信号有效奇异值的数量规律及其在特征提取中的应用

赵学智 聂振国 叶邦彦 陈统坚

摘要： 针对信号的有效奇异值选择问题，发现了有效奇异值和信号频率个数之间存在重要联系，研究结果表明有效奇异值数量由信号中的频率个数决定，而与频率大小及其幅值无关，只要信号所构造矩阵的维数大于信号中频率个数的两倍，则每一个频率成分产生两个有效奇异值。研究了噪声干扰下有效奇异值的分布规律，发现随着矩阵维数的增加，有效奇异值受噪声的影响逐渐变小，而噪声产生的奇异值则会被分离到有效奇异值之后。基于每一个频率成分产生两个奇异值这一特性，提出利用SVD提取由一个或多个特征频率构成的特征信号时域波形，并将这一方法用于轴承和转子振动的波形特征提取，其效果优于小波变换。

关键词： 信号处理； 奇异值分解； 有效奇异值； 特征提取

中图分类号： TN911.7； TH165+.3 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2016）03-0532-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.03.020

引 言

近年来，奇异值分解（Singular value decomposition， SVD）在振动模态[1]、心电信号[23]、声发射信号[4]、机械故障诊断[56]、小波变换[7]、地球电磁场信号[8]等方面获得了广泛的应用。如Araujo等利用SVD中的左奇异向量来估计梁的振动模态[1]；Ahmed等将SVD和小波变换相结合用于心电信号的压缩[2]；Jung WooHyuk等则利用SVD方法来提取心电信号的R波峰[3]；Samraj等利用SVD提取刀具声发射信号的特征，用于对刀具磨损的监测[4]；Su Zhongyuan等将SVD和HilbertHuang变换相结合，用于对齿轮箱故障的识别和分类[5]；Cong Feiyun等提出了一种短时序列矩阵的SVD方法，用于轴承故障诊断[6]；此外，SVD对Morlet小波变换冗余数据的压缩[7]和信号消噪[8]也有很好的效果。总的说来，在这些应用中，都会面临着一个重要问题，那就是有效奇异值的确定问题，它决定着SVD的信号处理效果，但是这一问题从来没有很好地解决。以信号降噪为例，其关键是选择出合理的奇异值进行SVD重构，才能得到既消除了噪声，又保留了原信号所有频率信息的处理结果，然而对于一个有着特定频率个数的信号，它到底有多少个有效奇异值的问题很少有人认真去研究过。文[9]在估计正弦信号的奇异值时，认为一个频率对应一个奇异值，但这一结果值得商榷。此外更多的研究都是集中于利用奇异值进行各种运算得到一些特征点来确定有效奇异值，如差分谱法[10]、奇异熵法[11]、聚类法[12]等等，这些方法并没有从根本上分析信号的有效奇异值个数问题，只是通过对奇异值序列进行不同运算得到一些特征点，由此来选择有效奇异值，但是在实际应用中总是难以适应各种不同的情况。文[13]利用SVD来获得彼此独立的分量信号，文中讨论了矩阵行数和列数对分量信号独立性的影响，并认为矩阵行数大于15时可以获得具有独立性的一组分量信号。文[14]则将这种方法引入到轴承的故障诊断中，并分别采用大的奇异值和分量信号的能量作为神经网络的输入来识别轴承的故障。在这两篇论文中均未涉及到奇异值数目和频率个数的关系问题，也未涉及到单个频率的分离问题，而这两个问题是本文的研究核心。通过研究，发现了有效奇异值个数和信号所含频率个数之间的内在关系，指出有效奇异值数目仅由频率个数确定，而与频率大小、频率的幅值和相位无关，对于具有确定频率个数的信号，明确地指出了其有效奇异值的数目；文中进一步分析了噪声干扰下信号的奇异值分布规律，分析了频率的幅值和奇异值大小的关系，这些结果为有效奇异值的选择具有明确的指导作用。文中的研究结果还表明，利用频率和奇异值的内在联系，SVD还可对由一个或多个特征频率构成的特征信号进行提取，这种时域波形特征提取不同于通常的SVD消噪，也和利用SVD的左右奇异向量的正交性实现对特征向量的正交化有本质不同。

4 结 论

有效奇异值的选择一直是SVD研究中的一个重要问题，本文发现了有效奇异值个数和频率数量的内在联系，并分析了含噪信号的奇异值分布规律，这除了可为有效奇异值的选择提供明确的依据外，还可以利用SVD实现对由单个或多个频率构成的特征信号的时域波形进行提取。总结全文，可以得到如下结论：

（1） 在Hankel矩阵方式下，信号的有效奇异值数量只与信号中的频率个数有关，而与频率大小及其幅值和相位无关，每一个频率成分总是最多只产生两个非零奇异值，频率的幅值越大，则其对应的两个奇异值也越大，且这两个奇异值总是一前一后紧密排在一起不会分开。

（2） 对于含有r个频率成分的含噪信号，只要其构造的Hankel矩阵的维数大于2r，则其有效的奇异值个数为2r，并且随着矩阵维数的增加，有效奇异值受噪声的影响逐渐变小，而噪声产生的奇异值则会被分离到这2r个有效奇异值之后。

（3） 基于每个频率产生两个非零奇异值这一特性，可以利用SVD对由单个或多个频率构成的特征信号的时域波形进行提取，提取的结果没有相位滞后，是一种零相移提取方法。文中利用这种方法提取到了轴承振动的基频波形，结果显示这基频振动幅值是逐渐增长的，并通过这一方法提取到了转子系统由转频和二倍转频构成的时域波形以及各自单独的时域波形，结果显示了二倍转频振动先逐渐增大、后有所减小这一过程，这种特征提取效果远优于小波变换。

参考文献：

[1] Araujo I G， Laier J E. Operational modal analysis using SVD of power spectral density transmissibility matrices [J]. Mechanical System and Signal Processing， 2014， 46（1）： 129—145.

