效用最大化。令U（v）为开放式信用债券型基金的效用函数，J（v）为实施最优投资策略π*后的最大化效用，则开放式信用债券型基金所面临的最优化问题为：

下面利用鞅方法来求解此问题。

假设效用函数U是严格递增且凹的函数，则效用函数的导数U′是严格递减且连续的，因而存在一个严格递减且连续的反函数I（Y），使得

定义U的对偶函数

则当V=I（Y）时，取最大值，即

当且仅当V=I（Y）时，上式为等式。

将Y（v）看作最优化问题约束条件的拉格朗日乘数，可以将带约束条件的最优化问题式（13）转化为无约束条件的最优化问题，即

对式（15）利用式（14）的结果，可得

当且仅当

上式为等式。此时V（T）为最优的最终财富。

进一步，假设开放式信用债券型基金的效用函数为幂效用函数，满足U（V）=lnV。

此时，U′的反函数为

利用式（12）、（16）和式（17），可得

从而可得

将式（20）代入式（17），并利用式（18），可得最优的最终财富：

对式（20）进一步整理，可得

命题1令v为开放式信用债券型基金的初始财富，V（T）为T时刻的最终财富，在幂效用函数下，开放式信用债券型基金的最优投资策略为

证明见附录B。

由式（22）可以直观地发现，开放式信用债券型基金对信用债券的最优投资策略为跳跃风险溢价μ的增函数，违约损失率ι的减函数。该策略还受资金净流入的波动率σ的影响，σ越大，说明资金净流入的波动就越大，基金为了避险会减少对信用债券的持有。开放式信用债券型基金对信用债券的最优投资策略与投资时刻密切相关，但无法直接看出，其随时间的变化趋势，将在下一节通过数值模拟的方式对此进行分析。

3 数值模拟

为了使结果更加直观，本节用数值模拟的方式，来讨论开放式信用债券型基金最优投资策略的一些性质，重点考察最优投资策略与信用债券的跳跃风险溢价、违约损失率以及剩余投资期限之间的关系。数值分析中的具体参数2）有关信用债券相关参数的取值参照了Driessen［29］：

μ—跳跃风险溢价，取值1～3

ι—违约损失率，取值0.1～1

r—无风险利率，取值0.03

κ—期望净流入率，取值0.06

σ—资金净流入波动率，取值0.01

T-t—剩余投资期限，取值0～20

由图1可以直观地发现，开放式信用债券型基金对信用债券的最优投资策略是跳跃风险溢价μ的增函数。在保持其他变量不变的情况下，随着跳跃风险溢价μ的加大，基金将持有更多的信用债券。这从直觉上也不难理解，跳跃风险μ越大，说明市场对违约风险的补偿也就越大，信用债券的收益也就越高，对基金越具吸引力，因而会增加对其的持有。开放式信用债券型基金对信用债券的最优投资策略是违约损失率ι的减函数。在其他变量不变时，信用债券的违约损失率ι越高，信用债券违约后基金能收回的投资成本就越低，为了避险，基金会减少对信用债券的持有。还可以发现，当违约损失率ι较高时，基金对信用债券的持有对跳跃风险溢价μ不是很敏感；但是当违约损失率ι较低时，信用债券的最优持有对跳跃风险溢价μ的变化就变得较为敏感，跳跃风险溢价μ一个很小的扩大，会大幅增加基金对信用债券的持仓比重。这可能是因为当违约损失率ι较高时，基金主要考虑的是信用债券所蕴含的投资风险；而当违约损失率ι较低时，基金主要考虑的是信用债券的投资收益。

图1 信用债券的最优投资策略与跳跃风险溢价、违约损失率

图2 信用债券的最优投资策略与跳跃风险溢价、剩余投资期限

图2说明了跳跃风险溢价μ、剩余投资期限与信用债券最优投资策略的关系。由图2可以清楚地发现，开放式信用债券型基金对信用债券的最优投资策略是剩余投资期限的增函数，随着剩余投资期限的增长，基金会增加对信用债券的持有。还可以发现，当剩余投资期限较短时，基金对信用债券的持有对跳跃风险溢价μ不是很敏感；但是当剩余投资期限较长时，信用债券的最优持有对跳跃风险溢价μ的变化就变得较为敏感。这可能是因为当剩余投资期限较长时，基金会选择更积极的投资策略，对信用债券的收益更为看重；而随着投资期限的临近，基金会选择相对保守的投资策略，更多地会考虑信用债券所蕴含的风险。

4 结语

以往对信用债券最优投资策略的研究，均是基于投资者的自融资策略展开的。本文放松了这一假设，研究了开放式信用债券型基金的最优投资问题。假设开放式信用债券型基金的资金净流入为一个随机过程，基金的投资目标为基于最终财富的期望效用最大化，研究了基金如何对信用债券以及银行存款进行最优投资。通过假设基金的效用函数为幂效用函数，利用鞅方法得到了最优投资策略的解析解。结果表明：开放式信用债券型基金对信用债券的最优投资策略是跳跃风险溢价以及剩余投资期限的增函数；是违约损失率以及资金净流入波动率的减函数。

附录A

式（7）的证明

证明由定义1可知，

由Shreve［30］可知，独立于Ft，条件期望可以转化为无条件期望，故可得

由式（4）可知，

对式（A4）求期望，可得

式中，θ≡κ-r。

由Fubini定理可得

将式（A6）代入式（A2），则可得到式（7）。

附录B

命题1的证明

证明由式（21）可知，

由Girsanov定理可知，

对式（B1）利用伊藤定理，可得

将式（B3）～（B5）代入式（B2），可得

将式（B6）与式（11）比较即可得到命题1。