[2] Ahmed S M， Alzoubi Q， Abozahhad M. A hybrid ECG compression algorithm based on singular value decomposition and discrete wavelet transform [J]. Journal of Medical Engineering and Technology， 2007， 31（1）： 54—61.

[3] Jung WooHyuk， Lee SangGoog. An Rpeak detection method that uses a SVD filter and a search back system [J]. Computer Methods and Programs in Biomedicine， 2012， 108（3）： 1121—1132.

[4] Samraj A， Sayeed S， Raja J E， et al. Dynamic clustering estimation of tool flank wear in turning process using SVD models of the emitted sound signals [J]. World Academy of Science， Engineering and Technology， 2011， 56： 1322—1326.

[5] Su Zhongyuan， Zhang Yaoming， Jia Minping， et al. Gear fault identification and classification of singular value decomposition based on HilbertHuang transform [J]. Journal of Mechanical Science and Technology， 2011， 25（2）： 267—272.

[6] Cong Feiyun， Chen Jin， Dong Guangming， et al. Shorttime matrix series based on singular value decomposition for rolling bearing fault diagnosis [J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2013， 34 （12）： 218—230.

[7] 赵学智， 陈统坚， 叶邦彦. 奇异值分解对连续Morlet小波变换的压缩和提纯[J]. 机械工程学报， 2015， 51（16）： 57—70.

Zhao Xuezhi， Chen Tongjian， Ye Bangyan. Purification and compression of continuous Morlet wavelet transform based on singular value decomposition[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2015， 51（16）： 57—70.

[8] Reninger P A， Martelet G， Deparis J. Singular value decomposition as a denoising tool for airborne time domain electromagnetic data [J]. Journal of Applied Geophysics， 2011， 75（2）： 264—276.

[9] Baogang Hu， Raymond G Gosine. A new eigenstructure method for sinusoidal signal retrieval in white noise： estimation and pattern recognition [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 1997， 45（12）： 3073—3083.

[10] 赵学智， 叶邦彦， 陈统坚. 奇异值差分谱理论及其在车床主轴箱故障诊断中的应用[J]. 机械工程学报， 2010， 46（1）： 100—108.

Zhao Xuezhi， Ye Bangyan， Chen Tongjian. Difference spectrum theory of singular value and its application to the fault diagnosis of headstock of lathe [J]. Journal of Mechanical Engineering， 2010， 46（1）： 100—108.

[11] WenXian Yang， Peter W T. Development of an advanced noise reduction method for vibration analysis based on singular value decomposition [J]. NDT&E; International， 2003， 36（6）： 419—432.

[12] 王维， 张英堂， 徐章遂. 基于动态聚类的奇异值降噪方法研究[J]. 振动工程学报， 2008， 21（3）： 304—308.

Wang Wei， Zhang Yingtang， Xu Zhangsui. Noise reduction in singular value decomposition based on dynamic clustering[J]. Journal of Vibration Engineering， 2008， 21（3）： 304—308.

[13] Alonso F J， Salgado D R. Analysis of the structure of vibration signals for tool wear detection [J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2008， 22（3）： 735—748.

[14] Muruganatham B， Sanjith M A， Krishnakumar B， et al. Roller element bearing fault diagnosis using singular spectrum analysis [J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2013， 35（12）： 150—166.

[15] 宋乾坤， 柳斌. 矩阵奇异值的两个不等式的推广[J]. 自贡师专学报（综合版）， 1994， 4：77—79.

Song Qiankun， Liu Bin. Generalization of two inequalities on singular values of matrix[J]. Journal of Zigong Junior College of Teachers （Integration Edition）， 1994， 4：77—79.

[16] 赵学智， 叶邦彦. 分量形成方式对奇异值分解信号处理效果的影响[J]. 上海交通大学学报， 2011， 45（3）： 368—374.

Zhao Xuezhi， Ye Bangyan. Influence of formation manner of component on signal processing effect of singular value decomposition[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University， 2011， 45（3）： 368—374.

[17] Case Western Reserve University Bearing Data Center， Download a data file [EB/OL].http：//csegroups.case.edu/bearingdatacenter/pages/downloaddatafile.

[18] 赵学智， 叶邦彦， 陈统坚. 无显式表达小波在不同尺度下的离散生成算法及幅频特性[J]. 振动工程学报， 2011， 24（5）： 546—554.

Zhao Xuezhi， Ye Bangyan， Chen Tongjian. Discrete generation algorithm and amplitudefrequency property of wavelet without analytic expression in various scales[J]. Journal of Vibration Engineering， 2011， 24（5）： 546—554.